CVIČENÍ 2: LINIE ROZPOČTU, PREFERENCE A UŽITEK Linie rozpočtu 1. (!) Petr má rozpočtové omezení p1x1 + p2x2 = m. Napište, jak bude vypadat nové Petrovo rozpočtové omezení, pokud dostane dávku (paušální dotaci) s ve výši poloviny svého příjmu m a zároveň je uvalena na statek 2 daň z přidané hodnoty t ve výši 50 %. Zakreslete původní a nové rozpočtové omezení do grafu. 2. (!) Radovan dbá na zdravou výživu. Za své kapesné si kupuje pouze rajčata a jogurty. Pokud utratí celé své kapesné, může si dovolit přesně 15 rajčat a 2 jogurty nebo 5 rajčat a 4 jogurty. (a) Pokud by utratil celé své kapesné pouze za jogurty, kolik by si jich mohl koupit? (b) Jak velké je Radovanovo kapesné, pokud víme, že jedno rajče v místním konzumu stojí 2 Kč? 3. (!) Radovan má bratrance Arnieho. Arnie si za své kapesné kupuje plastové bazuky a mačety v místním hračkářství. Pokud utratí celý svůj rozpočet, může získat 4 bazuky a 3 mačety. Bazuky stojí dvakrát tolik co mačety. Tento měsíc rodiče Arniemu dali dvojnásobné kapesné. Pokud si bude chtít nadále kupovat 4 bazuky, kolik mačet si může maximálně pořídit? 4. (!) Šalamoun je nejmoudřejší člověk na světě. Každý den udílí lidem rady. Za den může udělit maximálně 30 rad a za každou dostane jeden šekel stříbra. Šalamoun nepotřebuje jíst ani pít, jeho jediným životním cílem je postavit chrám. Jedna cihla do chrámu stojí 3 šekele. (a) Napište rovnici Šalamounova denního rozpočtového omezení. Nakreslete Šalamounovu linii rozpočtu, u které bude na vodorovné počet rad R a na svislé ose počet cihel C. Vyznačte rozpočtovou množinu. (b) Jak se změní rozpočtové omezení a linie rozpočtu, pokud bude mít Šalamoun kromě příjmu z udílení rad ještě příjem z daní, který obnáší 90 šekelů za den? (c) Jak se změní rozpočtové omezení a linie rozpočtu z bodu (b), pokud bude ze svého příjmu z udílení rad odvádět chrámovou daň ve výši 20 %? 5. ( ) Karel má stresující povolání. Proto chodí každý pracovní den hned po práci do cukrárny. Přijde tam vždy přesně hodinu před zavíračkou. Jí zde pouze věnečky V a trubičky T. Na útratu má každý den 150 Kč. Jeden věneček stojí ho stojí 15 Kč a jedna trubička 10 Kč. Karel nemůže jíst zákusky moc rychle. Zatímco jeden věneček sní přesně za 5 minut, trubičku jí 10 minut, protože se mu drolí. Pokud nestihne dojíst před zavíračkou, majitelka cukrárny ho vyhodí a zákusky mu sebere. Nakreslete Karlovo rozpočtové omezení a vyznačte jeho rozpočtovou množinu. 6. ( ) Pavel má zvláštní stravovací návyky. Jí pouze párky v rohlíku a to jen, pokud je zakoupí v pravé poledne. Párky navíc nakupuje pouze na jednom místě v Brně a na jednom místě v Praze. Pavlův denní rozpočet je 50 Kč a jeden párek v rohlíku stojí 10 Kč, ať už je zakoupen v Praze nebo v Brně. Zakreslete Pavlovu denní rozpočtovou množinu, kde na vodorovné ose jsou párky v rohlíku zakoupené v pravé poledne v Praze a na svislé ose párky v rohlíku zakoupené v pravé poledne v Brně. 7. ( ) V současnosti ve Spojených státech funguje systém tzv. školních obvodů (school districts). Všechny rodiny v daném obvodu musí platit školní daně a všechny děti mohou chodit „bezplatně do nejbližší veřejné školy. Pokud se rodina rozhodne poslat děti do soukromé školy, musí školní daně nadále odvádět. Manželé Smithovi mají příjem m a platí školní daň d. Pokud pošlou své dítě do soukromé školy, budou muset navíc platit školné s. Předpokládejme, že je v okolí na výběr velké množství soukromých škol s libovolnou výší školného vyšší než d. Nakreslete rozpočtové omezení Smithových s částkou, která půjde na vzdělání jejich dítěte, na vodorovné ose a kompozitním statkem na svislé ose. Předpokládejte přitom, že se tato částka utracená na vzdělání bude přesně rovnat školním daním d v případě, že jejich dítě navštěvuje veřejnou školu, a školnému s v případě, že navštěvuje soukromou školu. Preference a užitek 8. (!) Alenka z říše divů spotřebovává pouze houby h a dortíky d. Alenčiny indiferenční křivky mají rovnici d = konstanta − 3 √ h, kde vyšší konstanta odpovídá vyšší indiferenční křivce. (a) Napište Alenčinu užitkovou funkci. Jak se jmenují tyto preference? (b) Spočítejte mezní míru substituce v bodech (h, d) = (4, 9) a (9, 12). (c) Vykazuje tato Alenčina indiferenční křivka klesající mezní míru substituce? 9. (!) Kamila Pilná chce mít vždy co nejvíc bodů. Chodí na cvičení k Ing. Slavíkovi, který má na cvičeních dvě průběžné písemky. Do konečné známky však počítá pouze body z písemky, která dopadla lépe. (a) Napište její užitkovou funkci, pokud b1 jsou body z první a b2 body z druhé písemky. Jaký tvar budou mít Kamiliny indiferenční křivky mezi kombinacemi bodů z první a druhé pí- semky? (b) Jak bude vypadat její užitková funkce, pokud bude chodit do cvičení k Ing. Krkavcovi, který naopak započítává pouze horší výsledek z obou písemek? Jaký tvar budou mít její indiferenční křivky? 10. (!) Udo chodí každý rok na Oktoberfest s kolegou z práce Jürgenem. Udo má rád pivo a pije ho rychle. Je mu jedno, jestli ho pije z půllitru nebo z tupláku. Naproti tomu Jürgen je „Feinschmecker a nemá rád zvětralé pivo. Když mu Udo přinese tuplák, vypije polovinu a polovinu vylije pod stůl. (a) Pokud počet půllitrů označíme p a počet tupláků t, jak by mohla vypadat Udova a Jürgenova užitková funkce? (b) Jakou budou mít mezní míru substituce, pokud počet tupláků vyznačíme na vodorovné ose? 11. (!) Kromě piva spotřebovává Udo také bavorské klobásky. Preferuje vždy více piva před méně pivem, ale z klobásek se mu časem začne dělat špatně. Dokud jich sní méně než 20, chutnají mu tak, že by byl ochotný je směňovat v konstantním poměru 2 klobásky za 1 pivo. Pak se jich ale přejí a každou další klobásu by byl ochotný sníst jen v případě, že by si k němu dal jedno pivo. Udo obvykle za večer na Oktoberfestu vypije 10 piv a sní 10 klobás. Dnes Udo na soutěži jedlíků spořádal 24 klobás. Kolik si bude muset dát piv, aby se cítit stejně dobře jako obvykle? 12. ( ) Dr. Dobrák má 3 průběžné písemky. Nejhorší skóre z těchto tří písemek pak nepočítá a dává každému studentu jeho průměrné skóre ze dvou zbývajících písemek. Jedna z jeho studentek dostala 70 ze své první písemky. x2 je skóre z její druhé písemky a x3 je skóre z její třetí písemky. Nakreslete její indiferenční křivku, která bude procházet bodem (x2, x3) = (50, 80). 13. ( ) Toto jsou užitkové funkce vybraných pohádkových postav: Rampa McQuack: U(x, y) = xy; Jerry: U(x, y) = xy(1 − xy); Tom: U(x, y) = 1000xy + 2000; Dulík: U(x, y) = −1/(10 + xy); Pat: U(x, y) = x/y; Mat: U(x, y) = −xy. (a) Které postavy mají stejný tvar indiferenčních křivek jako Rampa McQuack? (b) Které postavy mají stejné preference jako Rampa McQuack? 14. ( ) Tan Tee má rád silný zelený čaj, čím silnější, tím lepší. Síla čaje se měří počtem čajových lístků x v konvici. Nedokáže však rozlišit malé rozdíly. V průběhu let jeho žena zjistila, že Tan Tee preferuje čaj s x lístky před čajem s x lístky (tedy x x ), pouze pokud x − x > 2. Jinak je mezi těmito dvěma čaji indiferentní (tedy x ∼ x ). (a) Ukažte na příkladu, že ∼ není pro Tan Tee tran- zitivní. (b) Ukažte, že je pro Tan Tee tranzitivní. 15. ( ) Fifinka a Bobík se vrací po tůře na horách domů vlakem. Ve vlaku je hrozné vedro. Pro oba dva je velmi nepříjemné mít na sobě těžké horské boty. Problém spočívá v tom, že oběma (i Fifince!) strašně smrdí nohy. Nyní se rozhodují, kolik času budou mít pohorky na noze (vodorovná osa) a kolik času je budou mít na sobě pouze ponožky. Nakreslete tvar Fifinčiných a Bobíkových indiferenčních křivek a směr preferencí, pokud víte, že Fifince vadí, že smrdí, když na sobě nemá boty, zatímco Bobíkovi je to uplně jedno. (a) Předpokládejte přitom, že mají oba konvexní preference. (b) Jak budou vypadat jejich indiferenční křivky, pokud nemají nutně konvexní preference. VÝSLEDKY Linie rozpočtu 1. p1x1 + p2(1 + t)x2 = m + s p1x1 + 1, 5p2x2 = 1, 5m 2. (a) 5. (b) 50 Kč. 3. 14. 4. (a) 0 = 3C − R pro R ∈ 0, 30 , úsečka rostoucí z bodu (R, C) = (0, 0) do bodu (30,10). Trojúhelníková plocha pod úsečkou. (b) 90 = 3C − R pro R ∈ 0, 30 , úsečka rostoucí z bodu (R, C) = (0, 30) do bodu (30,40). (c) 90 = 3C −0, 8R pro R ∈ 0, 30 , úsečka rostoucí z bodu (R, C) = (0, 30) do bodu (30,38). 5. V grafu budou dvě „linie rozpočtu - peněžní linie rozpočtu z bodu (V ; T) = (10; 0) do (0; 15) a časová z (12; 0) do (0; 6). Karlova linie rozpočtu bude zalomená část těchto dvou linií z bodu (V ; T) = (10; 0) do (9; 1,5) a z bodu (9; 1,5) do bodu (0; 6). Jeho rozpočtová množina bude ležet pod touto zalomenou linií rozpočtu. Preference a užitek 8. (a) U(d, h) = d + 3 √ h. Kvazilineární preference. (b) Pro h = 4, MRS = −3/4, a pro h = 9, MRS = −1/2. (c) Ano. 9. (a) U(b1, b2) = max{b1, b2}. Indiferenční křivky budou mít tvar obráceného písemene L – úsečky doleva a dolů od zlomu. (b) U(b1, b2) = min{b1, b2}. Indiferenční křivky budou mít tvar písemene L. 10. (a) Udo: U(p, t) = p + 2t; Jürgen: U(p, t) = p + t. (b) Udo: −2, Jürgen: −1. 11. 9. 12. Indiferenční křivka se bude skládat ze tří úseček. První povede z bodu (x2, x3) = (0, 80) do bodu (70, 80), druhá z (70, 80) do (80, 70) a třetí z (80, 70) do (80, 0). 13. (a) Tom, Jerry, Mat a Dulík. (b) Tom a Dulík.