SMĚNA A PRODUKCE – řešené příklady
1. Spotřebitelé A a B mohou nakupovat pouze dva
statky, statek 1 a 2. Spotřebitel A má CobbDouglasovu
užitkovou funkci UA(x1
A, x2
A) = x1
Ax2
A,
kde x1
A je množství statku 1 a x2
A je množství
statku 2. Spotřebitel B má užitkovou funkci
UB(x1
B, x2
B) = x1
Bx2
B. Spotřebitel A má počáteční
vybavení statku 1 ω1
A = 8 a statku 2 ω2
A = 2. Spotřebitel
B má počáteční vybavení statku 1 ω1
B = 2
a statku 2 ω2
B = 3.
(a) Jaká je rovnovážná cena statku 1, když je statek
2 numeraire (p∗
2 = 1)?
(b) Jaká je rovnovážná statků 1 a 2?
Řešení
(a) Rovnováhu můžeme popsat pomocí vektoru
cen (p∗
1, p∗
2), při kterých pro statek 1 a 2
platí, že součet poptávek spotřebitele A a B
se rovná součtu vybavení spotřebitele A a B,
tedy
x1
A(p∗
1, p∗
2) + x1
B(p∗
1, p∗
2) = ω1
A + ω1
B
x2
A(p∗
1, p∗
2) + x2
B(p∗
1, p∗
2) = ω2
A + ω2
B,
kde x1
A(p∗
1, p∗
2) je poptávka spotřebitele A po
statku 1. Po dosazení vybavení spotřebitelů
si můžeme vyjádřit poptávky spotřebitele B
jako
x1
B(p∗
1, p∗
2) = 10 − x1
A(p∗
1, p∗
2) (1)
x2
B(p∗
1, p∗
2) = 5 − x2
A(p∗
1, p∗
2). (2)
Každý spotřebitel v rovnováze volí nejlepší
koš, který si může dovolit. Protože jsou indiferenční
křivky obou spotřebitelů hladké a
konvexní a je zaručeno vnitřní řešení (CobbDouglasova
užitková funkce), budeme hledat
takovou rovnovážnou alokaci, ve které se budou
indiferenční křivky spotřebitelů dotýkat
linie rozpočtu. V této alokaci bude platit, že
MRSA = MRSB
−
x2
A(p∗
1, p∗
2)
x1
A(p∗
1, p∗
2)
= −
x2
B(p∗
1, p∗
2)
x1
B(p∗
1, p∗
2)
.
Substitucí (1) a (2) za poptávky spotřebitele
B získáme
x2
A(p∗
1, p∗
2)
x1
A(p∗
1, p∗
2)
=
5 − x2
A(p∗
1, p∗
2)
10 − x1
A(p∗
1, p∗
2)
.
Úpravou tohoto výrazu dostaneme poměr,
ve kterém jsou v rovnováze spotřebovávány
statky 1 a 2
x1
A(p∗
1, p∗
2) = 2x2
A(p∗
1, p∗
2). (3)
V rovnovážné alokaci je zároveň sklon linie
rozpočtu rovný sklonu indiferenčních křivek
obou spotřebitelů, tedy platí, že
−
p∗
1
p∗
2
= MRSA.
Statek 2 je numeraire (p∗
2 = 1). Dosazením za
p∗
2 a za MRSA získáme
p∗
1 =
x2
A(p∗
1, p∗
2)
x1
A(p∗
1, p∗
2)
.
Substitucí (3) dostaneme
p∗
1 =
x2
A(p∗
1, p∗
2)
2x2
A(p∗
1, p∗
2)
p∗
1 =
1
2
.
(b) Rovnovážná alokace spotřebitele A je
(x1
A(p∗
1, p∗
2), x2
A(p∗
1, p∗
2)). Poptávky spotřebitele
A po statku 1 a 2 pro Cobb-Douglasovy
preference jsou
x1
A =
mA
2p∗
1
a x2
A =
mA
2p∗
2
,
kde je mA je příjem spotřebitele A. Příjem
spotřebitele A se rovná hodnotě vybavení spotřebitele
A, tedy mA = p∗
1ω1
A + p∗
2ω2
A = 6.
Dosazením do poptávek získáme efektivní alokaci
spotřebitel A
(x1
A(p∗
1, p∗
2), x2
A(p∗
1, p∗
2)) = (6, 3).
Analogicky vypočítáme rovnovážnou alokaci
spotřebitele B
(x1
B(p∗
1, p∗
2), x2
B(p∗
1, p∗
2)) = (4, 2).
Řešení příkladu je znázorněno v následujícím
obrázku. Bod W znázorňuje počáteční alokaci
a bod M rovnovážnou alokaci. Smluvní křivka
je označená zkratkou CC. Linie rozpočtu BL
má sklon −p∗
1/p∗
2 = −1/2.
A
B
x1
x2
x2
x1
ICA
ICB
BL
CC
8
2
32
4
6
3 2
M
W
2. Spotřebitelé A a B mohou nakupovat pouze dva
statky, statek 1 a 2. Spotřebitel A má užitkovou
funkci UA(x1
A, x2
A) = min{x1
A, x2
A}, kde x1
A
je množství statku 1 a x2
A je množství statku 2.
Spotřebitel B má užitkovou funkci UB(x1
B, x2
B) =
x1
B + x2
B. Spotřebitel A má počáteční vybavení
statku 1 ω1
A = 9 a statku 2 ω2
A = 5. Spotřebitel B
má počáteční vybavení (ω1
B, ω2
B) = (6, 5). Jaká je
rovnovážná alokace spotřebitele A a B?
Řešení
Rovnováhu můžeme popsat pomocí vektoru cen
(p∗
1, p∗
2), při kterých pro statek 1 i 2 platí, že součet
poptávek spotřebitelů A a B se rovná součtu
vybavení spotřebitelů A a B, tedy
x1
A(p∗
1, p∗
2) + x1
B(p∗
1, p∗
2) = ω1
A + ω1
B
x2
A(p∗
1, p∗
2) + x2
B(p∗
1, p∗
2) = ω2
A + ω2
B,
kde x1
A(p∗
1, p∗
2) je poptávka spotřebitele A po
statku 1.
Statky 1 a 2 jsou pro spotřebitele A dokonalé komplementy.
Bude poptávat spotřební koše se stejným
množstvím obou statků, tedy x1
A = x2
A. Naopak
pro spotřebitele B jsou statky 1 a 2 dokonalé substituty.
Spotřebitel B bude ochotný spotřebovávat
oba statky pouze v případě, že se jeho mezní míra
substituce rovná sklonu linie rozpočtu, tedy
MRSB = −
p∗
1
p∗
2
.
Pokud si např. cenu statku 2 určíme jako numeraire
(p∗
2 = 1) a spočítáme mezní míru substituce spotřebitele
B, rovnovážná cena statku 1 bude p∗
1 = 1.
Poptávka spotřebitele A po statcích 1 a 2 je
x1
A(p∗
1, p∗
2) = x2
A(p∗
1, p∗
2) =
mA
p∗
1 + p∗
2
.
Za příjem spotřebitele A mA můžeme dosadit
mA = p∗
1ω1
A + p∗
2ω2
A. Poptávka spotřebitele A po
statcích 1 a 2 x1
A(p∗
1, p∗
2) = x2
A(p∗
1, p∗
2) je
mA
p∗
1 + p∗
2
=
p∗
1ω1
A + p∗
2ω2
A
p∗
1 + p∗
2
=
9 + 5
2
= 7.
Rovnovážná alokace spotřebitele A tedy bude
(x1
A(p∗
1, p∗
2), x2
A(p∗
1, p∗
2)) = (7, 7). Rovnovážná alokace
spotřebitele B bude rozdíl mezi celkovým
vybavením a alokací spotřebitele A, tedy
(x1
B(p∗
1, p∗
2), x2
B(p∗
1, p∗
2)) = (8, 3).
Řešení příkladu ukazuje následující obrázek. Bod
W znázorňuje počáteční alokaci a bod M rovnovážnou
alokaci spotřebitele. Sklon linie rozpočtu
je stejný jako sklon indiferenčních křivek spotřebitele
B. Smluvní křivka CC má tvar x2
A = x1
A.
A
B
x1
x2
x2
x1
ICA
ICB = BL
W
M
97
3
55
7
68
CC
3. Spotřebitelé A a B mohou nakupovat pouze dva
statky, statek 1 a 2. Spotřebitel A má kvazilineární
užitkovou funkci UA(x1
A, x2
A) = x1
A + 4 x2
A, kde
x1
A je množství statku 1 a x2
A je množství statku 2.
Spotřebitel B má užitkovou funkci UB(x1
B, x2
B) =
x1
B + 6 x2
B. Spotřebitel A má počáteční vybavení
statku 1 ω1
A = 20 a statku 2 ω2
A = 6. Spotřebitel B
má počáteční vybavení ω1
B = 60 a ω2
B = 7. Jaká
je rovnovážná alokace spotřebitele A?
Řešení
Rovnováhu můžeme popsat pomocí vektoru cen
(p∗
1, p∗
2), při kterých pro statek 1 a 2 platí, že součet
poptávek spotřebitele A a B se rovná součtu
vybavení spotřebitele A a B, tedy
x1
A(p∗
1, p∗
2) + x1
B(p∗
1, p∗
2) = ω1
A + ω1
B
x2
A(p∗
1, p∗
2) + x2
B(p∗
1, p∗
2) = ω2
A + ω2
B,
kde x1
A(p∗
1, p∗
2) je poptávka spotřebitele A po
statku 1. Po dosazení vybavení spotřebitelů si
můžeme vyjádřit poptávky spotřebitele B jako
x1
B(p∗
1, p∗
2) = 80 − x1
A(p∗
1, p∗
2)
x2
B(p∗
1, p∗
2) = 13 − x2
A(p∗
1, p∗
2). (4)
Každý spotřebitel v rovnováze volí nejlepší koš,
který si může dovolit. Indiferenční křivky obou
spotřebitelů jsou hladké a konvexní (viz konkrétní
tvar užitkové funkce). V dalším postupu budeme
předpokládat, že bude dosaženo vnitřního řešení.
Budou-li oba spotřebitelé v rovnovážné alokaci
spotřebovávat kladná množství obou statků, je
tento předpoklad splněn a nalezené řešení je rovnovážné.
Pokud by některý ze spotřebitelů poptával
záporné množství některého ze statků, nalezená
alokace by nebyla rovnovážná. V tomto případě
bychom museli hledat rohové řešení.
Nyní však hledáme takovou výslednou alokaci, ve
které se indiferenční křivky spotřebitelů dotýkají
linie rozpočtu. V této alokaci bude platit, že
MRSA = MRSB
−
x2
A(p∗
1, p∗
2)
2
= −
x2
B(p∗
1, p∗
2)
3
3 x2
A(p∗
1, p∗
2) = 2 x2
B(p∗
1, p∗
2)
Substitucí (4) za poptávku spotřebitele B získáme
3 x2
A(p∗
1, p∗
2) = 2 13 − x2
A(p∗
1, p∗
2)
9x2
A(p∗
1, p∗
2) = 52 − 4x2
A(p∗
1, p∗
2)
13x2
A(p∗
1, p∗
2) = 52
x2
A(p∗
1, p∗
2) = 4
V rovnovážné alokaci je zároveň sklon linie rozpočtu
rovný sklonu indiferenčních křivek obou spotřebitelů,
tedy platí, že
−
p∗
1
p∗
2
= MRSA.
Pokud si rovnovážnou cenu statku 2 zvolíme jako
numeraire (p∗
2 = 1) a dosadíme za MRSA, získáme
p∗
1 = 1.
Spotřebitel A poptává 4 jednotky statku 2 a utrácí
zbytek svého příjmu za statek 1. Pokud je jeho příjem
vyšší nebo rovný výdajům na poptávané množství
statku 2, jeho poptávka po statku 1 je
x1
A(p∗
1, p∗
2) =
mA − p∗
2x2
A(p∗
1, p∗
2)
p∗
1
.
kde je příjem mA = p∗
1ω1
A + p∗
2ω2
A = 26. Jeho spotřeba
statku 1 je tedy
x1
A(p∗
1, p∗
2) = 26 − 4 = 22.
Spotřebitel A tedy poptává spotřební koš
(x1
A(p∗
1, p∗
2), x2
A(p∗
1, p∗
2)) = (22, 4).
Vzhledem k velikosti celkového vybavení bude
i spotřebitel B poptávat kladná množství obou
statků. Dosáhli jsme vnitřního řešení u obou spotřebitelů.
Nalezená alokace je tedy rovnovážná.