ií funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Integrální počet funkcí jedné proměnné Neurčitý a určitý integrál Petr Liška Masarykova univerzita 17.9.2014 Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Primitivní funkce Definice Nechť funkce f a F jsou definované na intervalu /. Jestliže platí F'(x) = f(x) pro všechna x e /, pak říkáme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I. Množinu všech primitivních funkcí k funkci f nazýváme neurčitý integrál funkce f a označujeme J f(x)dx. i Funkci f(x) nazýváme integrandem. Výraz dx je tzv. diferenciál proměnné x a je součástí označení pro integrál. Pokud není interval / otevřený, pak v krajních bodech uvažujeme jednostranné derivace. ií funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Věta Je-li funkce F(x) primitivní k funkci f(x) na intervalu I, pak každá jiná primitivní funkce k funkci f má tvar F(x) + c, kde cgK. Píšeme J f {x) dx = F {x) + c, kde c je reálné číslo a nazývá se integrační konstanta. Z definice neurčitého integrálu plyne, že (I f (x) dx) = f (x), j F'(x) dx = F(x) + c, tj. operace derivování a integrování jsou navzájem komplementární. ií funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Věta Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak k ní na tomto intervalu existuje primitivní funkce. Necht na intervalu I existují neurčité integrály f f (x) dx a f g(x) dx a necht a je libovolná konstanta. Pak na I existuje neurčitý integrál funkce f + g a neurčitý integrál funkce a f a platí J (f(x) + g(x))dx = J f(x)dx + J g(x)dx, J af(x) dx = a J f(x)dx. (1) (2) Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Vzorce pro výpočet integrálu (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) / 1 dx = x + c, /±dx=ln|x| + c, / ex dx = ex + c, / a* dx + a>0, a/1, J sin xdx — — cosx + c, J cos xdx — sin x + c, / x;1+1 dx — arctg x + c, f , 1 dx — arcsin - + c, / 1 dx = In |x + Vx2 + a| + c V x2 + a f -^5— dx = tgx + c, J cosz x ° f . \ dx = —cotg x + c, J sinz x ° /^dx=ln|f(x)| + , Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Metoda per-partes Metoda integrování per partes je odvozena z derivace součinu. Víme, že platí (uv)' = u'v + uv'. Odtud integrací dostaneme uv = I u'v + / uv'. Známe-li jeden integrál, můžeme určit integrál druhý. Necht funkce u(x) a v(x) mají spojité derivace na intervalu I. Pak platí u(x)v'(x)dx = u(x)v{x) - f u'(x)v(x)dx. (3) Základní integrační metody Nevlastní integrál Většinu integrálů řešených metodou per partes můžeme rozdělit do dvou skupin. Nechť P(x) je polynom, pak první skupinou jsou integrály typu J P(x)eaxdx, J P(x)sinaxdx, J P(x)cosaxdx. Zde jako funkci u, kterou do dalších výpočtů derivujeme, volíme polynom, tj. u = P(x). Druhou skupinou jsou integrály J P(x)lnxdx, J P(x) arctg ax dx, j P(x) arcsin ax dx. Zde volíme polynom jako funkci, kterou do dalších výpočtů integrujeme, tj. v' = P(x). Příklad Vypočtěte neurčité integrály a) J xcosxdx, b) / x2exdx, c) j arctg xdx, d) j ex sin xdx. Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Metoda substituce Substituční metoda je odvozena z derivace složené funkce. Nechť funkce f má na intervalu J primitivní funkci F, funkce t = tp(x) má spojitou derivaci na intervalu I a tp(x) G J pro x G /. Pak má složená funkce f (tp(x))tp'(x) primitivní funkci na intervalu I a platí j f(
(oy(0 dt.
' Příklad *
Vypočtěte neurčité integrály a) f(3x-4)7dx, b)
c) / 10x(x2 + 13)12 dx, d) f ^dx,
e) f cos3xdx, 0 J x\/l — x2 dx.
Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál
Integrace racionální lomené funkce
Racionální lomená funkce je funkce tvaru
P(x)
R(x)
kde P, Q jsou nenulové polynomy.
Je-li R(x) neryze lomená funkce, rozložíme ji na součet polynomu a ryze lomené funkce.
Ryze lomenou racionální funkci rozložíme na parciální zlomky, které jsou dvou typů:
M
(x — a)1"
nebo
Ax + B
(ax2 + bx + c)k
podle toho, zda daný zlomek přísluší reálnému kořenu nebo komplexně sdružené dvojici kořenů polynomu Q.
Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál
Nej kom pli kovanější případ
Jsou-li čísla a ± i(3 dvojnásobné komplexně sdružené kořeny polynomu Q, pak R má dva parciální zlomky tvaru
Ax + B
+
Cx + D
ax2 + bx + c {ax2 + bx + c)2
Podobný rozklad dostaneme pro n-násobné (n > 3) komplexní kořeny. Při výpočtu použijeme rekurentní vzorec
dx x
Kn{x) =
kde
a rozklad
(1 + x2)" 2(n - l)(x2 + l)"-1 ' 2-2n ^i(x) = arctgx,
+ T.-—Kn-l{x),
Ax + B
((x-xo)2 + a2)" A 1
dx
2 n-n)((x-x0)2 + a2)
n-1
+
e + /\x0
32n-
x - x0
Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál
Nějaké příklady
Příklad
Vypočítejte následující integrály:
_\ ľ 2x2+6x-2 a> J x(x+2)(x-l)
dx,
b) /
x2+2x+6
(x-1)
dx,
x-l r4+3x2+2
dx,
Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál
Integrace funkcí s odmocninami I
Integrál z funkce typu
R(x, V^pí, Vx^2,..., Vx^), kde pi..., p„, gi,..., gn G N, můžeme substitucí
kde s je nejmenší společný násobek čísel qi,..., qn, převést na integraci racionální lomené funkce.
' Příklad
Vypočtěte integrál J
Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál
Integrace funkcí s odmocninami II
Nevlastní integrál
Integrály z funkcí tvaru
převedeme na integrál z racionální lomené funkce substitucí
tn = ax + b cx + d
' Příklad
Vypočtěte neurčitý in1 J .egrál f 2 + ^+i_dx. (x + l)2-v/x + l
Primitivní funkce
Základní integrační metody
Určitý interál
Nevlastní integrál
Integrace goniometrických funkcí I
Integrál typu
J sin"xcosmxdx,
kde n, m G N můžeme vždy vhodnou substitucí převést na integrál z polynomu.
Je-li n liché číslo, použijeme substitucí u = cosx, je-li m liché, použijeme substituci v = sinx. Jsou-li obě tato čísla lichá, budou fungovat obě substituce, technicky výhodnější je substituovat funkci, která je ve vyšší mocnině. V případě, že jsou obě čísla sudá, použijeme vzorce
2 1 — cos 2x 2 1 + cos 2x sin x =---, cos x =---.
Příklad
Vypočítejte následující integrály:
a) Jsin5xcos2xdx, b) Jsin4xdx.
Primitivní funkce
Základní integrační metody
Určitý interál
Nevlastní integrál
Integrace goniometrických funkcí II
Předchozí příklady můžeme zobecnit a dostaneme následující případy funkcí typu /?(sin x, cosx).
i) Je-li integrovaná funkce lichá vůči cosinu, tj. platí-li
/?(sin x, — cosx) = — /?(sin x, cosx),
pak volíme substituci t = sinx.
ii) Je-li integrovaná funkce lichá vůči sinu, tj. platí-li
/?(— sin x, cosx) = — /?(sin x, cosx), pak volíme substituci ř = cosx. Platí-li
/?(— sin x, — cosx) = /?(sin x, cosx),
volíme substituci ř = tgx. Z definice goniometrických funkcích v pravoúhlém trojúhelníku pak můžeme odvodit, že platí
t 1
Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál
Integrace goniometrických funkcí III
Integrál z funkce typu /?(sin x, cosx) můžeme vždy převést na integrál z racionální lomené funkce pomocí tzv. univerzální substituce
x
r = tg2-
Ze substituční rovnice plyne x = 2arctgx a tedy dx = j^-p dt. Pomocí definice goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku (tentokrát s úhlem —) a vzorců pro dvojnásobný úhel můžeme odvodit, že
2t
cosx
1 + ř2'
sin x
1 + ŕ
2 "
Příklad
Pomocí univerzální substituce vypočítejte integrál
1 — sin x
1 + cos x
dx.
Primitivní funkce
Základní integrační metody
Určitý interál
Nevlastní integrál
Eulerovy substituce
Pro přehled si naznačíme postup při integraci některých složitějších funkcí. Integrály z funkcí typu
R(x, \Jax2 + bx + c)
můžeme v případě, kdy má kvadratická rovnice reálné kořeny, upravit na předchozí typ. Má-li rovnice komplexně sdružené kořeny, použijeme tzv. Eulerovy substituce, které jsou například pro a > 0 tvaru
\Jax2 + bx + c = ±y/a~x ± ŕ,
a pro c > 0 tvaru
\Jax2 + bx + c = ±xŕ ± yfc.
Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál
Binomické integrály
Integrály z funkcí typu
xm(a + bxn)p,
kde a, b, m, n, p G M, nazýváme binomické. Tyto integrály lze převést na integrály z racionální lomené funkce v těchto případech:
i) p G Z, a to substitucí x = ŕs, kde s je společný jmenovatel čísel m, n;
ii) G Z, a to substitucí a + bxn = ts, kde s je jmenovatel čísla p;
iii) n}^1 + p G Z, a to substitucí ax~" + b = ts, kde s je jmenovatel čísla p.
Primitivní funkce
Základní integrační metody
Určitý interál
Nevlastní integrál
Drobná poznámka
Závěrem poznamenejme, že není vždy možné k dané elementární funkci najít funkci primitivní, která by byla vyjádřena pomocí elementárních funkcí. Mezi takové patří například tyto neurčité integrály:
sin x
dx,
dx In x'
dx,
sin x2 dx.
V těchto případech lze primitivní funkci vyjádřit například pomocí nekonečné mocninné řady. Například
sin x
dx
oo
E
n=l
i.2n-\
("I)
n+1
(2/j- 1) • (2n — 1)!"
Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál
Definice a základní vlastnosti určitého integrálu
Nechť f je nezáporná ohraničená funkce definovaná na [a, b], která je pro jednoduchost spojitá na intervalu [a,b]. Určeme obsah plochy P ohraničené grafem funkce f, osou x a přímkami x = a, x = b. Tato plocha se někdy pro jednoduchost nazývá podgraf funkce.
■4-*-
b x
0
a
Obrázek: Podgraf funkce
ií funkce
Základní integrační metody
Určitý interál
Nevlastní integrál
Obsah podgrafu nemůžeme určit přímo, vyjádříme jej přibližně tak, že jej aproximujeme pomocí obdélníčků:
i) Interval [a, b] rozdělíme na n intervalů [x/_i,x,-] (tzv. dělicí intervaly) stejné délky tak, že xo = a a x„ = b. Délka Ax každého dělicího intervalu je
b~ a
Ax = x, — x/_i =-.
n
ii) Na každém dělicím intervalu aproximujeme plochu obdélníkem o stranách Ax a f (q), kde c-, náleží do dělicího intervalu. Pro obsah P; tohoto obdélníka platí
P; = f{Ci)Ax
a součet všech těchto obdélníků přibližně určuje obsah P plochy
n
P«^f(Q)Ax. /=1
ií funkce
Základní integrační metody
Určitý interál
Nevlastní integrál
ií funkce
Základní integrační metody
Určitý interál
Nevlastní integrál
Čím větší bude číslo n (počet dělicích bodů), tím přesnější (lepší) bude tato aproximace. Provedeme-li limitní přechod pro n —> oo, dostaneme přesnou hodnotu obsahu plochy
n
p= lim Vf(C;)Ax. (5)
Pro spojité funkce tato limita existuje a nezávisí na výběru bodů c-,. Obecně pro funkce, které nejsou spojité, toto nemusí platit. Pokud však tato limita existuje a nezávisí na výběru bodů q, nazýváme ji určitým integrálem a označujeme
Symbol f vznikl jako prodloužení písmene S, které bylo vybráno, protože integrál je limitou sumy.
ií funkce
Základní integrační metody
Určitý interál
Nevlastní integrál
Definice
Nechť f je funkce ohraničená na [a,b]. Necht a = xq, x\, X2,..., x„ = b jsou body dělící interval [a, b] na n stejných su-bintervalů délky Ax = a nechť c,- G [x/_i,x,-], / = 1,..., n. Určitým integrálem funkce f od a do b rozumíme
n
lim Vfíc/lAx, jestliže tato limita existuje a nezávisí na výběru bodů c-,. Píšeme
b
f (x) dx,
a říkáme, že funkce f je integrovatelná na [a, b].
Číslo a nazýváme dolní mez, číslo b horní mez a funkci f inte-
grand.
ií funkce
Základní integrační metody
Určitý interál
Nevlastní integrál
Důležitou roli hraje tzv. Newton-Leibnitzova formule, která dává do souvislosti určitý integrál funkce a její primitivní funkci (neurčitý integrál).
Věta (Newton-Leibnitzova formule)
Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak platí
í f(x) dx = F(b) -J a ~ F{a), (6)
kde F je primitivní funkce k funkci f na intervalu [a, b\.
Často píšeme místo F{b) — F{a) označení [F(x)]a, tj.
b r ^b
f(x)dx= F(x) .
Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál
Vlastnosti určitého integrálu I
Věta
Jsou-li funkce f a g spojité na intervalu [a, b], pak platí tyto vztahy:
*) Jab[f(x) + *(x)] dx = jab f(x) dx + jab g(x) dx;
b) jbcf{x)dx = cjbf{x)dx;
c) fb f(x) dx = fa f(x) dx + fb f(x) dx, kdea