CVIČENÍ 3: VOLBA A PROJEVENÉ PREFERENCE
Volba
1. (!) Karlík Bucket má užitkovou funkci U = xSxC,
kde S jsou sušenky a C je čokoláda. Cena jedné čokolády
je 20 Kč a cena jedné sušenky je 5 Kč. Karlík
pochází z chudých poměrů—má kapesné jen 20 Kč
za měsíc. Kolik sušenek a čokolád Karlík spotřebuje,
pokud bude maximalizovat užitek při svém
rozpočtovém omezení?
2. (!) Karlíkova kamarádka Veruka Saltini je rozmazlená.
Má kapesné 1200 Kč za měsíc. Je ale také
spořivá. Nakupuje pouze čokoládu za 20 Kč za kus
a zbytek peněz si dává do prasátka. Její užitkovou
funkce je U(xP , xC) = xP +64xC −x2
C, kde P jsou
ušetřené peníze a C jsou čokolády. Kolik bude optimální
ušetřená částka?
3. (!) Miki Telekuk jí při sledování televize pouze sušenky
Telka a Tuc. Každý balíček sušenek Telka je
ochotný vyměnit za dva balíčky sušenek Tuc. Každý
den za sušenky utratí 80 korun. Včera si koupil
dvoje Telky a jedny sušenky Tuc. Jaké jsou ceny
těchto sušenek?
4. (!) August Gdoule má následující užitkovou funkci:
U(xH, xZ) = x2
H + 2xZ, kde H jsou hamburgery
a Z je zmrzlina. August má kapesné 300 Kč za týden.
Jeden hamburger ho stojí 50 Kč a jedna zmrzlina
25 Kč. (Nápověda: Nakreslete si libovolnou indiferenční
křivku.)
(a) Jaká bude Augustova optimální spotřeba
hamburgerů a zmrzliny.
(b) Předchozí týden se August přejedl a bylo mu
špatně. Rodiče mu tedy snížili kapesné na polovinu.
Kolik bude spotřebovávat hamburgerů
a zmrzliny?
5. ( ) Franta chodí každý večer do hospody. Má k
dispozici 200 Kč, které utrácí pouze za pivo za 20
Kč a za utopence za 25 Kč. Franta má užitkovou
funkci U(P, U) = −[(P − 6)2
+ (U − 2)2
], kde P je
počet piv a U počet utopenců.
(a) Kolik spotřebuje piva a utopenců za večer?
(b) Kolik jich spotřebuje, pokud se jeho příjem
zvýší na 250 Kč?
6. ( ) María žije v Mexico City. Její užitková funkce
je U(x1, x2) = min{x1 +2x2, 2x1 +x2}, kde x1 jsou
porce tacos a x2 porce nachos. Marie má rozpočet
20 pesos.
(a) Pokud je cena jedné porce tacos 2 pesa a cena
nachos 3 pesa, kolik si María koupí tacos?
(b) Pokud cena jedné porce tacos klesne na 1 peso,
kolik si jich María koupí?
7. ( ) Lewis Carroll (1832-1898) byl matematik, logik
a politolog. Carroll měl rád hádanky. V jeho knize
Alenka v říši divů řeší Alenka následující problém:
—„Ráda bych si koupila vajíčko, prosím, řekla nesměle.
„Kolik stojí?
—„Pět pencí a čtvrt za jedno—dvě pence za dvě,
odpověděla Ovce.
—„Takže dvě jsou levnější než jedno? řekla Alenka
a otevřela kabelku.
—„Ale musíš obě sníst, když si koupíš dvě, řekla
Ovce.
—„Pak si vezmu jen jedno, řekla Alenka a položila
peníze na pultík. A pro sebe si řekla, „Co
kdyby nebyly vůbec dobré.
Nakreslete rozpočtovou množinu a indiferenční
křivky, které jsou konzistentní s tímto příběhem.
Předpokládejte, že má Alenka celkem 8 pencí a že
si může koupit 0, 1 nebo 2 vajíčka, ale žádné zlomky
vajíček.
8. ( ) Tento příklad se vrací k systému školních obvodů,
kterému jsme se věnovali na minulém cvičení.
Smithovi mají příjem m, platí školní daň d, a pokud
pošlou své dítě do soukromé školy, budou muset navíc
platit školné s.
(a) Nakreslete linii rozpočtu rodiny Smithových
(jako na minulém cvičení) a pravděpodobný
spotřební koš, pokud má tato rodina konvexní
preference.
(b) V posledních letech se diskutuje o změně tohoto
systému. Rodiče, kteří posílají děti do
soukromé školy, by mohli dostat tzv. školní
poukaz (school voucher) v hodnotě školní
daně d, kterou odvedli. Tento poukaz by pak
mohli použít při placení školného na soukromé
škole. Do stejného grafu jako v bodě (a) zaneste
rozpočtové omezení rodiny Smithových
v systému se školními poukazy. Jak by se při
stejných preferencích jako v bodě (a) pravděpodobně
změnily jejich výdaje na vzdělání?
Projevené preference
9. (!) Ondřej spotřebovává víno V a ryby R. Pokud
jsou ceny PV = 3 a PR = 4, volí si spotřební koš
(V, R) = (5, 4). Pokud jsou ceny PV = 1 a PR = 5,
vybírá si koš (V, R) = (3, 4).
(a) Je koš (5,4) přímo projevený jako preferovaný
před košem (3,4)?
(b) Je koš (5,4) nepřímo projevený jako preferovaný
před třetím košem (V, R) = (8, 2)?
10. (!) Ondřejův bratr Petr spotřebovává chleby Ch a
ryby R. Při cenách PCh = 2 a PR = 4 spotřebovává
5 chlebů a 2 ryby. Při cenách PCh = 4 a PR = 2
spotřebovává 6 chlebů a 1 rybu.
(a) Je Petrovo chování konzistentní se slabým axiomem
projevených preferencí?
(b) Bylo by konzistentní se slabým axiomem
projevených preferencí, kdyby při cenách
PCh = 4 a PR = 2 spotřebovával 7 chlebů a
1 rybu?
11. (!) Matouš utrácí celý svůj příjem za datle D
a fíky F. Při cenách (PD, PF ) = (2, 2) Matouš spotřebovává
20 datlí a 20 fíků.
(a) Pohorší si Matouš, když se ceny změní na
(PD, PF ) = (3, 1)?
(b) Polepší si, když budeme předpokládat, že
má hladkou a striktně konvexní indiferenční
křivku bez zlomu?
12. ( ) Lukáš a Marek mají stejné preference a oba
spotřebovávají pouze kuřata K a víno V . Lukáš má
příjem 120 za měsíc a nakupuje kuřata a láhve vína
za PK = 15 a PV = 5. Marek žije v jiném státě,
kde má příjem 1 400 (v jiné měně) a nakupuje 6
kuřat a 4 láhve vína za PK = 200 a PV = 50.
(a) Kdo se má lépe, Lukáš nebo Marek?
(b) Předpokládejte, že Lukáš utratí celý svůj příjem
za kuřata a víno. Uveďte příklad Lukášova
spotřebního koše, který by porušil předpoklad,
že Lukáš a Marek mají stejné preference.
13. ( ) Tomáš utrácí v současnosti 2 000 Kč za týden
za tenisové tréninky. Bohatý strýc mu nabídne, že
mu bude posílat kapesné 500 Kč za týden, nebo mu
bude dotovat čtvrtinu ceny tréninků. Tomáš nemá
zlom v indiferenční křivce a, kdyby byl bohatší, za
tréninky by utratil víc peněz. Bude preferovat kapesné
nebo dotaci?
14. ( ) Hanka má příjem 30 000 Kč za semestr a zajímá
ji, kolik bude mít učebnic ekonomie a kolik peněz
jí zbyde na ostatní věci. Jedna průměrná učebnice
ekonomie stojí 1 000 Kč a při této ceně jich
Hanka nakupuje 10 za semestr. Předpokládejte, že
je zavedeno školné ve výši 15 000 za semestr a učebnice
jsou zadarmo. Polepší si Hanka touto změnou?
15. ( ) Spotřebitel nakupuje za svůj příjem jen zboží
A a B. Množství a ceny shrnuje následující tabulka,
kde Q1 a P1 je množství a cena v roce 1 a Q2 a P2
je množství a cena v roce 2.
Q1 P1 Q2 P2
Zboží A 100 100 120 80
Zboží B 100 100 ? 80
V jakém rozmezí musí být „? , aby:
(a) chování spotřebitele nesplňovalo slabý axiom
projevených preferencí,
(b) spotřební koš v roce 1 byl projeven jako preferovaný
před spotřebním košem v roce 2,
(c) spotřební koš v roce 2 byl projeven jako preferovaný
před spotřebním košem v roce 1,
(d) nebylo možné rozhodnout, zda platí možnost
1,2 nebo 3.
16. ( ) Filip může jet nakoupit do jednoho z mnoha
různě vzdálených supermarketů. Do každého ze supermarketů
musí jet autem a cesta do supermarketu
i mu zabere čas ti. Každý ze supermarketů
má jiné ceny. Filipovi jde jen o to, jaký koš výrobků
koupí, kolik za ně zaplatí a kolik času stráví
cestou do obchodu. Filipova užitková funkce má
tedy následující tvar Ui(xi, ti) = u(x)−e(xi)−αti,
kde u(x) je užitek ze spotřeby koše výrobků x,
e(x) jsou výdaje na koš v supermarketu i a α říká,
na kolik Kč si Filip cení jedné hodiny strávené
jízdou do obchodu. Víte, že Filip nejezdí ani do
nejbližšího ani do nejvzdálenějšího supermarketu.
Využijte přístup projevených preferencí a navrhněte
postup, jak zjistit, v jakém rozmezí se pohybuje
hodnota parametru α.
ŘEŠENÍ
Volba
1. xS = 2 a xC = 1/2.
2. 760 Kč.
3. Telka stojí 32 Kč a Tuc 16 Kč.
4. (a) xH = 6 a xZ = 0.
(b) xH = 0 a xZ = 6.
5. (a) P = 6 a U = 2.
(b) P = 6 a U = 2.
6. (a) 4.
(b) 20.
Projevené preference
9. (a) Ano.
(b) Ano.
10. (a) Ne.
(b) Ne.
11. (a) Nepohorší.
(b) Polepší.
12. (a) Lukáš.
(b) Např. pokud by Lukáš spotřeboval 24 lahví
vína a žádné kuře (tato spotřeba by porušila
WARP).
13. Zvolí dotaci.
14. Nevíme.