Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Základy maticového počtu
Matice, determinant, definitnost
Petr Liška
Masarykova univerzita
18.9.2014
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Matice a vektory
Matice
Matice typu m × n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků
a n sloupců
A =



a11 . . . a1n
...
...
...
am1 . . . amn


 = aij i=1,...,m
j=1,...,n
.
Vektor
Vektor (veličina, která má směr i velikost) je uspořádaná n-tice prvků (nebo
matice typu n × 1)
v =



v1
...
vn


 .
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Typy matic
čtvercová matice
jednotková matice
nulová matice
horní/dolní trojúhelníková
diagonální
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Operace s maticemi
Součet matic
A = aij i=1,...,m
j=1,...,n
, B = bij i=1,...,m
j=1,...,n
. Pak součet A + B je matice C taková, že
C = cij i=1,...,m
j=1,...,n
= aij + bij i=1,...,m
j=1,...,n
(po složkách).
Násobení skalárem
A = aij i=1,...,m
j=1,...,n
a α ∈ R. Pak αA je matice B taková, že
B = bij i=1,...,m
j=1,...,n
= αbij )i=1,...,m
j=1,...,n
(po složkách).
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Operace s maticemi
Součin matic
A = aij i=1,...,m
j=1,...,n
, B = bij i=1,...,n
j=1,...,p
. Pak součin AB je matice C taková, že
C = cij i=1,...,m
j=1,...,p
= ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj i=1,...,m
j=1,...,p
=
=
p
k=1
aik bkj
i=1,...,m
j=1,...,p
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Operace s maticemi
Pravidla pro počítání s maticemi
Pro matice A, B, C vhodných rozměrů a α, β ∈ R platí:
A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C),
(A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC,
(AB)C = A(BC), α(βA) = (αβ)A,
(α + β)A = αA + βA, α(A + B) = αA + αB,
A(αB) = α(AB) = (αA)B
Obecně neplatí!
AB = BA (ani když oba součiny existují)!
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Operace s maticemi
Transponovaná matice
Je-li A = aij i=1,...,m
j=1,...,n
, pak transponovaná matice k A je matice A⊤
= B =
bij i=1,...,n
j=1,...,m
, kde bij := aji pro i = 1, . . . n, j = 1, . . . , m.
Pokud platí A⊤
= A nazývá se matice symetrická.
Platí:
(AB)⊤
= B⊤
A⊤
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Skalární součin
Pro vektory x, y ∈ CN
definujeme (standardní) skalární součin jako
x · y = x, y :=
N
k=1
xk yk = x⊤
y
Vlastnosti
x, x ≥ 0 pro každé x ∈ CN
, x, x = 0 ⇐⇒ x = 0
x, y = y, x , x + y, z = x, z + y, z
αx, y = α x, y , x, αy = α x, y
Ax, y = x, A⊤
y pro A ∈ RN×N
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Ortogonální vektory
x, y = 0
Ortonormální systém vektorů
{x1, . . . , xM }, xi ∈ CN
xi , xj =
1, i = j
0, i = j
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Lineární závislost a nezávislost vektorů
Definice
Řekneme, že vektory u1, . . . , un jsou lineárně nezávislé, jestliže z rovnosti
α1u1 + · · · + αnun = o
plyne α1 = · · · = αn = 0. V opačném případě, tj. když existují čísla α1, . . . , αn,
z nichž alespoň jedno je různé od nuly, tak, že
α1u1 + · · · + αnun = o ,
říkáme, že vektory u1, . . . , un jsou lineárně závislé.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Hodnost matice
Sloupce (řádky) matice můžeme chápat jako vektory a lineární nezávislost
řádků matice pak znamená lineární nezávislost vektorů. Pomocí tohoto pojmu
definujeme hodnost matice.
Definice
Hodnost matice A je číslo, které je rovno maximálnímu počtu lineárně nezávislých
řádků. Označujeme ji h(A).
Je-li A čtvercová matice typu n × n, jejíž hodnost je rovna n, nazýváme ji regulární
maticí. Je-li h(A) < n, nazývá se taková matice singulární.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Jak určíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice?
Je zřejmé, že v nulové matici neexistuje žádný lineárně nezávislý řádek.
Hodnost nulové matice je tedy rovna nule. V dalším proto uvažujme pouze
nenulové matice, tj. předpokládejme, že je aspoň jeden prvek této matice
nenulový. U matice 2 × 2 snadno poznáme, že jsou její řádky lineárně závislé.
Nenulová matice A typu 2 × 2 má hodnost jedna, pokud je druhý řádek
násobkem prvního řádku, tj. matice je tvaru
A =
a11 a12
a21 a22
=
a11 a12
ka11 ka12
,
kde k je nějaké reálné číslo. V opačném případě má matice A hodnost dva.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Jak na větší matice?
Věta
Hodnost matice se nezmění, jestliže:
1 zaměníme pořadí řádků,
2 vynásobíme libovolný řádek nenulovým číslem,
3 přičteme k danému řádku (nebo odečteme od daného řádku) libovolný
násobek jiného řádku.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Definice
Řekneme, že A je matice ve schodovitém tvaru, jestliže v matici A každý nenulový
řádek začíná větším počtem nul než předchozí řádek.
Věta
Každou matici lze konečným počtem elementárních řádkových úprav převést
do schodovitého tvaru.
Věta
Hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Determinant matice
Definice
Determinant |A| čtvercové matice A = (aij ) typu 1 × 1 je číslo
|A| = |a11| = a11 .
Determinant |A| čtvercové matice A = (aij ) typu n × n, n ≥ 2 je číslo
|A| = a11|A11| − a12|A12| + · · · + (−1)n+1
a1n|A1n| =
n
j=1
(−1)j+1
a1j |A1j |,
kde A1j značí matici, která vznikla z matice A odebráním prvního řádku
a j-tého sloupce.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Determinanty malých matic
Speciálně pro determinant |A| čtvercové matice A = (aij ) typu 2 × 2 dostáváme
tzv. křížové pravidlo:
|A| =
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a12a21.
Pro determinant |A| čtvercové matice A = (aij ) typu 3 × 3 můžeme použít tzv.
Sarrusovo pravidlo:
|A| =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −
−a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Laplaceův rozvoj
Pro výpočet determinantů vyšších řádů můžeme využít i následujícího vztahu:
|A| =
n
k=1
(−1)l+k
alk |Alk |, l ∈ N, 1 ≤ l ≤ n,
ve kterém Alk je matice, která vznikne z matice A vypuštěním l-tého řádku
a k-tého sloupce. Tento vztah vlastně říká, že matici je možné tzv. rozvinout
podle libovolného řádku. Výpočet determinantu matice řádu n tak převedeme
na výpočet n determinantů řádu n − 1. Podobně můžeme matici rozvinout i
podle libovolného sloupce. Při praktickém výpočtu volíme k rozvoji řádek
(sloupec), který obsahuje co nejvíce nul, jelikož pak nemusíme některé příslušné
menší determinanty vůbec počítat. Praktický výpočet determinantu matice si
ukážeme na následujícím příkladě.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Pravidla pro počítaní s determinanty
1 Vynásobíme-li libovolný řádek (sloupec) matice číslem k, determinant výsledné
matice bude k-násobkem determinantu matice původní.
2 Zaměníme-li pořadí dvou řádků (sloupců) matice, determinant výsledné
matice bude mít opačné znaménko než determinant matice původní.
3 Přičtením k-násobku libovolného řádku (sloupce) k jinému řádku (sloupci)
se determinant matice nezmění.
4 Determinant, který má pod hlavní diagonálou samé nuly, je roven součinu
prvků v této diagonále.
Věta
Nechť A je čtvercová matice řádu n. Hodnost matice h(A) = n právě tehdy,
když |A| = 0.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Matice a vektory
Inverzní matice
Matice B je inverzní k A, jestliže platí AB = I = BA.
Pokud taková matice existuje, označuje se A−1
.
Z této definice plyne, že inverzní matice existuje pouze pro čtvercové ma-
tice.
Inverzní matice existuje právě tehdy, když
• h(A) = n
• det A = 0
Platí:
(A−1
)−1
= A, (A−1
)⊤
= (A⊤
)−1
, (AB)−1
= B−1
A−1
.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Vlastní číslo
Nechť A je čtvercová matice, λ je komplexní číslo a x je nenulový vektor, který
je řešením rovnice
Ax = λx. (1)
Pak se komplexní číslo λ nazývá vlastní číslo matice A a vektor x se nazývá
vlastní vektor matice A (příslušný vlastnímu číslu λ).
Vlastní vektor je takový vektor, který se po vynásobení matice pouze „natáhne“
nebo „zkrátí“, ale nemění svůj směr.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Jak vlastní čísla najít?
Z předchozí definice se dá i snadno vyvodit, jak vlastní čísla matice A nalézt.
Přepíšeme-li rovnici (1), dostaneme
Ax − λx = 0 ⇔ (A − λE)x = 0.
Máme tak vlastně homogenní systém lineárních rovnic, u kterého požadujeme,
aby měl jiné než triviální řešení. To znamená, že matice A − λE musí mít
hodnost menší než n. Jinými slovy tato matice není regulární a pro její
determinant musí platit
|A − λE| = 0. (2)
Rovnice (2) se nazývá charakteristická rovnice matice A.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Některé vlastnosti vlastních čísel
Příklad
M =


−1 1 1
1 1 −1
1 −1 1


Nechť λ1, . . . λn jsou vlastní čísla matice A, potom platí:
det(A)= λ1 · · · · · λn,
matice A−1
má vlastní čísla 1
λ1
, . . . 1
λn
,
je-li A symetrická matice, je její hodnost rovna počtu nenulových vlastních
čísel,
n
i=1 aii = λ1 + · · · + λn =tr(A), kde tr(A) je takzvaná stopa matice,
je-li matice A symetrická, pak všechna vlastní čísla jsou reálná a příslušné
vlastní vektory jsou kolmé.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Příklad
Určete vlastní čísla matice:
2 7
7 2


2 −3 1
1 −2 1
1 −3 2




4 −1 0
2 1 0
−1 1 3


Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Definitnost matice
Negativně (semi)definitní matice
Matice M ∈ RN×N
se nazývá negativně semidefinitní, pokud
z⊤
Mz ≤ 0 ∀z ∈ RN
.
V takovém případě píšeme M ≤ 0. Jestliže dokonce platí z⊤
Mz < 0 pro
všechny vektory z ∈ RN
\ {0}, nazývá se matice M negativně definitní a zapisuje
se jako M < 0.
Je-li matice M navíc symetrická, nazývá se výraz x⊤
Mx, kde
x = (x1, . . . , x2)⊤
, kvadratická forma proměnných x1, . . . , xn.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Definitnost matice
Věta
Nechť M ∈ RN×N
. Potom platí
(i) M < 0 ⇔ M + M⊤
< 0
(ii) je-li matice M symetrická, pak M < 0 právě tehdy, když všechny její
vlastní hodnoty jsou záporné.
(iii) M < 0 právě tehdy, když M−1
< 0.
(iv) Je-li M < 0, pak pro každou diagonální matici K ∈ RN×N
, K > 0 (tj.
matice K má kladné prvky na diagonále), je matice KM stabilní, tj. pro
všechny vlastní hodnoty matice KM platí ℜ(λ) < 0).
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Definitnost matice
Příklad
I =



1 . . . 0
...
0 . . . 1


> 0, −I =



−1 . . . 0
...
0 . . . −1


< 0
A =
−2 1
1 −2
< 0, B =
2 1
1 2
> 0,
C =
−1 −1
−1 −1
≤ 0, D =
1 1
1 1
≥ 0
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Definitnost a vlastní čísla
Definitnost symetrické matice
Je-li A symetrická matice, jejíž vlastní čísla jsou λ1, . . . , λn, pak matice A je
a) positivně definitní ⇔ λi > 0 pro i = 1, 2, . . . , n,
b) negativně definitní ⇔ λi < 0 pro i = 1, 2, . . . , n,
c) positivně semidefinitní ⇔ λi ≥ 0 pro i = 1, 2, . . . , n,
d) negativně semidefinitní ⇔ λi ≤ 0 pro i = 1, 2, . . . , n.
Příklad
A =
−2 1
1 −2
< 0
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Definitnost matice
(Vedoucí) hlavní submatice a minory
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Definitnost matice
Věta
Nechť M ∈ RN×N
.
(i) Je-li matice M symetrická, pak M < 0 právě tehdy, když VHM střídají
znaménko počínaje záporným.
(ii) Je-li matice M symetrická, pak M ≤ 0 právě tehdy, když HM lichých řádů
jsou nekladné a HM sudých řádů jsou nezáporné.
(iii) Je-li M < 0 (a ne nutně symetrická), pak HM lichých řádů jsou záporné
a HM sudých řádů jsou kladné (jinými slovy: střídají znaménko počínaje
záporným).
(iv) Je-li matice M symetrická, pak M > 0 právě tehdy, když VHM jsou
kladné.
(v) Je-li matice M symetrická, pak M ≥ 0 právě tehdy, když HM jsou nezá-
porné.
Matice a vektory Hodnost matice Determinant matice Vlastní čísla Definitnost matice
Příklad
A =


5 0 1
0 2 1
1 1 4

> 0, B =


−3 1 0
1 −1 2
0 2 −8

< 0
Příklad
C =


−4 0 2
0 −1 1
2 1 −2

≤ 0