TECHNOLOGIE A MAXIMALIZACE ZISKU – řešené příklady Technologie 1. Firma má produkční funkci f(x1, x2) = 2x 1/3 1 x 2/3 2 . Pokud bychom si nakreslili izokvanty této firmy tak, že budeme mít x1 na vodorovné a x2 na svislé ose, jaký by byl sklon linie, která bude vycházet z počátku souřadnic a bude protínat izokvanty v bodech se sklonem −1? Řešení Hledáme body na izokvantě se sklonem −1, bude tedy platit, že TRS = −1 − ∂f(x1,x2) ∂x1 ∂f(x1,x2) ∂x2 = −1 − 2 3 x −2/3 1 x 2/3 2 4 3 x 1/3 1 x −1/3 2 = −1 x2 = 2x1. Pokud bude firma vyrábět při sklonu izokvanty −1, bude používat 2 jednotky vstupu 2 na každou jednotku vstupu 1. Sklon této linie je 2. Maximalizace zisku 2. Dokonale konkurenční firma má produkční funkci f(x1, x2) = x 1/2 1 x2. Cena vstupu 1 je w1 = 100 a cena vstupu 2 je w2 = 150. Cena výstupu je p = 10. Při jakém množství vstupů bude firma maximalizovat zisk? Řešení Firma hledá takové množství vstupů 1 a 2, aby maximalizovala zisk. Řešíme tedy následující úlohu: max x1,x2 π = pf(x1, x2) − w1x1 − w2x2. Spočítáme podmínky prvního řádu – parciální derivace ziskové funkce položíme rovny nule. Pro optimální množství vstupů x∗ 1 a x∗ 2 platí, že pMP1(x∗ 1, x∗ 2) − w1 = 0 pMP2(x∗ 1, x∗ 2) − w2 = 0, kde MP1(x∗ 1, x∗ 2) a MP2(x∗ 1, x∗ 2) jsou mezní produkty vstupů 1 a 2 při optimálním množství vstupů x∗ 1 a x∗ 2. Mezní produkty se rovnají parciální derivaci produkční funkce: MP1(x1, x2) = ∂x 1/2 1 x2 ∂x1 = 1 2 x −1/2 1 x2 MP2(x1, x2) = ∂x 1/2 1 x2 ∂x2 = x −1/2 1 . Po dosazení do podmínek prvního řádu tedy získáme dvě rovnice o dvou neznámých 5x∗ 1 −1/2 x∗ 2 − 100 = 0 10x∗ 1 1/2 − 150 = 0. Řešením těchto rovnic dostaneme optimální množství vstupů x∗ 1 = 225 a x∗ 2 = 300. 3. Máme dokonale konkurenční firmu, která používá k výrobě jednoho produktu vstupy 1 a 2, které nakupuje na dokonale konkurenčních trzích. Cena produktu se zvýšila o 10 Kč. Cena vstupu 2 vzrostla o 200 Kč za hodinu a množství vstupu 2 kleslo o 100 hodin za rok. Cena vstupu 1 se nezměnila. Co můžeme říci o nabízeném množství produkce, pokud víme, že tato firma maximalizuje zisk? Řešení Máme dvě období t a s, ve kterých se změnily ceny některých vstupů a výstupů. Pokud firma maximalizuje zisk, musí platit slabý axiom maximalizace zisku. Ten říká, že jestliže se mezi časem t a s nezmění produkční funkce, pak musí platit zároveň následující dvě nerovnice: pt yt − wt 1xt 1 − wt 2xt 2 ≥ pt ys − wt 1xs 1 − wt 2xs 2 ps ys − ws 1xs 1 − ws 2xs 2 ≥ ps yt − ws 1xt 1 − ws 2xt 2. Tyto nerovnice říkají, že pokud si firma maximalizující zisk v čase t při cenách (pt , wt 1, wt 2) zvolila výrobní plán (yt , xt 1, xt 2) a v čase s při cenách (ps , ws 1, ws 2) jiný výrobní plán (ys , xs 1, xs 2), musí mít ze zvolených výrobních plánů alespoň takový zisk jako z výrobních plánů, které si nevybrala. Když druhou nerovnici vynásobíme −1 (a přehodíme strany), dostaneme následující nerovnice: pt yt − wt 1xt 1 − wt 2xt 2 ≥ pt ys − wt 1xs 1 − wt 2xs 2 −ps yt + ws 1xt 1 + ws 2xt 2 ≥ −ps ys + ws 1xs 1 + ws 2xs 2. Jestliže je u obou nerovnic levá strana alespoň tak velká jako pravá strana, pak musí být i součet levých stran alespoň tak velký jako součet pravých stran, tedy (pt − ps )yt − (wt 1 − ws 1)xt 1 − (wt 2 − ws 2)xt 2 ≥ (pt − ps )ys − (wt 1 − ws 1)xs 1 − (wt 2 − ws 2)xs 2. Nyní od celé nerovnice odečteme pravou stranu a dostaneme ∆p∆y − ∆w1∆x1 − ∆w2∆x2 ≥ 0, kde ∆p = pt − ps , ∆y = yt − ys , atd. Do této nerovnice dosadíme hodnoty ze zadání: 10∆y − 200(−100) ≥ 0 10∆y ≥ −20 000 ∆y ≥ −2 000. Ze slabého axiomu maximalizace zisku vyplývá, že nabídka produktu y vzrostla libovolně nebo nabídka produktu y klesla a to maximálně o 2 000 jednotek.