Rozpočtové omezení,
preference a užitek
Varian, Mikroekonomie: moderní přístup, kapitoly 2, 3 a 4
Varian, Intermediate Microeconomics, 8e, Chapters 2, 3 a 4
() 1 / 44
Teorie spotřebitele
Spotřebitelé si volí nejlepší spotřební koš, který si mohou dovolit.
Příštích pět přednášek:
• rozpočtové omezení, preference a užitek
• volba a projevené preference
• poptávka a Slutského rovnice
• přebytek spotřebitele a tržní poptávka
• nejistota
() 2 / 44
Na této přednášce se dozvíte
• co je to linie rozpočtu a jak ji ovlivňují změny v příjmu a cenách,
• co jsou spotřebitelské preference a jaké mají vlastnosti,
• jak můžeme preference reprezentovat užitkovou funkcí,
• co je to monotónní transformace užitkové funkce,
• co je to mezní míra substituce a jak ji můžeme odvodit
z užitkové funkce.
() 3 / 44
Rozpočtové omezení
Předpokládáme, že si spotřebitel vybírá spotřební koš (x1, x2),
kde x1 a x2 jsou množství statků 1 a 2.
Rozpočtové omezení spotřebitele je p1x1 + p2x2 ≤ m, kde
• p1 a p2 jsou ceny obou statků 1 a 2,
• a m je příjem.
Rozpočtová množina – koše, pro které platí, že p1x1 + p2x2 ≤ m.
Linie rozpočtu (BL) – koše, pro které platí, že p1x1 + p2x2 = m.
() 4 / 44
Rozpočtová množina a linie rozpočtu (graf)
Linie rozpočtu p1x1 + p2x2 = m ⇐⇒ x2 = m/p2 − (p1/p2)x1.
() 5 / 44
Kompozitní statek
Teorie funguje pro víc než dva statky.
Jak to nakreslit do 2D grafu? Jeden ze statků
může být kompozitní statek.
Kompozitní statek = ostatní spotřebovávané
statky vyjádřené v peněžní hodnotě.
Cena kompozitního statku p2 = 1 =⇒
BL s kompozitním statkem je p1x1 + x2 = m.
() 6 / 44
Změna příjmu
Růst příjmu z m na m =⇒ rovnoběžný posun ven.
() 7 / 44
Změna ceny
Růst ceny z p1 na p1 =⇒ otočení dolů okolo svislého průsečíku.
() 8 / 44
Změna ve více proměnných
Vynásobení všech cen a příjmu t nezmění linii rozpočtu:
tp1x1 + tp2x2 = tm ⇐⇒ p1x1 + p2x2 = m.
Vynásobit všechny ceny t je stejné jako podělit příjem t:
tp1x1 + tp2x2 = m ⇐⇒ p1x1 + p2x2 =
m
t
.
() 9 / 44
Numeraire
Libovolnou cenu nebo příjem můžeme znormovat na hodnotu 1
a upravit ostatní proměnné tak, aby se nezměnila linie rozpočtu.
Numeraire = veličina znormovaná na hodnotu 1.
Linie rozpočtu p1x1 + p2x2 = m:
• Stejná linie rozpočtu pro p1 = 1:
x1 +
p2
p1
x2 =
m
p1
• Stejná linie rozpočtu pro p2 = 1:
p1
p2
x1 + x2 =
m
p2
• Stejná linie rozpočtu pro m = 1:
p1
m
x1 +
p2
m
x2 = 1
() 10 / 44
Daně
Tři typy daní:
• Množstevní daň – spotřebitel zaplatí množství t za každou
jednotku statku, kterou nakoupí.
→ Cena statku 1 se zvýší na p1 + t.
• Daň ad valorem– spotřebitel platí určitý podíl τ z ceny.
→ Cena statku 1 se zvýší na p1 + τp1 = (1 + τ)p1.
• Paušální daň – množství daně je nezávislé na volbě spotřebitele.
→ Příjem spotřebitele se sníží o hodnotu daně.
() 11 / 44
Dotace
Dotace – opačný efekt než u daní
• množstevní dotace s na statek 1
→ Cena statku 1 se sníží na p1 − s.
• dotace ad valorem ve velikosti σ na statek 1
→ Cena statku 1 se sníží na p1 − σp1 = (1 − σ)p1.
• paušální dotace
→ Příjem se zvýší o hodnotu dotace.
() 12 / 44
Přídělový systém
Pokud statek 1 podléhá přídělovému systému, žádný spotřebitel
nemůže spotřebovat větší množství statku 1 než ¯x1.
() 13 / 44
Zdanění větší spotřeby než ¯x1
Pokud je zdaněna pouze spotřeba statku 1 větší než ¯x1,
linie rozpočtu je strmější napravo od ¯x1.
() 14 / 44
PŘÍPAD: Program potravinových poukázek v USA
Před rokem 1979 – dotace ad valorem na jídlo + přídělový systém
• dotace – lidé platili část hodnoty potravinové poukázky
• přídělový systém – maximální množství poukázek
Po roce 1979 – určitý počet potravinových poukázek zdarma
() 15 / 44
PŘÍPAD: Program potravinových poukázek v USA (graf)
() 16 / 44
Preference
Spotřebitel srovnává koše podle svých preferencí.
Preferenční relace budeme zapisovat následovně:
• koš X je striktně preferovaný před košem Y :
(x1, x2) (y1, y2)
• koš X je slabě preferovaný před košem Y
(koš X je alespoň tak dobrý jako koš Y ):
(x1, x2) (y1, y2)
• spotřebitel je indiferentní mezi koši X a Y :
(x1, x2) ∼ (y1, y2)
() 17 / 44
Předpoklady o preferencích
Předpoklady, díky kterým je možné seřadit koše podle preferencí:
• Úplnost — můžeme srovnat každé dva spotřební koše:
(x1, x2) (y1, y2), nebo (x1, x2) (y1, y2), nebo oboje.
• Reflexivita — každý spotřební koš je alespoň tak dobrý
jako on sám: (x1, x2) (x1, x2)
• Tranzitivita — pokud (x1, x2) (y1, y2) a (y1, y2) (z1, z2),
potom (x1, x2) (z1, z2).
() 18 / 44
Slabě preferovaná množina a indiferenční křivka
() 19 / 44
Dvě různé indiferenční křivky se nemohou křížit
Dvě různě IC takové, že X Y . Proč se nemohou křižit?
Z tranzitivity vyplývá, když X ∼ Z a Z ∼ Y , pak X ∼ Y .
() 20 / 44
Příklady preferencí – dokonalé substituty
Spotřebitel je ochotný nahrazovat jeden statek druhým v konstantním
poměru =⇒ konstantní sklon indiferenční křivky (ne nutně −1).
() 21 / 44
Příklady preferencí – dokonalé komplementy
Spotřeba v pevných proporcích (ne nutně 1:1).
() 22 / 44
Příklady preferencí – nežádoucí statek
Spotřebitel má rád feferonky a ančovičky jsou pro něj nežádoucí
statek = statek, který nemá rád.
() 23 / 44
Příklady preferencí – lhostejný statek
Spotřebitel má rád feferonky a ančovičky jsou pro něj lhostejný
statek = je mu jedno, zda jej spotřebovává.
() 24 / 44
Příklady preferencí – bod nasycení
Bod nasycení je nejvíce preferovaný spotřební koš (¯x1, ¯x2). Když je
spotřeba jednoho statku moc velká, stává se z něj nežádoucí statek.
() 25 / 44
Příklady preferencí – diskrétní statky
Diskrétní statek není dělitelný – spotřeba v celých jednotkách.
• indiferenční “křivky” – množina diskrétních bodů
• slabě preferovaná množina – množina polopřímek
() 26 / 44
Rozumné (well-behaved) preference
Předpoklady rozumných preferencí: monotónnost a konvexnost
Monotónnost – čím víc, tím lépe (vylučuje nežádoucí statky) =⇒
indiferenční křivky mají negativní sklon.
() 27 / 44
Rozumné (well-behaved) preference (pokračování)
Konvexnost – pokud (x1, x2) ∼ (y1, y2), pak pro všechna 0 ≤ t ≤ 1
platí, že [tx1 + (1 − t)y1, tx2 + (1 − t)y2] (x1, x2).
Striktní konvexnost – pokud (x1, x2) ∼ (y1, y2), pro všechna
0 ≤ t ≤ 1 platí, že [tx1 + (1 − t)y1, tx2 + (1 − t)y2] (x1, x2).
() 28 / 44
Mezní míra substituce
Mezní míra substituce (MRS) = sklon indiferenční křivky:
MRS =
∆x2
∆x1
=
dx2
dx1
.
Snižující se mezní míra substituce – absolutní hodnota MRS
klesá, když se posouváme podél indiferenční křivky doprava dolů.
Interpretace:
• Kolika jednotek statku 2 jsem ochotný se vzdát, abych získal
dodatečnou jednotku statku 1?
• Mezní ochota zaplatit – Kolik jsem ochotný zaplatit za
dodatečnou jednotku statku 1? (Pokud je statek 2 kompozitní
statek měřený v penězích.)
() 29 / 44
Mezní míra substituce (graf)
() 30 / 44
Užitek
Dvě pojetí užitku:
Kardinální užitek - přisuzuje určitý význam
velikosti rozdílu mezi užitky z různých košů.
• obtížné stanovit velikost užitku
• mnoho dalších problémů
Nebudeme používat.
Ordinální užitek - popisuje preference,
důležité je pouze pořadí spotřebních košů.
• snadné stanovit velikost užitku - preferovaný
koš má vyšší užitek
• lze odvodit kompletní teorii poptávky
() 31 / 44
Ordinální užitek
Užitková funkce přiřazuje každému spotřebnímu koši určité číslo –
více preferované spotřební koše dostávají vyšší čísla.
Jestliže (x1, x2) (y1, y2), potom u(x1, x2) > u(y1, y2).
Tabulka: různá přiřazení užitku, která popisují stejné preference:
() 32 / 44
Monotónní transformace
Pozitivní monotónní transformace f (u) je libovolná rostoucí
funkce.
Příklady funkce f (u): f (u) = 3u, f (u) = u + 3, f (u) = u3
.
Monotónní transformace užitkové funkce u(x1, x2) f [u(x1, x2)]
popisuje stejné preference jako užitková funkce u(x1, x2).
Proč?
u(x1, x2) > u(y1, y2), jen když f [u(x1, x2)] > f [u(y1, y2)].
() 33 / 44
Konstrukce užitkové funkce z indiferenčních křivek
() 34 / 44
Konstrukce indiferenčních křivek z užitkové funkce
Užitková funkce u(x1, x2) = x1x2 =⇒ indiferenční křivky x2 = k
x1
.
() 35 / 44
Příklady užitkových funkcí
Dokonalé substituty – spotřebitel je ochotný směňovat
• statky v poměru 1:1 – důležitý je celkový počet:
např. u(x1, x2) = x1 + x2.
• 2 statky 2 za 1 statek 1 – statek 1 má dvojnásobnou váhu:
např. u(x1, x2) = 2x1 + x2.
Dokonalé komplementy – spotřebitel poptává statky 1 a 2
• v poměru 1:1 – důležité menší množství:
např. u(x1, x2) = min{x1, x2}
• v poměru 1:2 – statku 1 je potřeba poloviční množství:
např. u(x1, x2) = min{2x1, x2}.
() 36 / 44
Příklady užitkových funkcí – kvazilineární preference
• Indiferenční křivky jsou vertikálně paralelní.
• Užitková funkce u(x1, x2) = v(x1) + x2,
např. u(x1, x2) =
√
x1 + x2 nebo u(x1, x2) = ln x1 + x2.
() 37 / 44
Příklady užitkových funkcí – Cobb-Douglasovy preference
• Nejjednodušší užitková funkce reprezentující rozumné preference.
• Užitková funkce má tvar u(x1, x2) = xc
1 xd
2 .
• Výhodné používat transformaci f (u) = u
1
c+d a psát xa
1 x1−a
2 ,
kde a = c/(c + d).
() 38 / 44
Mezní užitek
Mezní užitek (MU) je změna užitku z nárůstu spotřeby jednoho
statku, zatímco množství ostatních statků je konstantní.
Vypočítáme pomocí parciální derivace u(x1, x2) podle x1 nebo x2.
Příklady:
• Jestliže u(x1, x2) = x1 + x2, pak MU1 = ∂u/∂x1 = 1.
• Jestliže u(x1, x2) = xa
1 x1−a
2 , pak MU2 = ∂u/∂x2 = (1 − a)xa
1 x−a
2 .
Hodnota MU se mění při monotónní transformaci užitkové funkce.
Pokud např. vynásobíme užitkovou funkci 2x, zvýší se i MU 2x.
() 39 / 44
Vztah mezi MU a MRS
Chceme změřit MRS = sklon indiferenční křivky u(x1, x2) = k,
kde k je konstanta.
Zajímá nás taková změna (∆x1, ∆x2), pro kterou bude užitek
konstantní. Tedy
MU1∆x1 + MU2∆x2 = 0.
MRS =
∆x2
∆x1
= −
MU1
MU2
.
MRS tedy umíme spočítat z užitkové funkce.
Pozor: Hodnota MRS se při monotónní transformaci nemění.
Pokud např. vynásobíme užitkovou funkci 2x, MRS= −2MU1
2MU2
= −MU1
MU2
.
() 40 / 44
APLIKACE: Užitek z dojíždění
Otázka: Jet do práce autobusem nebo autem?
Každý způsob dopravy představuje koš různých
charakteristik, např.
• x1 je doba jízdy do práce autem,
• x2 je doba jízdy do práce autobusem,
• x3 je náklad auta, atd.
Předpokládáme, že užitková funkce má lineární
tvar U(x1, ..., xn) = β1x1 + ... + βnxn.
Potom můžeme z pozorovaných rozhodnutí lidí
statisticky odhadnout parametry βi , které nejlépe
popisují tato rozhodnutí.
() 41 / 44
APLIKACE: Užitek z dojíždění (pokračování)
Domenich a McFadden (1975) odhadli následující užitkovou funkci:
U(TW , TT, C) = −0,147TW − 0,0411TT − 2,24C,
kde
• TW = celkový čas chůze k a od autobusu/auta v minutách,
• TT = celkový čas jízdy v minutách,
• C = celkové náklady na cestu v dolarech.
Konkrétní tvar užitkové funkce můžeme využít k řadě účelů. Můžeme
• spočítat mezní míru substituce mezi dvěma charakteristikami.
• předpovědět reakci zákazníků na změnu ve veřejné dopravě.
• posoudit navrhovanou změnu (cost-benefit analysis).
() 42 / 44
Shrnutí
• Množina rozpočtových možností =
dosažitelné spotřebních koše při daných
cenách a příjmu.
• Linie rozpočtu je p1x1 + p2x2 = m.
• Změna příjmu posouvá linii rozpočtu, změna
ceny mění její sklon.
• Ekonomové předpokládají, že preference jsou
úplné, reflexivní a tranzitivní =⇒ spotřebitel
umí seřadit spotřební koše podle preferencí.
• Rozumné (well-behaved) preference jsou
monotónní a konvexní.
() 43 / 44
Shrnutí (pokračování)
• Užitková funkce reprezentuje preference.
• Číselné hodnoty užitku nemají samy o sobě
žádný význam. Monotónní transformace
užitkové funkce popisuje stejné preference.
• Mezní míra substituce (MRS) měří, kolik
jednotek statku 2 je spotřebitel ochoten
vyměnit za dodatečnou jednotku statku 1
MRS = ∆x2/∆x1 = −MU1/MU2.
() 44 / 44