Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Funkce, limita, derivace, extrémy f u n kce Petr Liška Masarykova univerzita 16.9.2014 Funkce Limita funkce Deri ví ce funkce Extrémy funkce Průběh funkce Co je to funkce? Definice Nechť jsou dány množiny D C M, H C M. Předpis f, který každému x e D přiřazuje právě jedno y e H, nazýváme funkcí jedné proměnné. Tuto funkci označujeme y = f{x). Množina D se nazývá definiční obor funkce f a značí se ^(r), množina H se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H(f). i Předpisy f: x2+y2 = l, g: x = y2 popisují křivky v rovině, ale nejsou funkce proměnné x, neboť k jedné hodnotě x jsou přiřazeny dvě hodnoty y, konkrétně f: y = ±y/l - x2, g: y = ±y/x. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Definiční obor a graf funkce Základní úlohou je určení definičního oboru funkce, tj. nalezení takových hodnot x, pro které má funkční předpis smysl. a) f- y = ^rk< b) f- y = Vx2-3x + 2, c) f: y = ln(l -x2). Definice Grafem funkce f: D(f) —> M je množina bodů G = {(x,/r(x))GM2:xGD(/r)}. Křivka v rovině je grafem nějaké funkce právě tehdy, když neexistuje žádná přímka rovnoběžná s osou y, která by protínala tuto křivku více než jednou. Funkce Limita funkce Deri ví ce funkce Extrémy funkce Průběh funkce Vlastnosti funkcí 1 Definice Funkce f se nazývá ohraničená, jestliže existuje K G M, K > 0, takové, že \f(x)\ < K pro každé x G D(f). Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro každé x G D(f) platí —x G ^(ŕ) a f(—x) = f (x) (graf je souměrný vzhledem k ose y). Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro každé x G D(f) platí —x G D(f) a f(—x) = —f(x) (graf je souměrný vzhledem k počátku). Funkce f se nazývá prostá, právě když pro všechna xi,X2 G D(f) platí: je-li x\ ^ X2, pak f{x\) 7^ f{x2)- Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Vlastnosti funkcí II Definice Funkce f se nazývá periodická s periodou p £ M, p > 0, jestliže platí, že pro každé x £ D(f) je také x ± p £ ^(ŕ) a ŕ(x + p) = f (x — p) = f (x). Nejmenší perioda funkce je nejmenší prvek množiny všech period této funkce. Definice Nechť je dána funkce f: D(f) 4 la interval / C D(f). Pak funkci f nazveme rostoucí na intervalu I, jestliže pro každá dvě xi, X2 £ / taková, že x\ < X2, je f{x{) < f{x2)- Funkci f nazveme klesající na intervalu I, jestliže pro každá dvě xi, X2 £ / taková, že xi < X2, je f(xi) > f{x2)- Funkce, která je rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze monotónní. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Vlastnosti funkcí III Definice Nechť u: A ^ B a f: B ^ R jsou funkce. Pak funkce F: A ->• R daná předpisem y = f(u(x)) se nazývá složená funkce. Funkce u se nazývá vnitřní složkou, funkce f i/ně/s/složkou složené funkce F. Definice Inverzní funkcí k prosté funkci f je funkce f , pro kterou platí, že D(f~1) = H(f) a ke každému y G D(f^1) je přiřazeno právě jedno x G D(f) takové, že f[x) = y. Poznamenejme, že inverzní funkci lze definovat pouze pro prosté funkce. Grafy funkcí y = f (x) a y = f^1(x) jsou symetrické podle přímky y = x. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Polynomy Definice Funkci P: R ->• R tvaru P(x) = a„x" + an_ix"_1 H-----|-ao, kde a0, ai,..., a„ e M, nazýváme polynomem neboli mnohočlenem. Čísla a-, se nazývají koeficienty polynomu. Je-li a„ 7^ 0, pak číslo n nazveme stupněm polynomu a značíme stP. Číslo aeCse nazývá kořen polynomu P, jestliže P(a) = 0. Číslo a je k-násobným kořenem polynomu P, existuje-li polynom Q takový, že P(x) = (x-a)*(?(x), a a není kořenem polynomu Q, tj. 7^ 0. (Pro k = 1 používáme název jednoduchý kořen.) Číslo /c £ N se pak nazývá násobnost kořene a polynomu P. i) Je zřejmé, že definičním oborem polynomu je množina reálných čísel. ii) Je-li P(x) = ao 7^ 0 (konstantní funkce), jde o polynom nulového stupně. iii) Mezi polynomy definujeme operace sčítání a násobení tak, že pro každé x e M platí (P ± Q) (x) = P (x) ± Q (x) a (P • Q)(x) = P (x) • Q(x), tj. při sčítání sčítáme koeficienty u stejných mocnin proměnné x a při násobení jde o obyčejné násobení mnohočlenů. Součet (resp. rozdíl) a součin dvou polynomů je opět polynom. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Vlastnosti polynomů Věta Necht P (x) = anxn + an_ix" 1 H-----h a0, kde a0,ai,...,a„ e K je polynom stupně n > 0. /J Dva polynomy P, Q stupně n jsou si rovny, jestliže jsou si rovny koeficienty u sobě odpovídajících mocnin. ii) (Základní věta algebry.) Polynom P má nad komplexním oborem C právě n kořenů, pocítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost. iii) Je-li komplexní číslo a k-násobným kořenem reálného polynomu P, je číslo komplexně sdružené ä rovněž k-násobným kořenem polynomu P. iv) Necht an = 1. Je-li celé číslo a kořenem polynomu P s celočíselnými koeficienty, pak a je dělitelem čísla 3q. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Rozklad polynomu v oboru reálných čísel Věta Nechi P(x) = anxn + an_ix"_1 H-----h a0, kde a0, ai,..., an e R je polynom stupně n > 0. Jsou-li ai,... ,ar všechny reálné kořeny polynomu P s násobnostmi k\,..., kr a (ci ± id\), ..., (cs ± ids) všechny navzájem různé dvojice komplexně sdružených kořenů s násobnostmi r\,...,rs, platí P(x) = an(x - ai) (x - ar)k'[{x - Cl)2 + d*]* ■ ... ....[(x-cs)2 + d^. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Znaménko polynomu Úlohou určení znaménka polynomu rozumíme nalezení intervalů, kde je polynom kladný a kde záporný. Tato úloha je důležitá při vyšetřování průběhu funkce. K určení znaménka hodnot polynomu použijeme rozklad polynomu a následující fakt. Jsou-li xi < X2 < • • • < xm všechny jeho navzájem různé reálné kořeny, pak v každém z intervalů (—00, xi), (xi, X2),..., (xm, 00) je polynom stále kladný nebo stále záporný. Příklad Určete znaménko polynomu P(x) = (x2 — x)(x — 2)2 a načrtněte jeho graf. 1 Funkce Limita funkce Hornerovo schéma Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Mějme polynom P(x) = anxn + an_ix"_1 + • • • + 3q. Jeho hodnotu pro číslo c určíme pomocí následující tabulky, kterou nazýváme Hornerovo schéma. a„ an-l an-2 ao c a„ c ■ an + an-i c ■ ci + a„_2 c • c„_2 + ai c • cn_i + a0 ci c2 Poslední získaná hodnota cn je hodnota polynomu P v bodě c. Upozorněme, že v záhlaví tabulky jsou všechny koeficienty, tj. i případné nuly zastupující mocniny, které v polynomu chybí. Je-li cn = 0, tj. P(c) = 0, pak číslo c je kořenem. V tomto případě jsou čísla a„, ci,..., c„_i koeficienty polynomu Q(x) stupně n — 1, pro který platí P(x) = (x — c)Q(x). Tedy pro hledání dalších kořenů můžeme použít „jednodušší" polynom Q. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Racionální lomené funkce Definice Buďte P, Q nenulové polynomy. Funkce P(x) P(x) Q(x) se nazývá racionální funkce (též racionální lomená funkce). Tuto funkci nazveme ryze lomenou, platí-li stP < stQ, a neryze lomenou, platí-li stP > stQ. Příkladem ryze lomené racionální funkce jsou funkce ^ příkladem neryze lomené racionální funkce jsou funkce x2+2 2x2-l ■ nebo Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Platí následující tvrzení: i) Definičním oborem racionální funkce R(x) = je množina tvaru d(r) = (-°°> °°) x {«1) • • • > am}, kde ai,..., am jsou všechny reálné kořeny polynomu Q. ii) Je-li neryze lomená racionální funkce, pak dělením polynomů P a Q obdržíme součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Například x3 + 2x 5x + 2 _= x_2-1__ x2 + 2x + 1 x2 + 2x + 1 ' Znaménko racionální lomené funkce určíme podobně jako u polynomu. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Rozklad ryze lomené racionální funkce na parciální zlomky I Nechť R(x) = je ryze lomená racionální funkce. Každou takovou funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků následujícím způsobem: • Je-li číslo a reálný jednoduchý kořen polynomu Q, pak rozklad funkce R obsahuje parciální zlomek tvaru A (x — a) • Je-li číslo a reálný /c-násobný kořen polynomu Q, pak rozklad obsahuje součet k parciálních zlomků tvaru A B M (x — a) (x — a)2 (x — a)k Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Rozklad ryze lomené racionální funkce na parciální zlomky II • Jsou-li čísla a ± i/3 komplexně sdružené jednoduché kořeny polynomu Q, pak rozklad obsahuje parciální zlomek tvaru Ax + B ax2 + bx + c' kde ax2 + bx + c má kořeny a + i/3. • Jsou-li čísla a ± i/3 dvojnásobné komplexně sdružené kořeny polynomu Q, pak R obsahuje součet dvou parciálních zlomků tvaru Ax + B Cx + D ax2 + bx + c [ax2 + bx + c)2 Podobně trojnásobné dvojici komplexních kořenů odpovídá součet tří parciálních zlomků atd. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Rozklad ryze lomené racionální funkce na parciální zlomky Rozklad funkce R je součtem všech parciálních zlomků výše uvedeného tvaru, které přísluší všem kořenům polynomu Q. Konstanty v parciálních zlomcích (lze ukázat, že jsou určeny jednoznačně) nalezneme metodou neurčitých koeficientů, tj. napíšeme formální tvar rozkladu a celou rovnost vynásobíme polynomem Q. Dostaneme tak rovnost dvou polynomů pro všechna x kromě kořenů jmenovatele. Tyto polynomy jsou identické, tj. mají stejné koeficienty, které určíme pomocí dvou možných způsobů: porovnáním koeficientů u odpovídajících si mocnin, dosazením konkrétních hodnot x (vhodnejšou zvláště kořeny jmenovatele Q). Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Rozklad ryze lomené racionální funkce na parciální zlomky IV Získáme soustavu n lineárních rovnic pro n neznámých konstant, kterou vyřešíme. Příklad Rozložte racionální funkci na parciální zlomky: Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Limita funkce I Funkce y = f(x) má v bodě xo limitu L, jestliže se s hodnotami funkce f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně blízké hodnotě xo, ale různé od xq. Zapisujeme lim f(x) = L. Říkáme, že funkce má ve vlastním bodě vlastní limitu. Funkce y = f(x) má v bodě xo limitu rovnu oo, jestliže hodnoty funkce f(x) můžeme udělat libovolně velké tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně blízké hodnotě xo, ale různé od xo. Zapisujeme lim f(x) = oo. x^x0 Říkáme, že funkce má ve vlastním bodě nevlastní limitu. Podobně můžeme tuto limitu popsat pro —oo. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Limita funkce II Funkce y = f(x) má v bodě oo limitu L, jestliže se s hodnotami funkce f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně velké. Zapisujeme lim f(x) = L x—>oo Říkáme, že funkce má v nevlastním bodě vlastní limitu. Podobně můžeme tuto limitu popsat pro —oo. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Definice limity pomocí okolí Definice Nechť x0, ô G R, ô > 0. Pak interval O(x0) = (x0 - ô,x0 + ô) nazveme okolím bodu xo. Buď a G M. Pak interval O(oo) = (a,oo) nazveme okolím bodu oo a interval 0{—oo) = (—00, a) okolím bodu —00. Definice Nechť xo, L G MU{oo, —00}. Řekneme, že funkce f (x) má v bodě xo limitu rovnu číslu L a píšeme limx^Xo f (x) = L, jestliže ke každému okolí 0{Ľ) bodu L existuje okolí O(xo) bodu xo tak, že pro x G O(x0) \ {x0} platí f(x) G 0{L). Funkce f má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Řekneme, že funkce f(x) má v bodě xo limitu zleva rovnu L, píšeme lim f(x) = L, jestliže se s hodnotami funkce f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x menší než xo a dostatečně blízké hodnotě xq. Podobně můžeme popsat limitu zprava i příslušné nevlastní limity. Věta Platí limx^Xo f(x) = L právě tehdy, když \\mx^x- f(x) = linW f(x) = L. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Výpočet limit I Pro výpočet limit platí následující početní operace. Necht existují obě vlastní limity lim> f{x) lim x^xq g(x) = Z_2. Pak platí: a) \\mx^X0{f{x) ± g{x)) = L1±L2, b) limx_>xa(r(x)-g(x)) = Z.i-Z.2f f(x) U L2' c) Je-li Z_2 ý O- P3^ ''m x^xq d) limx^Xo \f(x lim x^xq ř(x) f(x)\. Li Pro výpočet limity podílu f{x) lim x^xq g{x) Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Výpočet limit II kde lim f(x) = 1, lim g(x) = ±00 nebo lim g(x) = 0, x—>XQ x—>XQ x—>XQ platí vztahy vyjádřené symbolicky ±00 -00. (1) Je-li limx^Xo f{x) = c a I imx_s,Xo g[><) — 0, pak je vztahy v (1) třeba modifikovat podle znaménka čísla c. V případech limit typu vyjádřených symbolicky 00 — 00, 00 00' je situace nejednoznačná (jde o tzv. neurčité výrazy). Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Spojitost funkce Definice Nechť xo G M. Řekneme, že funkce f je v bodě xo spojitá, jestliže je limita funkce v tomto bodě rovna funkční hodnotě v tomto bodě, tj. limx^Xo f(x) = f(x0). Podobně definujeme i jednostranné spojitosti pomocí jednostranných limit. Definice Nechť f je funkce a / C D(f) je interval. Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu /, jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Patří-li navíc levý (pravý) koncový bod do /, je v něm funkce spojitá zprava (zleva). Je-li / = [a,b], často se fakt, že je funkce na tomto intervalu spojitá, zapisuje f G C[a,fa]. Všechny tzv. elementární funkce, tj. mnohočleny, exponenciální a logaritmické funkce, goniometrické a cyklometrické funkce, mocninná funkce (např. y/x, obecně funkce xa, kde a G M a x > 0) a všechny funkce, které z nich vzniknou konečným počtem aritmetických operací sčítání, odčítání, násobenia dělení, skládáním a tvořením funkcí inverzních, jsou spojité ve všech bodech, kde jsou definované. Proto je limita těchto funkcí v daném bodě rovna funkční hodnotě. Funkce Limita funkce Derivace funkce Vlasnosti spojitých funkcí Extrémy funkce Průběh funkce Věta (Weierstrassova věta) Necht f je spojitá na intervalu I = [a, b\. Pak je na tomto intervalu ohraničená a nabývá zde své největší i nejmenší hodnoty. Věta (Bolzanova věta) Necht f je spojitá na intervalu I = [a, b\. Pak na tomto intervalu nabývá všech hodnot mezi svou největší a nejmenší hodnotou. Důsledek Je-li funkce f spojitá na intervalu I = [a, b] a f(a)f(b) < 0, pak existuje bod c G (a, b) takový, že f(c) = 0. Buď f funkce a bod xo G D(f). Existuje-li vlastní limita f (x) - f(x0) lim x^xq x - x0 (2) nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě xq a značíme n*)-_ Derivaci funkce f v bodě xo značíme též jj(xo) nebo (f(x))' Podobně definujeme derivace zprava a derivace zleva: x—xd fi(xo) f(x) - f (x0) lim x^x+ x - x0 f-(xo) lim f(x) - f(xo) x - Xq Bezprostředně z definice derivace plynou tyto důležité vlastnosti derivace funkce: i) Funkce má v daném bodě nejvýše jednu derivaci. ii) Položíme-li h = x — xq, lze derivaci zapsat ve tvaru f-(xo)=limf(xo + /?)-f(xo). iii) Funkce f má v xo derivaci právě tehdy, když má v tomto bodě derivaci zprava i zleva a ty jsou si rovny. Funkce Limita funkce Derivace funkce Geometrický význam derivace Extrémy funkce Průběh funkce Obrázek: Geometrický význam derivace Z geometrického významu derivace plyne, že funkce f má v bodě xo derivaci právě tehdy, když její graf má v bodě (xo, ^(xo)) tečnu se směrnicí f'(xo). Rovnice této tečny v bodě T = (xo, ^(xo)) je y = f{xo) + f'{xo){x ~ xo)- Příklad Rozhodněte, zda mají funkce y = x2 a y = |x| derivaci v bodě x = 0. Příklad Z definice derivace odvoďte derivaci funkce y = x2 v libovolném bodě xq. Funkce Limita funkce Derivace vyšších řádů Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Protože lze derivaci funkce f chápat jako funkci, můžeme definovat derivaci funkce f v nějakém bodě xo; tu pak nazýváme druhou derivací funkce f v bodě xo a značíme f"(xo). Rovněž vlastní druhou derivaci funkce f lze chápat jako funkci f" na množině D(f") C D(f). Ta může mít opět derivaci v některém bodě atd. Obecně definujeme: Definice Druhou derivacífunkce f rozumíme funkci f" = (f)' a pro libovolné n > 2 definujeme n-tou derivaci (derivaci n-tého řádu) funkce f vztahem = (fí"-1))'. Funkce Limita funkce Derivace funkce Pravidla pro výpočet derivace Extrémy funkce Průběh funkce Pro derivace elementárních funkcí platí: (sin x) (tg*) (arcsin x) (arctgx) (e») (Inx) 0, cosx, 1 cosz x 1 1 x^TT' ex, 1 1 x (xa) (cosx) (cotgx) (arccosx) (arccotgx) (ax) ax a-l - sin x, 1 sin2 x vT x2 + ľ ax • In a, 1 x In a ' /ccfe a G M a c G Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Nechť mají funkce f,g derivaci na množině M. Pak platí: a) (cf(x))' = cf'(x), b) (f(x) + g(x)y = f>(x)+g>(x), c) (f(x).g(x)y = f'(x)g(x) + f(x)g'(x), ^-//g(x)^M \g{x)J S2{x) 1 Věta Nechi funkce u = g(x) má derivaci g'(x), funkce y = f(u) má derivaci f'(u) a necht platíD(f) ~D H(g). Pak složená funkce y = F(x) = f[g(x)] má derivaci a platí: F'(x) = f'[g(x)]-g'(x). Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce ' Příklad ^ Vypočtěte derivace následujících funkcí: a) y = 4x3-2x2+3x-l, b) y = 3^, c) y = x2 In x, d) y cos x— 1 sin x ' e) y = arctgx2, f) y = Vex + x. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Lagrangeova věta o střední hodnotě Průběh funkce Věta Necht funkce f je spojitá na intervalu [a, b] a v každém bodě x G (a, b) má derivaci f'(x). Pak existuje bod c G (a, b), pro který platí Označme body roviny A = (a, f (a)), B = (b, f (b)). Lagrangeova věta říká, že existuje alespoň jeden vnitřní bod c z intervalu (a, b) takový, že tečna v bodě (c, f (c)) je rovnoběžná s úsečkou AB. Důsledek Necht funkce f,g mají vlastní derivace v každém bodě otevřeného intervalu I. Jestliže pro všechna x G / platí f'(x) = g'(x), pak se funkce f,g liší o konstantu, tj. existuje c G M takové, že f (x) = g(x) + c. Zejména jestliže f'(x) = 0 na I, pak je f na I konstantní. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce ĽHospitalovo pravidlo Věta (ĽHospitalovo pravidlo) Bud xp £ 1U {—oo, 00}. Necht je splněna jedna z podmínek i) lim fix) X^XQ lim g(x) = 0, X^XQ ii) lim \f(x)\ = lim \g(x)\ = +00. x—>XQ x—>XQ fix) Existuje-li (vlastnínebo nevlastní) lim —— f (x) x^x° S'{x) lim , N a platí pak existuje také xo g(x) lim f(x) lim f'(x) xo g{x) x^x0g'(x)' Funkce Limita funkce Neurčité výrazy I Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Neurčitými výrazy rozumíme limitu součtu, součinu, rozdílu a podílu funkcí, v nichž limity jednotlivých funkcí existují, ale příslušné operace s nimi nejsou definovány. Jde o tyto případy: -, —, oo — oo, 0 • oo, 0°, oo°, 1°°. 0 oo První dva případy limit lze řešit pomocí 1'Hospitalova pravidla, další případy je možné převést na první dva následovně. a) Limita typu „oo — oo", tj. lim f(x) = oo = lim g(x). Pak x^x0 x^x0 _1___L_ SM K*) lim (f{x)-g(x)) = lim —---— = lim x^x0 x^x0 \ —i^. I x^x0 1 což je typ Funkce Limita funkce Neurčité výrazy II Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce b) Limita typu „O • oo", tj. lim f(x) = 0, lim |g(x)| = oo. Pak x^x0 x^x0 lim f(x)g(x)= lim x^x0 X^X0 -i^ což je typ „§". c) Limity typu „0°, oo°, 1°°". Řešíme úpravou na exponenciální funkci: , , / \ i rt \ lim g(x) In f (x) lim f(x)sM = |im eř(x)inf(x) = e,^^ x^x0 x^x0 V poslední úpravě jsme použili větu o limitě složené funkce, neboť funkce ex je spojitá. Přitom limita v exponentu je již typu „0 • oo". Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Vztah derivace a monotonie funkce Následující věta je důsledkem geometrického významu derivace a vlastností funkce tangens. Věta Necht f má derivaci na otevřeném intervalu I. a) Je-li f'(x) > 0 pro každé x G /, pak je f rostoucí na I. b) Je-li f'(x) < 0 pro každé x G /, pak je f klesající na I. i Funkce Limita funkce Deri ví ce funkce Extrémy funkce Průběh funkce Extrémy fu n kce Definice Řekneme, že funkce f má v bodě xq: a) lokální maximum, existuje-li okolí 0{xq) tak, že pro každé x G 0{xq) je f{x) < f{x0), b) lokální minimum, existuje-li okolí 0{xq) tak, že pro každé x G O{x0) je f(x) > f{x0), c) ostré lokální maximum, jestliže existuje okolí 0{xq) tak, že pro každé x G O(xq) \ {xo} je f(x) < f(xo), d) ostré lokální minimum, jestliže existuje okolí 0{xq) tak, že pro každé x G 0{xq) \ {xo} je f(x) > ^(xo). Lokální maxima a minima nazýváme souhrnně lokální extrémy. Funkce Limita funkce Stacionární bod Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Nechť má funkce f v bodě xq lokální extrém a nechť existuje derivace f'(xo). Pak f'(xo) = 0. Bod xq s vlastností f'(xo) = 0 se nazývá stacionární bod funkce. Opačně věta neplatí: Ve stacionárním bodě funkce nemusí nastat extrém! Například funkce f(x) = x3 má v xo = 0 derivaci f'(0) = 0, ale nemá v tomto bodě extrém. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Existence lokálního extrému Věta Mění-li derivace funkce při přechodu přes stacionární bod znaménko, má zde funkce lokální extrém. Věta Necht f'(xo) = 0, tj. xq je stacionární bod. a) Je-li f"(xo) > 0, pak má funkce f v bodě xq ostré lokální minimum. b) Je-li f"(xo) < 0, pak má f v bodě xq ostré lokální maximum. Příklad Najděte lokální extrémy funkce: a) f (x) = x3 - 12x - 6, b) f(x) = jfe. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Absolutní extrémy Definice Buď funkce f definovaná na množině M. Jestliže xo G M a platí f{x) < f(xo) pro všechna x G M, říkáme, že funkce f má na M absolutní maximum v bodě xo. Podobně definujeme absolutní minimum. Postačující podmínku pro existenci absolutních extrémů nám udává Weierstrassova věta, která říká, že každá funkce, jež je spojitá na ohraničeném a uzavřeném intervalu, nabývá na tomto intervalu absolutních extrémů. Pokud nejsou některé z těchto předpokladů splněny, nemusí absolutní extrémy existovat. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Jak najít absolutní extrémy Pokud máme zajištěno, že existují absolutní extrémy funkce f definované na intervalu, používáme pro jejich nalezení následující postup: Najdeme v daném intervalu stacionární body a body, v nichž neexistuje první derivace. Vypočteme funkční hodnoty v těchto bodech. Vypočteme funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (pokud patří do D(f)). Ze všech takto získaných funkčních hodnot vybereme největší a nejmenší. To bude absolutní maximum a minimum. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Aplikace derivací při optimalizačních úlohách I Příklad Ze čtverce papíru o straně a vystřihněte v rozích čtverce tak, aby krabice složená ze zbytku papíru měla co největší objem. Příklad Do koule o poloměru R vepište válec s největším objemem. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Aplikace derivací při optimalizačních úlohách II Příklad V devatenáctém století objevil francouzský lékař Jean Louis Marie Poiseuille, že průtoková rychlost (v centimetrech za sekundu) krve proudící tepnou ve vzdálenosti r od středu tepny je dána vztahem v(r) = k(R2 - r2), kde k je kladná konstanta a R je poloměr tepny. Určete, v jaké vzdálenosti od středu tepny je rychlost krve nejvyšší. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Aplikace derivací při optimalizačních úlohách III ' Příklad " Ve městě s 10 000 obyvateli je počet N lidí, kteří mají v daném čase t chřipku, roven N(t) = 10000 1 + 9999e-ř' kde t je čas měřený ve dnech a chřipka je rozšířena jedinou oso- bou, která ji měla v čase t = 0 Určete, v kterém čase t je rychlost šíření nemoci největší. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Aplikace derivací při optimalizačních úlohách IV Příklad Rychlost světla závisí na prostředí, ve kterém se světlo šíří, a obecně je pomalejší v hustším prostředí. Fermatův princip je jeden ze základních zákonů optiky, který říká, že světlo se v prostoru šíří z jednoho bodu do druhého po takové dráze, aby doba, kterou světlo potřebuje k proběhnutí této dráhy, byla minimální. Najděte cestu světelného paprsku z bodu A v prostředí, v kterém je rychlost světla ci, do bodu B v prostředí s rychlostí světla C2. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Aplikace derivací při optimalizačních úlohách V Příklad Máme směs kyslíku a oxidu dusnatého. Okysličování oxidu dus-natého probíhá podle reakce 2NO + 02 —> 2N02 a pro její rychlost v platí v = k[NO}2[02], kde k > 0 je rychlostní konstanta. Určete takovou koncentraci kyslíku v této směsi, při které se oxid dusnatý nejrychleji okysličí. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Aplikace derivací při optimalizačních úlohách VI Příklad V čisté vodě platí vztah pro iontový součin vody Kw: Kw = [H+][OH-], kde [H+] je koncentrace vodíkových kationtů a [OH~] je koncentrace hydroxidových aniontů. Určete funkci [H+] + [OH~] v závislosti na [H+] a stanovte minimum této funkce. Funkce Limita funkce Derivace funkce Konvexní a konkávni funkce Extrémy funkce Průběh funkce Nyní se zaměříme na to, jak derivace souvisí s tvarem grafu funkce, tj. s tím, jak je graf vydutý (zakřivený). Pro popis této vlastnosti zavedeme pojmy konvexnía konkávnifunkce. V následujícím předpokládejme, že má funkce f derivaci na intervalu /. Definice Řekneme, že funkce f je konvexní na intervalu 1, jestliže g raf funkce leží nad tečnou v libovolném bodě tohoto intervalu tj. platí f(x) > f(x0) + f'{x0)(x - x0) pro x,x0 G /. Řekneme, že funkce f je konkávni na intervalu /, jestliže g raf funkce leží pod tečnou v libovolném bodě tohoto intervalu . tj. platí f{x) < f{xo) + f'{xo){x - *o) pro x,x0 G /. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce ^^ěta~~ ~^^M Necht I je otevřený interval a f má druhou derivaci na I. a) Je-li f"{x) > O pro každé x G /, pak je f konvexní na I. b) Je-li f"{x) < O pro každé x G /, pak je f konkávni na I. Definice Řekneme, že xo je inflexním bodem funkce f, jestliže je vlevo od bodu xo konkávni a vpravo od tohoto bodu je konvexní, anebo naopak. Stručně říkáme, že funkce f má v bodě xq inflexi. Věta a) Necht xq je inflexníbod a necht existuje f"(xo). Pak f"{xo) = 0. b) Necht f"(x0) = 0, v levém okolí bodu x0 platí f "(x) < 0 a v pravém okolí bodu xq platí f "(x) > 0, nebo naopak. Pak je xo inflexním bodem funkce f. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Asymptoty funkce Pomocí limit můžeme určovat chování funkce v bodech, kde není definována, případně i její chování v nekonečnu. Dostáváme se tak k asymptotám funkce neboli přímkám, ke kterým se graf funkce „blíží". Asymptoty mohou být dvojího typu: i) V bodech, kde není funkce definovaná a limita zprava nebo zleva je v těchto bodech nevlastní. ii) Pro x —> oo se graf funkce blíží k nějaké přímce. Podobně pro x —> — oo. Definice Přímka x = xo se nazývá asymptotou bez směrnice funkce f, jestliže má f v xo alespoň jednu jednostrannou limitu nevlastní, tj. lim^ fix) = ±00 nebo lirri , - fix) = ±00. J X ^-^q ^ ' x—^Xq v ' Přímka y = ax + b, a, b G M, se nazývá asymptotou se směrnicí funkce f, jestliže platí limx^_00(/r(x) — (ax + b)) = 0 nebo limx^+00(/r(x) - (ax + b)) = 0. Funkce Limita funkce Derivace funkce Extrémy funkce Průběh funkce Jak najít asymptoty se směrnicí? Přímka y = ax + b je asymptotou funkce f pro x —> +00, jestliže f(x) lim x—>+oo x b = lim (f(x) — ax) (obě tyto limity jsou vlastní). Analogické tvrzení platí pro x —00. Příklad Určete asymptoty grafu funkce Funkce Limita funkce Derivace funkce Vyšetřování průběhu funkce f Extrémy funkce Průběh funkce a) Stanovíme definiční obor D(f). Určíme nulové body a intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná. Případně zda je funkce f sudá, lichá nebo periodická. b) Vypočítáme f a podle jejího znaménka určíme: intervaly, kde je f rostoucí (z podmínky f > 0), intervaly, kde je f klesající (z podmínky f < 0), lokální extrémy (podle změny znaménka f). c) Vypočítáme f" a podle jejího znaménka určíme: intervaly, kde je f konvexní (z podmínky f" > 0), intervaly, kde je f konkávni (z podmínky f" < 0), inflexní body (podle změny znaménka f"). d) Určíme asymptoty funkce f. e) Nakreslíme graf funkce.