LINIE ROZPOČTU, PREFERENCE A UŽITEK – řešené příklady
Linie rozpočtu
1. Spotřebitel nakupuje pouze dva statky: statek 1
a statek 2 a má lineární linii rozpočtu. Cena statku
1 klesne na 1/2, cena statku 2 klesne na 1/3 a jeho
příjem klesne na 1/3 původní hodnoty. Pokud nakreslíme
statek 1 na vodorovnou osu, bude jeho linie
rozpočtu strmější nebo plošší? Bude ležet nad nebo
pod původní linií rozpočtu?
Řešení
Původní linie rozpočtu spotřebitele má tvar p1x1 +
p2x2 = m, kde p1 a p2 jsou ceny a x1 a x2 množství
statků 1 a 2 a m je příjem. Pokud z nové rovnice vyjádříme
x2, získáme původní linii rozpočtu ve tvaru
x2 =
m
p2
−
p1
p2
x1.
Po změnách cen a příjmu má linie rozpočtu tvar
p1
2
x1 +
p2
3
x2 =
m
3
.
Pokud z této rovnice vyjádříme x2, dostaneme novou
linii rozpočtu ve tvaru
x2 =
m
p2
−
3p1
2p2
x1.
Původní linie rozpočtu měla sklon −p1/p2, nová linie
rozpočtu má sklon −3p1/2p2. Nová linie rozpočtu
je tedy strmější. Obě linie rozpočtu protínají vertikální
osu na hodnotě m/p2. Protože je nová nová linie
rozpočtu strmější, bude ležet pod původní linií rozpočtu.
Následující obrázek ukazuje vliv změny cen a
příjmu na tvar linie rozpočtu. Původní linie rozpočtu
je označena jako BL, nová linie rozpočtu jako BL .
m
p2
x2
x12m
3p1
m
p1
sklon = −p1
p2
sklon = −3p1
2p2
BLBL
2. Spotřebitel nakupuje pouze dva statky: statek 1
a statek 2. Cena statku 1 je p1 = 2 Kč, cena statku 2
je p2 = 5 Kč. Spotřebitel má příjem m = 100 Kč.
Jaký tvar bude mít jeho nová linie rozpočtu, pokud
bude muset zaplatit paušální daň s = 25 Kč, množstevní
daň ze statku 1 ve výši r = 1 Kč a hodnotovou
daň ze statku 2 ve výši t = 0,5.
Řešení
Původní linie rozpočtu spotřebitele má tvar
p1x1 + p2x2 = m
2x1 + 5x2 = 100.
Nová linie rozpočtu je
(p1 + r)x1 + (1 + t)p2x2 = m − s
3x1 + 7,5x2 = 75.
3. Spotřebitel nakupuje pouze dva statky: statek 1
a statek 2. Jeho linie rozpočtu má tvar úsečky. Spotřebitel
si může dovolit přesně 10 jednotek statku
1 a 6 jednotek statku 2 nebo 15 jednotek statku 1
a 4 jednotky statu 2. Pokud spotřebitel utratí celý
svůj příjem na statek 2, kolik jednotek tohoto statku
si může koupit?
Řešení
Ze zadání víme, že linie rozpočtu spotřebitele má
tvar p1x1 + p2x2 = m, kde p1 a p2 jsou ceny, x1
a x2 jsou množství statků 1 a 2 a m je příjem.
Dále víme, že tato linie rozpočtu spotřebitele prochází
body (x1, x2) = (10, 6) a (x1, x2) = (15, 4). Pokud
tyto body dosadíme do linie rozpočtu, získáme
soustavu dvou rovnic
10p1 + 6p2 = m
15p1 + 4p2 = m.
Chceme zjistit, jaké množství statku 2 si může spotřebitel
koupit za celý svůj příjem m. Zajímá nás tedy,
kolik je m/p2. Ve výše uvedených rovnicích se potřebujeme
zbavit ceny statku 1 p1. To můžeme udělat
několika způsoby. Jestliže na příklad první rovnici vynásobíme
−1,5, dostaneme
−15p1 − 9p2 = −1, 5m
15p1 + 4p2 = m.
Součtem těchto dvou rovnic získáme
−5p2 = −0, 5m
m
p2
=
−5
−0,5
= 10.
Spotřebitel si může koupit maximálně 10 jednotek
statku 2.
Preference a užitek
4. Spotřebitel nakupuje statek 1 a statek 2. Jeho indiferenční
křivky mají rovnici x2 = C/x1, kde vyšší
konstanta C odpovídá vyšší indiferenční křivce.
(a) Napište užitkovou funkci spotřebitele.
(b) Spočítejte sklon indiferenční křivky x2 = 10/x1
v bodech (x1, x2) = (2, 5) a (x1, x2) = (5, 2).
Jsou sklony indiferenční křivky v těchto bodech
v souladu s klesající mezní mírou substituce?
Řešení
(a) Užitková funkce u(·) přiřazuje spotřebním
košům užitek tak, aby platilo, že pokud je koš
X preferovaný před košem Y , tedy (x1, x2)
(y1, y2), potom musí platit, že u(x1, x2) >
u(y1, y2). Tuto podmínku splňuje mnoho užitkových
funkcí. Nejjednodušší je položit užitek
spotřebního koše u(x1, x2) ležícího na indiferenční
křivce x2 = C/x1 rovný konstantě C. Potom
platí, že
x2 = u(x1, x2)/x1
u(x1, x2) = x1x2.
(b) Sklon indiferenční křivky v bodě (x1, x2) =
(2, 5) se rovná derivaci indiferenční křivky
podle x1
dx2
dx1
=
d(10/x1)
dx1
= −
10
x2
1
= −
5
2
.
Sklon indiferenční křivky v bodě (2, 5) se
rovná i mezní míře substituce užitkové funkce
u(x1, x2) = x1x2 v bodě (2, 5):
MRS = −
∂u
∂x1
∂u
∂x2
= −
x2
x1
= −
5
2
.
Sklon indiferenční křivky v bodě (5, 2) je
dx2
dx1
= MRS = −
2
5
.
Sklony indiferenční křivky v těchto bodech jsou
v souladu s klesající mezní mírou substituce,
protože | − 5/2| > | − 2/5|.
5. Spotřebitel nakupuje dva statky: statek 1 a statek 2.
(a) Jaký tvar bude mít užitková funkce spotřebitele,
pokud je ochotný statek 1 a 2 nahrazovat
v konstantním poměru 2 jednotky statku 1
za 1 jednotku statku 2. Nakreslete indiferenční
křivku pro tuto užitkovou funkci.
(b) Jaký tvar bude mít užitková funkce spotřebitele,
pokud spotřebovává tyto statky vždy
v konstantním poměru 1 jednotka statku 1 se
2 jednotkami statku 2. Nakreslete indiferenční
křivku pro tuto užitkovou funkci.
Řešení
(a) Statky 1 a 2 jsou dokonalé substituty. Spotřebitel
má stejný užitek např. ze spotřebních
košů (x1, x2) = (2, 0) a (0, 1). Preference
tohoto spotřebitele popisuje užitková funkce
u(x1, x2) = x1 + 2x2 a její libovolné monotónní
transformace. Následující obrázek znázorňuje
tři možné indiferenční křivky pro užitkovou
funkci u(x1, x2) = x1 + 2x2.
x1
x2
1,5
1
321
0,5
IC3IC2IC1
(b) Statky 1 a 2 jsou dokonalé komplementy. Spotřebitel
má stejný užitek např. ze spotřebních
košů (x1, x2) = (1, 2), (2, 2) a (1, 3). Preference
tohoto spotřebitele popisuje užitková funkce
u(x1, x2) = min{2x1, x2} a její libovolné monotónní
transformace. Následující obrázek znázorňuje
dvě možné indiferenční křivky pro užitkovou
funkci u(x1, x2) = min{2x1, x2}.
x1
x2
4
2
IC2
IC1
1 2