11. seminář:
Kvadratické a lineární lomené programování Příklad 1:
Navrhněte strukturu portfolia z dvou cenných papírů, jejichž výnosy jsou náhodné veličiny Xi, X2l tak aby jeho očekávaný výnos byl alespoň Rmin a aby riziko vyjádřené rozptylem celkového výnosu bylo minimální.
Sledováním časových řad cenového vývoje cenných papírů jsme odhadli očekávané výnosy E{Xľ) = 0,03, E{X2) = 0,05, rozptyly D{XX) = 3, D{X2) = 4 a ko-varianci C(Xi,X2) = 2.
Řešte úlohu pomocí MS Excelu pro různé úrovně Rmin a znázorněte efektivní hranici
Příklad 2: Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. K dispozici má 10 arů půdy, na nichž by chtěl pěstovat květák a kedlubny. Pro květák však lze využít nejvýše 5 arů. Je zde však problém s náklady, jejichž výše závisí na výměře plochy osazené jednotlivými plodinami. Označíme - li x\ plochu osazenou květákem a x2 plochu osázenou kedlubnami, pak celkové
2
náklady lze odhadnout jako TC(xi,x2) = 100 + ^ — 3x\ + x\ — 4x2. Při jakém osevním plánu zemědělec minimalizuje náklady?
a) Navrhněte matematický model
b) Sestavte Lagrangeovu funkci a zapište KKT podmínky úlohy
c) Vyřešte Wolfeho metodou
Příklad 3: Phillipsova křivka vyjadřuje vztah mezi mírou nezaměstnanosti (u) a inflací (tt).
Předpokládejme hyperbolický tvar Phillipsovy křivky, tj. teoretický vztah mezi u a 7í ve tvaru: tt = (5q +
a) Odvoďte obecný vztah pro určení koeficientů /?o, Pi na základě naměřených hodnot (wi, 7íi), ..., (wn, 7tn) metodou nejmenších čtverců.
b) Sestavte KKT podmínky úlohy pro obecnou úlohu s omezením /?o, Pi > 0.
c) V letech 1960-1969 byly v USA naměřeny následující hodnoty:
year	1960	1961	1962	1963	1964	1965	1966	1967	1968	1969
u[%]	6,6	6	5,5	5,5	5	4	3,8	3,8	3,4	3,5
7t[%]	1,4	0,7	1,4	1,7	1,2	2	3,2	3,4	4,8	6
Spočtěte pomocí počítače hodnoty koeficientů pro data z tabulky.
Příklad 4: Uvažujme úlohu lineárního lomeného programování maximalizovat funkci
f(xhX2,x3) = 2xi+"2+3^
j v   i,    z, oj
za podmínek
X\ — X2 + £3 < 5 X2 < 3
^1,^2, £3 > 0
a) Linearizujte úlohu pomocí vhodné substituce
b) Vyřešte linearizovanou úlohu
c) Zkontrolujte řešení pomocí Řešitele