CVIČENÍ 1: OPAKOVÁNÍ MATEMATIKY
Funkce
1. Co je to funkce? Co je to závislá a nezávislá pro-
měnná?
2. Nakreslete grafy následujících funkcí:
(a) p = 2x − 5
(b) x2 = 5 −
√
x1
(c) x2 = 5 − x2
1
(d) x2 = 4/x1
(e) x2 = min{4 − x1, 6 − 2x1}
(f) S(p) = s1(p) + s2(p),
kde s1(p) = p a s2(p) = 2p.
(g) S(p) = s1(p) + s2(p),
kde s1(p) = 2p a s2(p) = p − 1 a
s1(p) ≥ 0 a s2(p) ≥ 0.
3. Co je to spojitá funkce? Jaký je opak spojité
funkce?
4. Co je to monotónní funkce? Jak vypadá pozitivní
a negativní monotónní funkce?
5. Jak vypadá konvexní a konkávní funkce?
6. Co je to inverzní funkce? Utvořte inverzní funkci
od následujících funkcí:
(a) y = ax + b
(b) y = 5/x
(c) y = ex
Logaritmus
7. Co je to logaritmus? Nakreslete funkci
y = ln x.
8. Zlogaritmujte výraz xa
1xb
2.
Derivace
9. Co je to derivace? Jaký je vztah mezi derivací
a sklonem funkce? Jaký je vztah mezi derivací a
konvexností (konkávností) funkce?
10. Co je to součinové pravidlo? Co je to řetězové
pravidlo?
11. Zderivujte následující funkce podle p:
(a) D(p) = 50 − 2p
(b) D(p) = 30p−2
(c) D(p) = (2p + a)(−b)
(d) R(p) = pq(p)
12. Co je to parciální derivace? Zderivujte následující
funkce podle x1 a x2:
(a) U(x1, x2) = ax1 + bx2
(b) f(x1, x2) = xa
1xb
2
(c) U(x1, x2) = a ln x1 + bx2
(d) U(x1, x2) = a
√
x1 + bx2
(e) U(x1, x2) = (x2
1 + x2
2)a
Optimalizace
13. Vyřešte následující problém:
max
x1,x2
c ln x1 + d ln x2
za podmínky p1x1 + p2x2 = m,
kde 0 < c < 1, 0 < d < 1, p1 > 0, p2 > 0 a m > 0
jsou konstanty.