ií funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Integrální počet funkcí jedné proměnné Neurčitý a určitý integrál Petr Liška Masarykova univerzita 17.9.2014 Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Primitivní funkce Definice Nechť funkce f a F jsou definované na intervalu /. Jestliže platí F'(x) = f(x) pro všechna x e /, pak říkáme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I. Množinu všech primitivních funkcí k funkci f nazýváme neurčitý integrál funkce f a označujeme J f(x)dx. i Funkci f(x) nazýváme integrandem. Výraz dx je tzv. diferenciál proměnné x a je součástí označení pro integrál. Pokud není interval / otevřený, pak v krajních bodech uvažujeme jednostranné derivace. ií funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Věta Je-li funkce F(x) primitivní k funkci f(x) na intervalu I, pak každá jiná primitivní funkce k funkci f má tvar F(x) + c, kde cgK. Píšeme J f {x) dx = F {x) + c, kde c je reálné číslo a nazývá se integrační konstanta. Z definice neurčitého integrálu plyne, že (I f (x) dx) = f (x), j F'(x) dx = F(x) + c, tj. operace derivování a integrování jsou navzájem komplementární. ií funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Věta Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak k ní na tomto intervalu existuje primitivní funkce. Necht na intervalu I existují neurčité integrály f f (x) dx a f g(x) dx a necht a je libovolná konstanta. Pak na I existuje neurčitý integrál funkce f + g a neurčitý integrál funkce a f a platí J (f(x) + g(x))dx = J f(x)dx + J g(x)dx, J af(x) dx = a J f(x)dx. (1) (2) Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Vzorce pro výpočet integrálu (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) / 1 dx = x + c, /±dx=ln|x| + c, / ex dx = ex + c, / a* dx + a>0, a/1, J sin xdx — — cosx + c, J cos xdx — sin x + c, / x;1+1 dx — arctg x + c, f , 1 dx — arcsin - + c, / 1 dx = In |x + Vx2 + a| + c V x2 + a f -^5— dx = tgx + c, J cosz x ° f . \ dx = —cotg x + c, J sinz x ° /^dx=ln|f(x)| + , Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Metoda per-partes Metoda integrování per partes je odvozena z derivace součinu. Víme, že platí (uv)' = u'v + uv'. Odtud integrací dostaneme uv = I u'v + / uv'. Známe-li jeden integrál, můžeme určit integrál druhý. Necht funkce u(x) a v(x) mají spojité derivace na intervalu I. Pak platí u(x)v'(x)dx = u(x)v{x) - f u'(x)v(x)dx. (3) Základní integrační metody Nevlastní integrál Většinu integrálů řešených metodou per partes můžeme rozdělit do dvou skupin. Nechť P(x) je polynom, pak první skupinou jsou integrály typu J P(x)eaxdx, J P(x)sinaxdx, J P(x)cosaxdx. Zde jako funkci u, kterou do dalších výpočtů derivujeme, volíme polynom, tj. u = P(x). Druhou skupinou jsou integrály J P(x)lnxdx, J P(x) arctg ax dx, j P(x) arcsin ax dx. Zde volíme polynom jako funkci, kterou do dalších výpočtů integrujeme, tj. v' = P(x). Příklad Vypočtěte neurčité integrály a) J xcosxdx, b) / x2exdx, c) j arctg xdx, d) j ex sin xdx. Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Metoda substituce Substituční metoda je odvozena z derivace složené funkce. Nechť funkce f má na intervalu J primitivní funkci F, funkce t = tp(x) má spojitou derivaci na intervalu I a tp(x) G J pro x G /. Pak má složená funkce f (tp(x))tp'(x) primitivní funkci na intervalu I a platí j f((oy(0 dt. ' Příklad * Vypočtěte neurčité integrály a) f(3x-4)7dx, b) c) / 10x(x2 + 13)12 dx, d) f ^dx, e) f cos3xdx, 0 J x\/l — x2 dx. Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Integrace racionální lomené funkce Racionální lomená funkce je funkce tvaru P(x) R(x) kde P, Q jsou nenulové polynomy. Je-li R(x) neryze lomená funkce, rozložíme ji na součet polynomu a ryze lomené funkce. Ryze lomenou racionální funkci rozložíme na parciální zlomky, které jsou dvou typů: M (x — a)1" nebo Ax + B (ax2 + bx + c)k podle toho, zda daný zlomek přísluší reálnému kořenu nebo komplexně sdružené dvojici kořenů polynomu Q. Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Nej kom pli kovanější případ Jsou-li čísla a ± i(3 dvojnásobné komplexně sdružené kořeny polynomu Q, pak R má dva parciální zlomky tvaru Ax + B + Cx + D ax2 + bx + c {ax2 + bx + c)2 Podobný rozklad dostaneme pro n-násobné (n > 3) komplexní kořeny. Při výpočtu použijeme rekurentní vzorec dx x Kn{x) = kde a rozklad (1 + x2)" 2(n - l)(x2 + l)"-1 ' 2-2n ^i(x) = arctgx, + T.-—Kn-l{x), Ax + B ((x-xo)2 + a2)" A 1 dx 2 n-n)((x-x0)2 + a2) n-1 + e + /\x0 32n- x - x0 Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Nějaké příklady Příklad Vypočítejte následující integrály: _\ ľ 2x2+6x-2 a> J x(x+2)(x-l) dx, b) / x2+2x+6 (x-1) dx, x-l r4+3x2+2 dx, Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Integrace funkcí s odmocninami I Integrál z funkce typu R(x, V^pí, Vx^2,..., Vx^), kde pi..., p„, gi,..., gn G N, můžeme substitucí kde s je nejmenší společný násobek čísel qi,..., qn, převést na integraci racionální lomené funkce. ' Příklad Vypočtěte integrál J Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Integrace funkcí s odmocninami II Nevlastní integrál Integrály z funkcí tvaru převedeme na integrál z racionální lomené funkce substitucí tn = ax + b cx + d ' Příklad Vypočtěte neurčitý in1 J .egrál f 2 + ^+i_dx. (x + l)2-v/x + l Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Integrace goniometrických funkcí I Integrál typu J sin"xcosmxdx, kde n, m G N můžeme vždy vhodnou substitucí převést na integrál z polynomu. Je-li n liché číslo, použijeme substitucí u = cosx, je-li m liché, použijeme substituci v = sinx. Jsou-li obě tato čísla lichá, budou fungovat obě substituce, technicky výhodnější je substituovat funkci, která je ve vyšší mocnině. V případě, že jsou obě čísla sudá, použijeme vzorce 2 1 — cos 2x 2 1 + cos 2x sin x =---, cos x =---. Příklad Vypočítejte následující integrály: a) Jsin5xcos2xdx, b) Jsin4xdx. Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Integrace goniometrických funkcí II Předchozí příklady můžeme zobecnit a dostaneme následující případy funkcí typu /?(sin x, cosx). i) Je-li integrovaná funkce lichá vůči cosinu, tj. platí-li /?(sin x, — cosx) = — /?(sin x, cosx), pak volíme substituci t = sinx. ii) Je-li integrovaná funkce lichá vůči sinu, tj. platí-li /?(— sin x, cosx) = — /?(sin x, cosx), pak volíme substituci ř = cosx. Platí-li /?(— sin x, — cosx) = /?(sin x, cosx), volíme substituci ř = tgx. Z definice goniometrických funkcích v pravoúhlém trojúhelníku pak můžeme odvodit, že platí t 1 Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Integrace goniometrických funkcí III Integrál z funkce typu /?(sin x, cosx) můžeme vždy převést na integrál z racionální lomené funkce pomocí tzv. univerzální substituce x r = tg2- Ze substituční rovnice plyne x = 2arctgx a tedy dx = j^-p dt. Pomocí definice goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku (tentokrát s úhlem —) a vzorců pro dvojnásobný úhel můžeme odvodit, že 2t cosx 1 + ř2' sin x 1 + ŕ 2 " Příklad Pomocí univerzální substituce vypočítejte integrál 1 — sin x 1 + cos x dx. Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Eulerovy substituce Pro přehled si naznačíme postup při integraci některých složitějších funkcí. Integrály z funkcí typu R(x, \Jax2 + bx + c) můžeme v případě, kdy má kvadratická rovnice reálné kořeny, upravit na předchozí typ. Má-li rovnice komplexně sdružené kořeny, použijeme tzv. Eulerovy substituce, které jsou například pro a > 0 tvaru \Jax2 + bx + c = ±y/a~x ± ŕ, a pro c > 0 tvaru \Jax2 + bx + c = ±xŕ ± yfc. Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Binomické integrály Integrály z funkcí typu xm(a + bxn)p, kde a, b, m, n, p G M, nazýváme binomické. Tyto integrály lze převést na integrály z racionální lomené funkce v těchto případech: i) p G Z, a to substitucí x = ŕs, kde s je společný jmenovatel čísel m, n; ii) G Z, a to substitucí a + bxn = ts, kde s je jmenovatel čísla p; iii) n}^1 + p G Z, a to substitucí ax~" + b = ts, kde s je jmenovatel čísla p. Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Drobná poznámka Závěrem poznamenejme, že není vždy možné k dané elementární funkci najít funkci primitivní, která by byla vyjádřena pomocí elementárních funkcí. Mezi takové patří například tyto neurčité integrály: sin x dx, dx In x' dx, sin x2 dx. V těchto případech lze primitivní funkci vyjádřit například pomocí nekonečné mocninné řady. Například sin x dx oo E n=l i.2n-\ ("I) n+1 (2/j- 1) • (2n — 1)!" Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Definice a základní vlastnosti určitého integrálu Nechť f je nezáporná ohraničená funkce definovaná na [a, b], která je pro jednoduchost spojitá na intervalu [a,b]. Určeme obsah plochy P ohraničené grafem funkce f, osou x a přímkami x = a, x = b. Tato plocha se někdy pro jednoduchost nazývá podgraf funkce. ■4-*- b x 0 a Obrázek: Podgraf funkce ií funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Obsah podgrafu nemůžeme určit přímo, vyjádříme jej přibližně tak, že jej aproximujeme pomocí obdélníčků: i) Interval [a, b] rozdělíme na n intervalů [x/_i,x,-] (tzv. dělicí intervaly) stejné délky tak, že xo = a a x„ = b. Délka Ax každého dělicího intervalu je b~ a Ax = x, — x/_i =-. n ii) Na každém dělicím intervalu aproximujeme plochu obdélníkem o stranách Ax a f (q), kde c-, náleží do dělicího intervalu. Pro obsah P; tohoto obdélníka platí P; = f{Ci)Ax a součet všech těchto obdélníků přibližně určuje obsah P plochy n P«^f(Q)Ax. /=1 ií funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál ií funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Čím větší bude číslo n (počet dělicích bodů), tím přesnější (lepší) bude tato aproximace. Provedeme-li limitní přechod pro n —> oo, dostaneme přesnou hodnotu obsahu plochy n p= lim Vf(C;)Ax. (5) Pro spojité funkce tato limita existuje a nezávisí na výběru bodů c-,. Obecně pro funkce, které nejsou spojité, toto nemusí platit. Pokud však tato limita existuje a nezávisí na výběru bodů q, nazýváme ji určitým integrálem a označujeme Symbol f vznikl jako prodloužení písmene S, které bylo vybráno, protože integrál je limitou sumy. ií funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Definice Nechť f je funkce ohraničená na [a,b]. Necht a = xq, x\, X2,..., x„ = b jsou body dělící interval [a, b] na n stejných su-bintervalů délky Ax = a nechť c,- G [x/_i,x,-], / = 1,..., n. Určitým integrálem funkce f od a do b rozumíme n lim Vfíc/lAx, jestliže tato limita existuje a nezávisí na výběru bodů c-,. Píšeme b f (x) dx, a říkáme, že funkce f je integrovatelná na [a, b]. Číslo a nazýváme dolní mez, číslo b horní mez a funkci f inte- grand. ií funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Důležitou roli hraje tzv. Newton-Leibnitzova formule, která dává do souvislosti určitý integrál funkce a její primitivní funkci (neurčitý integrál). Věta (Newton-Leibnitzova formule) Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak platí í f(x) dx = F(b) -J a ~ F{a), (6) kde F je primitivní funkce k funkci f na intervalu [a, b\. Často píšeme místo F{b) — F{a) označení [F(x)]a, tj. b r ^b f(x)dx= F(x) . Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Vlastnosti určitého integrálu I Věta Jsou-li funkce f a g spojité na intervalu [a, b], pak platí tyto vztahy: *) Jab[f(x) + *(x)] dx = jab f(x) dx + jab g(x) dx; b) jbcf{x)dx = cjbf{x)dx; c) fb f(x) dx = fa f(x) dx + fb f(x) dx, kdea 0, jestliže f(x) > 0 na intervalu [a, b\; e) fbf{x)dx > Jb g(x) dx, jestliže f (x) > g(x) na intervalu [lb]. _ Vlastnost c) lze použít pro případ, kdy je funkce f spojitá na intervalu [a,c] a [c,b], ale není spojitá v bodě c. Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Vlastnosti určitého integrálu II Integrál f f(x)dx pro a > b definujeme vztahem f(x)dx, f(x) dx = -a integrál faf(x)dx definujeme vztahem í f(x)dx = 0. J a Definujeme-li pro každé číslo x G [a, b] funkci U{x) f{t)dt, pak derivace této funkce je U'(x) = f(x) a U(a) = 0. Tímto způsobem někdy vyjadřujeme funkce, které jsou primitivní k funkci f, ale nejsou elementárními funkcemi, např. funkce rř dt, sin t ■dt. Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Metoda per partes a substituce pro určité integrály Věta (Metoda per partes pro určitý integrál) Nechi funkce u(x) a v(x) mají spojité derivace na intervalu [a, b\. Pak platí Věta (Substituce pro určitý integrál) Necht funkce f(t) je spojitá na interval má spojitou derivaci na intervalu [a, (3] [a, (3] do intervalu [a, b]. Pak platí |/3%(x)y(x)dx = j u [a, b]. Necht funkce tp(x) a ip{x) zobrazuje interval MP) 1 f(t)dt. Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Nějaké příklady Příklad * Vypočtěte určité a) J integrály sinxdx, b) i r * . o x2 + l Příklad " Vypočtěte určité integrály a) J x3lnxdx, b) j ŕ ,* ax. o Vl + 3x Primitivní funkce Základní integrační metody Obsah rovinného obrazce Určitý interál Nevlastní integrál Nechť funkce f je spojitá a nezáporná na intervalu [a,b]. Obsah podgrafu funkce f je dán vzorcem Plocha, jejíž obsah chceme určit, může být vymezena grafy dvou funkcí. Platí-li například f(x) > g(x) pro x G [a, b], jedná se o plochu ohraničenou grafy funkcí f(x), g(x) a přímkami x = a a x = b. Jsou-li navíc funkce f, g spojité na [a, b], platí pro obsah P takto vymezené plochy P = Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Délka křivky Nechť funkce f je spojitá a má spojitou derivaci f na intervalu [a,b]. Délka grafu této funkce na intervalu [a, b] je dána /= f Jl + [f'{x)Yáx. (8) J a Primitivní funkce Základní integrační metody Určitý interál Nevlastní integrál Objem a povrch rotačního tělesa Nechť funkce y = f (x) je spojitá a nezáporná na intervalu [a,b]. Objem tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f p = {(x, y) : a