Volba a projevené preference
Varian, Mikroekonomie: moderní přístup, kapitola 5 a oddíly 7.1–7.7
Varian, Intermediate Microeconomics, Chapter 5 and Sections 7.1–7.7
1 / 37
Na této přednášce se dozvíte
• co je optimální volba spotřebitele a jak závisí na preferencích,
• jak můžeme odhadnout užitkovou funkci ze spotřebního chování,
• jaké jsou implikace optimální volby,
• co jsou to projevené preference,
• jaký je vztah mezi projevenými preferencemi a preferencemi,
• co je to slabý a silný axiom projevených preferencí.
2 / 37
Optimální volba
Monotónní preference – optimální volba vždy na linii rozpočtu
Hladká indiferenční křivka, vnitřní řešení a konvexní preference –
optimální volba vždy v bodě dotyku, kde linie rozpočtu (BL) je
tečnou k indiferenční křivce (IC), tedy kde
sklon IC = MRS = −
p1
p2
= sklon BL.
Sklon IC v optimu spotřebitele se nemusí rovnat sklonu BL, pokud máme
• zalomenou indiferenční křivku,
• rohové řešení,
• nekonvexní preference.
3 / 37
Hladká IC, vnitřní řešení a konvexní preference
Pro optimální volbu platí: sklon IC = MRS = −p1
p2
= sklon BL.
4 / 37
Zalomená indiferenční křivka
Sklon IC v optimu není definovaný.
5 / 37
Rohové řešení
V optimu spotřebitele se sklon IC = sklon BL
6 / 37
Nekonvexní preference
Mohou existovat neoptimální koše, kde sklon IC = sklon BL.
Může existovat víc optimálních košů, kde sklon IC = sklon BL.
7 / 37
Příklady volby – dokonalé komplementy
u(x1, x2) = min{x1, x2} – statky 1 a 2 jsou spotřebovávané v poměru 1:1.
Pokud p1 > 0 a p2 > 0, v optimu spotřebitele x∗
1 = x∗
2 .
8 / 37
Příklady volby – dokonalé substituty
u(x1, x2) = x1 + x2 – ochota směňovat statky 1 a 2 v poměru 1:1.
Pokud p1 < p2, optimální volba je (x∗
1 , x∗
2 ) = (m/p1, 0).
9 / 37
Příklady volby – lhostejné a nežádoucí statky
Statek 1 žádoucí statek a statek 2 lhostejný nebo nežádoucí statek.
Pokud p2 ≥ 0, optimální volba je (x∗
1 , x∗
2 ) = (m/p1, 0).
10 / 37
Příklady volby – konkávní preference
Optimální volba (rohové řešení Z) – sklon IC = sklon BL
Neoptimální volba (vnitřní řešení X) – sklon IC = sklon BL
11 / 37
Příklady volby – Cobb-Douglasovy preference
Spotřebitel volí koš s maximálním užitkem ze své rozpočtové množiny:
max
x1,x2
u(x1, x2) = xc
1 xd
2
při omezení p1x1 + p2x2 ≤ m.
Cobb-Douglasovy preference
• jsou monotónní =⇒ p1x1 + p2x2 = m,
• konvexní, mají hladké IC a vnitřní řešení =⇒ MRS = −p1/p2.
Optimální spotřební koš (x∗
1 , x∗
2 ) je řešením následujících dvou rovnic:
−
cx∗
2
dx∗
1
= −
p1
p2
p1x∗
1 + p2x∗
2 = m.
12 / 37
Příklady volby – Cobb-Douglasovy preference (pokrač.)
Řešením těchto rovnic získáme optimum spotřebitele
(x∗
1 , x∗
2 ) =
c
c + d
m
p1
,
d
c + d
m
p2
.
Vlastnost Cobb-Douglasových preferencí: Spotřebitel utrácí v optimu
na každý statek pevný podíl svého příjmu:
p1x∗
1
m
=
p1
m
c
c + d
m
p1
=
c
c + d
p2x∗
2
m
=
p2
m
d
c + d
m
p2
=
d
c + d
.
Je příhodné používat C-D užitkovou funkci se součtem exponentů 1, např.
u(x1, x2) =
√
x1x2,
protože pak exponenty přímo udávají podíly příjmu určené na statky 1 a 2.
13 / 37
APLIKACE: Odhad užitkové funkce
Jaká užitková funkce odpovídá následujícím datům o spotřebě?
Podíly na spotřebě (s1, s2) jsou přibližně konstantní
=⇒ Cobb-Douglasova užitková funkce u(x1, x2) = x
1/4
1 x
3/4
2 .
14 / 37
APLIKACE: Odhad užitkové funkce (pokračování)
K čemu je nám tento odhad?
Např. můžeme hodnotit politická rozhodnutí.
Předpokládejme, že by nový daňový systém vedl k cenám (p1, p2) = (2, 3)
a k důchodu 200. Poptávaná množství statků jsou
x1 =
1
4
200
2
= 25,
x2 =
3
4
200
3
= 50.
Odhadovaný užitek tohoto koše je u(x1, x2) = 251/4503/4 ≈ 42,
což je víc než užitek v roce 2 a méně než užitek v roce 3.
15 / 37
APLIKACE: Volba daní
Vláda chce zvýšit daňové příjmy. Má použít
množstevní daň nebo daň z příjmů?
Daň z příjmu (za určitých předpokladů)
Ukážeme, že pro každou množstevní daň
existuje stejně výnosná a spotřebitelem
preferovaná daň z příjmu.
16 / 37
APLIKACE: Volba daní (pokračování)
Množstevní daň:
• Původní rozpočtové omezení: p1x1 + p2x2 = m
• Rozpočtové omezení s daní: (p1 + t)x1 + p2x2 = m
• Optimální volba s daní: (p1 + t)x∗
1 + p2x∗
2 = m
• Daňové příjmy: tx∗
1 .
17 / 37
APLIKACE: Volba daní (graf)
18 / 37
APLIKACE: Volba daní (pokračování)
Množstevní daň:
• Původní rozpočtové omezení: p1x1 + p2x2 = m
• Rozpočtové omezení s daní: (p1 + t)x1 + p2x2 = m
• Optimální volba s daní: (p1 + t)x∗
1 + p2x∗
2 = m
• Daňové příjmy: tx∗
1 .
Daň z příjmu, která generuje stejné daňové příjmy:
• Rozpočtové omezení s daní: p1x1 + p2x2 = m − tx∗
1
• Tato linie rozpočtu má stejný sklon jako původní linie rozpočtu.
• A také prochází bodem (x∗
1 , x∗
2 ) – důkaz: p1x∗
1 + p2x∗
2 = m − tx∗
1 .
• Spotřební koš (x∗
1 , x∗
2 ) je dosažitelný i s daní z příjmu. =⇒
Pro hladkou a konvexní IC a vnitřní řešení musí být
optimální volba s daní z příjmu lepší než (x∗
1 , x∗
2 ).
19 / 37
APLIKACE: Volba daní (graf)
20 / 37
APLIKACE: Volba daní (námitky)
• Tato argumentace platí pouze pro jednoho spotřebitele. Neplatí ale,
pokud chceme mít stejnou sazbu daně z příjmu pro všechny lidi.
Např. člověk, který skoro vůbec nespotřebovává statek 1, bude jistě
preferovat množstevní daň před daní z příjmu.
• Předpokládáme, že příjem je exogenní. Daň ale často ovlivňuje příjem,
např. odrazuje lidi od práce.
• Nezahrnuli jsme do analýzy reakci nabídky. Cena většinou nevzroste
o celou velikost daně.
21 / 37
APLIKACE: Náklady Vánoc
Joel Waldfogel, “The Deadweight Loss of Christmas” (AER, 1993):
• „To nejlepší, co může člověk, který dává dárek, podle standardní
mikroekonomické teorie spotřebitelské volby udělat s např. 10 $,
je vybrat přesně to, co by si vybral obdarovaný. (p. 1328)
Ve většině případů na tom bude obdarovaný hůř.
• Dávání dárků ničí 10 – 33 % hodnoty dárku: ztráta min. 4 mld. $
(10 % odhadované ztráty mrtvé váhy z daně z příjmu).
22 / 37
Projevené preference
V předchozím výkladu jsme z preferencí odvozovali chování spotřebitele.
V realitě ale preference nemůžeme přímo pozorovat
Projevené preference pracují obráceně – z chování odvozují preference.
Předpokládáme, že preference spotřebitele jsou stabilní
= nemění se v době, kdy pozorujeme chování spotřebitele.
Pro zjednodušení výkladu předpokládáme, že odvozené preference jsou
• striktně konvexní =⇒ jediný poptávaný spotřební koš.
• monotónní =⇒ spotřebitel utrácí celý svůj příjem.
Tyto dva předpoklady nejsou nutné pro teorii projevených preferencí!
23 / 37
Myšlenka projevených preferencí
Když si vyberu X, i když bylo dostupné i Y ,
pak jsem projevil, že preferuji X před Y .
24 / 37
Projevené preference a preference
Jestliže je X projevené jako preferované před Y , znamená to,
že X je preferované před Y ?
Ne. „X projevené jako preferované před Y pouze říká, že bylo vybráno X,
i když bylo dostupné Y .
Jestliže si spotřebitel vybírá nejlepší dostupný spotřební koš (spotřebitel
maximalizující užitek), pak „projevené preference implikují „preference .
Další výklad ve dvou krocích:
1 Pomocí projevených preferencí za předpokladu maximalizace užitku
(a dalších předpokladů) z voleb spotřebitele odvodíme preference.
2 Ukážeme si, jak lze otestovat, zda se spotřebitel chová konzistentně
s maximalizací užitku.
25 / 37
Přímo projevené preference
Vybraný koš (x1, x2) je přímo projevený jako preferovaný před (y1, y2),
pokud (y1, y2) je dosažitelný, tedy pokud p1x1 + p2x2 ≥ p1y1 + p2y2.
26 / 37
Nepřímo projevené preference
Pokud je spotřební koš X přímo projevený jako preferovaný před košem Y
a Y je přímo projevený jako preferovaný před Z, pak vyplývá z tranzitivity,
že X je nepřímo projevený jako preferovaný před Z.
27 / 37
Příklad – odvození preferencí
Odvození IC pro striktně konvexní a monotónní preference.
28 / 37
Slabý axiom projevených preferencí
Slabý axiom projevených preferencí (WARP)
Jestliže (x1, x2) je přímo projevený jako preferovaný před (y1, y2),
potom (y1, y2) nemůže být přímo projevený jako preferovaný před (x1, x2).
Formálněji: Pro každý koš (x1, x2) nakoupený při cenách (p1, p2)
a jiný koš (y1, y2) nakoupený při cenách (q1, q2) platí že, jestliže
p1x1 + p2x2 ≥ p1y1 + p2y2,
pak nesmí platit, že
q1y1 + q2y2 ≥ q1x1 + q2x2.
WARP = nutná podmínka pro konzistenci s maximalizací užitku.
29 / 37
Slabý axiom projevených preferencí (pokračování)
Volby spotřebitele, které nejsou s souladu s WARP:
30 / 37
Slabý axiom projevených preferencí (pokračování)
Volby spotřebitele, které jsou v souladu s WARP:
31 / 37
Jak testovat WARP?
Jak systematicky testovat WARP? Máme následující spotřební data:
Náklady košů 1, 2 a 3 při různých cenách:
Vybrané koše jsou přímo projevené jako preferované před koši s ∗ na
stejném řádku (např. při cenách 1 je koš 1 preferovaný před košem 2).
32 / 37
Jak testovat WARP? (pokračování)
K porušení WARP dojde tehdy, pokud bude ∗ v řádku t a sloupci s
a zároveň v řádku s a sloupci t (např. koš 1 při ceně 2 a koš 2 při ceně 1).
Data v tabulce porušují WARP.
Co to může znamenat, když data porušují WARP? Dvě možnosti:
• Spotřebitel si nevolí nejlepší dostupný spotřební koš.
• Spotřebitel nemá stabilní nebo striktně konvexní preference.
33 / 37
Silný axiom projevených preferencí
WARP = nutná podmínka pro konzistenci s maximalizací užitku.
Netestuje však, zda jsou preference tranzitivní.
Silný axiom projevených preferencí (SARP)
Je-li (x1, x2) přímo nebo nepřímo projevený jako preferovaný před (y1, y2),
pak (y1, y2) nemůže být přímo nebo nepřímo projeveně prefer. před (x1, x2).
SARP = nutná i postačující podmínka pro konzistenci s maximalizací
užitku.
Pokud platí SARP, můžeme najít takové preference, pro které
bude chování spotřebitele konzistentní s maximalizací užitku.
34 / 37
Jak testovat SARP?
Tabulka dole ukazuje náklady spotřebních košů při různých cenách:
Zvolený koš je nepřímo proj. jako preferovaný před koši ve stejné řadě s (∗)
(např. při cenách 1 je koš 1 nepřímo proj. jako preferovaný před košem 3).
SARP je porušen, pokud mají obě diagonální pole stejné barvy ∗ nebo (∗).
SARP není porušen.
35 / 37
Shrnutí
• Optimální volba je spotřební koš náležející
do rozpočtové množiny spotřebitele,
který leží na nejvyšší indiferenční křivce.
• MRS se v optimu rovná sklonu linie
rozpočtu, pokud máme hladké IC,
vnitřní řešení a konvexní preference.
• Pokud jsou preference navíc striktně
konvexní, máme právě jeden poptávaný koš.
• Pokud každý čelí stejným cenám dvou
statků, potom bude mít každý za podmínek
uvedených v předchozím bodě stejnou MRS.
• Můžeme odhadnout užitkovou funkci
ze spotřebitelských rozhodnutí a použít
ji k hodnocení hospodářské politiky.
36 / 37
Shrnutí (pokračování)
• Pokud si spotřebitel vybere koš 1,
i když si mohl vybrat koš 2, koš 1 je
projevený jako preferovaný před košem 2.
• Slabý axiom projevených preferencí (WARP)
je nutnou podmínkou, kterou musí splňovat
volby spotřebitele, aby byly konzistentní
maximalizací užitku.
• Silný axiom projevených preferencí (SARP)
je nutnou i postačující podmínkou pro
konzistenci s maximalizací užitku.
• Pokud platí SARP, lze odhadnout preference
spotřebitele z jeho chování.
37 / 37