Nejistota a rovnováha
Varian: Mikroekonomie: moderní přístup, kapitoly 12 a 16
Varian: Intermediate Microeconomics, 8e, Chapters 12 and 16
1 / 42
Na této přednášce se dozvíte
• jak vypadá rozhodování za rizika,
• jak souvisí funkce očekávaného užitku a předpoklad nezávislosti,
• co je to averze k riziku a vyhledávání rizika,
• jak funguje diverzifikace a rozložení rizika.
• co je to rovnováha,
• jaký mají daně vliv na rovnováhu,
• co je to Pareto efektivní situace.
2 / 42
Co si vybíráme?
Pravděpodobnostní rozdělení s různými spotřebami (= loterie).
Pravděpodobnostní rozdělení (loterie) = seznam všech možných
spotřebních košů s pravděpodobností, s jakou je získám
L = {p1, p2, ..., pn},
kde pn ≥ 0 je pravděpodobnost, že získám koš n, a kde n pn = 1.
Příklad:
Vsadím se o poslední 100 Kč, kterou mám, že na minci padne orel.
Když vyhraji, získám 200 Kč, když prohraji, nebudu mít nic.
Tomuto případu odpovídá loterie L = {p1, p2} = {1/2, 1/2},
kde výsledek 1 je 200 Kč a výsledek 2 je 0 Kč.
3 / 42
Podmíněná spotřeba
Výsledné stavy jsou různé důsledky určité náhodné události.
Příklad: U krádeže auta jsou dva výsledné stavy –
auto mi ukradnou nebo neukradnou.
Pro jednoduchost se omezíme důsledky určité náhodné události s
• několika málo výslednými stavy
• a spotřebou vyjádřenou v peněžních jednotkách.
Peníze na spotřebu v různých výsledných stavech můžeme chápat
jako různé statky.
Příklad:
10 000 Kč může mít jinou hodnotu pro člověka, kterého postihla
povodeň, než pro člověka, kterého povodeň nepostihla.
Podobně jako je zmrzlina v létě jiný statek než zmrzlina v zimě.
4 / 42
Volba podmíněného spotřebního plánu
Podmíněný spotřební plán říká, jakou spotřebu nebo bohatství
budeme mít v různých výsledných stavech určité náhodné události.
K analýze volby podmíněného spotřebního plánu pro danou náhodnou
událost můžeme použít standardní teorii spotřebitelské volby, protože
• podmíněný spotřební plán je spotřební koš,
• máme rozpočtové omezení (např. dané pojistným),
• máme definované preference nad různými spotřebními plány.
Spotřebitel si volí nejlepší spotřební plán, který si může dovolit.
5 / 42
Příklad – pojištění
Spotřebitel plánuje v tomto roce utratit 35 000.
S pravděpodobností 1 % dojde k nehodě –
bude si muset koupit nové auto za 10 000.
Jeho podmíněný spotřební plán je (cb, cg ) = (25 000, 35 000), kde
• špatný výsledný stav b nastane s pravděpodobností 1 %,
• dobrý výsledný stav g nastane s pravděpodobností 99 %.
6 / 42
Příklad – pojištění (pokračování)
Pojištění umožní spotřebiteli volit mezi více spotřebními plány.
Pokud zaplatí pojistné γK, dostane v případě nehody částku K.
Spotřebitel si volbou K vybírá mezi spotřebními plány
(cb, cg ) = (25 000 + K − γK, 35 000 − γK)
Např. pokud je γ = 0,1 a spotřebitel si zvolí K = 10 000,
jeho spotřeba bude (cb, cg ) = (34 000, 34 000).
Když substitucí z rovnic
cb = 25 000 + K − γK
cg = 35 000 − γK
odstraníme K, získáme linii rozpočtu.
7 / 42
Příklad – pojištění (pokračování)
Linie rozpočtu (BL): cg = 35 000 +
γ
(1 − γ)
25 000
průsečík se svislou křivkou
−
γ
(1 − γ)
sklon BL
cb.
8 / 42
Příklad – pojištění (pokračování)
Jaké pojištění si spotřebitel zvolí? To záleží na jeho preferencích.
Např. vztahu spotřebitele k riziku:
• Pokud je konzervativní, zvolí si vysoké pojistné krytí.
• Pokud má rád riziko, nemusí si třeba koupit žádné pojištění.
Než budeme pokračovat v příkladu s pojištěním, ukážeme si
• jak preference za nejistoty reprezentujeme užitkovou funkcí,
• jaké mají tyto užitkové funkce vlastnosti,
• jak pomocí užitkové funkce reprezentujeme vztah k riziku.
9 / 42
Reprezentace preferencí pomocí užitkové funkce
Preference mezi spotřebou v různých výsledných stavech budou
záviset na pravděpodobnostech, že tyto stavy nastanou.
Např. pravděpodobnost nehody π ovlivní moji mezní míru substituce
spotřeby v obou výsledných stavech. Čím větší je π, tím víc cg jsem
ochotný obětovat za dodatečnou jednotku cb (dražší pojištění).
Obecný tvar užitkové funkce, pomocí které můžeme reprezentovat
preference pro spotřební plán se dvěma výslednými stavy, je
u(c1, c2, π1, π2),
kde
• c1 a c2 je spotřeba ve stavech 1 a 2,
• π1 a π2 jsou pravděpodobnosti, že nastanou stavy 1 a 2.
10 / 42
Příklady užitkových funkcí
• Dokonalé substituty:
u(c1, c2, π1, π2) = π1c1 + π2c2.
π1c1 + π2c2 je očekávaná hodnota dané události.
• Cobb-Douglasova užitková funkce:
u(c1, c2, π1, π2) = cπ1
1 cπ2
2 .
Někdy může být užitečné použít následující monotónní
transformaci této užitkové funkce:
ln u(c1, c2, π1, π2) = π1 ln c1 + π2 ln c2.
11 / 42
Von Neumann-Morgensternova užitková funkce
Von Neumann-Morgensternova užitková funkce má tvar
u(c1, c2, π1, π2) = π1v(c1) + π2v(c2),
kde v(c1) a v(c2) jsou funkce užitku v jednotlivých stavech.
V příkladech užitkových funkcí na předchozím slajdu:
• u dokonalých substitutů v(c) = c,
• u Cobb-Douglasovy užitkové funkce v(c) = ln c.
Tato funkce se také nazývá funkce očekávaného užitku –
u(c1, c2, π1, π2) se rovná očekávanému užitku spotřeby
v jednotlivých stavech π1v(c1) + π2v(c2).
12 / 42
Pozitivní afinní transformace
Spotřebitelské preference reprezentovány funkcí očekávaného užitku
= užitková funkce má aditivní formu (součet).
Libovolná monotónní transformace funkce očekávaného užitku
popisuje stejné preference, ale nemusí mít aditivní tvar.
Např. funkce π1 ln c1 + π2 ln c2 a cπ1
1 cπ2
2 popisují stejné
Cobb-Douglasovy preference, ale cπ1
1 cπ2
2 nemá aditivní formu.
Pozitivní afinní transformace t(u) – typ monotónní transformace,
který zachovává aditivní formu užitkové funkce:
t(u) = au + b kde a > 0.
Pozitivní afinní transformace znamená vynásobení původního užitku
konstantou a nebo přičtení konstanty b.
13 / 42
Proč je funkce očekávaného užitku rozumná?
Mějme náhodnou událost se 3 výslednými stavy:
• s pravděpodobností πv můj dům příští rok vyhoří – spotřeba cv ,
• s pravděpodobností πn můj dům příští rok nevyhoří – spotřeba cn,
• s pravděpodobností πp tento rok svůj dům prodám – spotřeba cp.
Za nejistoty může nastat jen jeden výsledný stav náhodné události.
=⇒ Je zde přirozená nezávislost mezi hodnotou jednotlivých stavů.
Např. cp neovlivňuje míru, při které jsem ochotný nahrazovat cv za cn.
Tuto nezávislost dobře reprezentuje funkce očekávaného užitku
u(cv , cn, cp, πv , πn, πp) = πv v(cv ) + πnv(cn) + πpv(cp).
MRS mezi spotřebami ve stavu v a n nezávisí na spotřebě ve stavu p:
MRSvn = −
πv
∂v(cv )
∂cv
πn
∂v(cn)
∂cn
.
14 / 42
Srovnání s rozhodováním za jistoty
Moje preference u 3 statků (čaj, káva, mléko) = (c, k, m)
mohou být reprezentovány např. užitkovou funkcí
u(c, k, m) = 2c + km.
Mezní míra substituce mezi c a k je
MRSck = −
2
m
.
MRS mezi čajem a kávou závisí na množství mléka m.
Při rozhodování za jistoty lze spotřebovávat více statků zároveň.
=⇒ Nelze a priori vyloučit některé tvary užitkové funkce.
15 / 42
DODATEK: Předpoklad nezávislosti
Abychom mohli reprezentovat preference pomocí funkce
očekávaného užitku, potřebujeme předpoklad nezávislosti.
Preferenční relace splňuje předpoklad nezávislosti, jestliže pro
všechny trojice loterií L, L a L a pro parametr α ∈ (0, 1) platí, že
L L tehdy a jen tehdy, jestliže αL+(1−α)L αL +(1−α)L .
Jinými slovy: Jestliže smícháme libovolné dvě loterie se třetí loterií,
preference mezi dvěma smíchanými loteriemi nezávisí na třetí loterii.
16 / 42
DODATEK: Příklad volby za rizika
Petr může jít na večeři do restaurace A nebo do restaurace B.
Rozlišuje tři různé kvality jídla: dobré D, průměrné P a špatné S.
Restaurace A má výborného kuchaře, který ale často nemá svůj den:
S pravděpodobností 50 % dostane D a s pravděpodobností 50 % S.
Kuchař v restauraci B není tak dobrý, ale zato podává stabilní výkony:
S pravděpodobností 90 % dostane P a s pravděpodobností 10 % S.
17 / 42
DODATEK: Příklad volby za rizika (pokračování)
Jakou restauraci si Petr vybere? To záleží na jeho preferencích.
Předpokládejme, že má takovou funkci očekávaného užitku,
že si vybere restauraci A, tedy že
0, 5v(D) + 0, 5v(S) > 0, 9v(P) + 0, 1v(S). (1)
Jak se změní jeho volba, když se dozví, že v obou restauracích mu
s pravděpodobností 50 % uvaří Zdeněk Pohlreich výborné jídlo V ?
Nijak. Tato informace zvýší užitek obou restaurací stejně.
Pokud platí (1), pak musí také platit, že
1
2
v(V )+
1
2
0, 5v(D)+0, 5v(S) >
1
2
v(V )+
1
2
0, 9v(P)+0, 1v(S) .
Předpoklad nezávislosti říká, že pokud budou navíc obě restaurace
vařit V se stejnou pravděpodobností, Petrova volba se nezmění.
18 / 42
EXPERIMENT: Televizní soutěž
Představte si, že jste dva týdny po sobě vyhráli televizní soutěž a po
každé výhře jste dostali na výběr mezi dvěma různými loteriemi:
1. týden:
1 100 % – 500 000 Kč
2 1 % – 0 Kč
10 % – 2 500 000 Kč
89 % – 500 000 Kč
2. týden:
1 11 % – 500 000 Kč
89 % – 0 Kč
2 10 % – 2 500 000 Kč
90 % – 0 Kč
19 / 42
EXPERIMENT: Televizní soutěž – Allais paradox
Z předpokladu nezávislosti vyplývá, že byste si měli v obou týdnech
vybrat stejně, buď 1 nebo 2 .
Pravděpodobnosti
1/100 10/100 89/100
1. týden
1 500 000 500 000 500 000
2 0 2 500 000 500 000
2. týden
1 500 000 500 000 0
2 0 2500 000 0
U obou týdnů jsou volby 1 i 2 u prvních dvou sloupců shodné.
Přimícháním třetí loterie 0,89×500 000 nebo 0,89×0 vzniknou
původní volby. Z předpokladu nezávislosti plyne, že se nezmění
preference mezi 1 a 2 .
20 / 42
Vztah k riziku
Spotřebitel, který má majetek v hodnotě 10 $,
• s pravděpodobností 50 % vyhraje 5 $,
• s pravděpodobností 50 % prohraje 5 $.
Jeho majetek má
• očekávanou hodnotu EV = 0,5 × 5 + 0,5 × 15 = 10.
• očekávaný užitek EU = 0,5 × u(5) + 0,5 × u(15).
Spotřebitel
• je rizikově averzní, pokud u(EV ) > EU – konkávní tvar u(c),
• vyhledává riziko, pokud u(EV ) < EU – konvexní tvar u(c),
• je rizikově neutrální, pokud u(EV ) = EU – lineární tvar u(c).
21 / 42
Averze k riziku
Konkávní tvar užitkové funkce =⇒ u(EV ) > EU
22 / 42
Vyhledávání rizika
Konvexní tvar užitkové funkce =⇒ u(EV ) < EU
23 / 42
Vztah k riziku – konkrétní užitkové funkce
Spotřebitel, který má majetek v hodnotě 10 $,
• s pravděpodobností 50 % vyhraje 5 $,
• s pravděpodobností 50 % prohraje 5 $.
Jaký je vztah spotřebitele k riziku pro následující užitkové funkce?
• Užitková funkce u(c) =
√
c:
u(EV ) =
√
EV =
√
10 = 3,16.
EU = 0,5 ×
√
5 + 0,5 ×
√
15 = 3,05.
u(EV ) > EU =⇒ Spotřebitel je rizikově averzní.
• Užitková funkce u(c) = c2
:
u(EV ) = EV 2
= 102
= 100.
EU = 0,5 × 52
+ 0,5 × 152
= 125.
u(EV ) < EU =⇒ Spotřebitel vyhledává riziko.
24 / 42
Příklad: pojištění
Zadání:
Spotřeba ve špatném stavu: cb = 25 000 + K − γK = 25 000 + 0,9K
Spotřeba v dobrém stavu: cg = 35 000 − γK = 35 000 − 0,1K
Užitková funkce: u(cb, cg , πb, πg ) = 0,1 ln cb + 0,9 ln cg
Jaké bude optimální pojistné plnění K?
Z rovnice cg si vyjádříme K:
K = (35 000 − cg )/0,1 = 350 000 − cg /0,1
Dosadíme do rovnice cb:
cb = 25 000 + 0,9(350 000 − cg /0,1).
Linie rozpočtu je
cb + 9cg = 340 000.
25 / 42
Příklad: pojištění
Hledáme spotřební koš, kde MRS = sklon linie rozpočtu:
−
∂u
∂cb
∂u
∂cg
= −
γ
1 − γ
nebo −
∂u
∂cb
∂u
∂cg
= −
pb
pg
−
0,1cg
0,9cb
= −
0,1
0,9
cb = cg .
Dosazením do rozpočtového omezení dostaneme:
cg + 9cg = 340 000
cg = 34 000.
Optimální pojistné plnění bude
K = (35 000 − cg )/0,1 = 10 000 $.
26 / 42
Princip optimalizace a rovnováhy
Až doposud jsme se zabývali optimalizací spotřebitele:
Lidé si volí nejlepší spotřební koš, který si mohou dovolit.
V další části kurzu se budeme zabývat optimalizací firem:
Firmy si volí takovou kombinaci výrobních faktorů, při které
maximalizují zisk.
Rovnováha je situace na trhu, kdy je optimální chování spotřebitelů
a firem na trhu ve vzájemném souladu.
27 / 42
Rovnováha - předpoklady
Máme určitý počet spotřebitelů.
Tržní poptávka D(p) = součet poptávek
těchto spotřebitelů.
Máme určitý počet nezávislých firem.
Tržní nabídka S(p) = součet nabídek
jednotlivých firem.
Dokonale konkurenční trh – každý
subjekt bere ceny jako dané. Tržní cena
je nezávislá na volbě jednoho subjektu,
ale je determinována volbami všech
těchto subjektů dohromady.
28 / 42
Rovnováha
V rovnováze platí pro
• poptávku D(p) a nabídku S(p), že D(p) = S(p) = q∗
.
• inverzní poptávku PD(q) a nabídku PS (q), že PD(q∗
) = PS (q∗
).
29 / 42
Příklady rovnováhy – vertikální a horizontální nabídka
Vertikální nabídka – množství určené nabídkou, cena poptávkou.
Horizontální nabídka – množství určené poptávkou, cena nabídkou.
30 / 42
Příklady rovnováhy – lineární křivky
Lineární poptávková a nabídková křivka:
D(p) = a − bp
S(p) = c + dp
V rovnováze se musí poptávané a nabízené množství rovnat:
D(p) = a − bp∗
= c + dp∗
= S(p)
Z tohoto vztahu vypočítáme rovnovážnou cenu:
p∗
=
a − c
b + d
A dosazením této ceny do poptávkové nebo nabídkové funkce získáme
rovnovážné množství
q∗
=
ad + bc
b + d
.
31 / 42
Daně
Pokud je na trhu daň, vznikají dvě ceny:
• Poptávková cena pD – cena, kterou musí zaplatit poptávající.
• Nabídková cena pS – cena, kterou dostane nabízející.
Rozdíl mezi těmito cenami se v rovnováze
rovná velikosti daně.
Množstevní daň: pD = pS + t.
Daň ad valorem: pD = (1 + τ)pS .
32 / 42
Příklad – množstevní daň
V rovnováze musí platit, že q∗
= D(pD) = S(pS ) a pS = pD − t.
33 / 42
Příklad – množstevní daň (pokračování)
Můžeme také využít inverzních nabídkových a poptávkových křivek.
Při rovnovážném množství q∗
musí platit, že
pS (q∗
) = pD(q∗
) − t (graf A) nebo pD(q∗
) = pS (q∗
) + t (graf B).
34 / 42
Příklad – množstevní daň u lineárních křivek
Máme lineární poptávkovou a nabídkovou křivku. Rovnováha je
určena rovnicemi
a − bp∗
D = c + dp∗
S
p∗
D = p∗
S + t.
Řešením dvou rovnic o dvou neznámých vypočítáme nabídkovou
a poptávkovou rovnovážnou cenu:
p∗
S =
a − c − bt
b + d
a p∗
D =
a − c + dt
b + d
.
Rozdíl mezi rovnovážnou cenou bez daně p∗
= (a − c)/(b + d)
a p∗
S je bt/(b + d), závisí tedy na velikosti daně t a na sklonech
nabídkové a poptávkové křivky.
Podobně rozdíl mezi p∗
a p∗
D je dt/(b + d), závisí tedy na velikosti
daně t a na sklonech nabídkové a poptávkové křivky.
35 / 42
Přenášení daňového zatížení
Horizontální nabídka (d = ∞) – celé zatížení nesou poptávající:
p∗
S = p∗
a p∗
D = p∗
+ t.
Vertikální nabídka (d = 0) – celé daňové zatížení nesou nabízející:
p∗
S = p∗
− t a p∗
D = p∗
.
36 / 42
Přenášení daňového zatížení
Plochá nabídka – většinu daňového zatížení nesou poptávající.
Strmá nabídka – většinu daňového zatížení nesou nabízející.
37 / 42
Ztráta mrtvé váhy
Ztráta mrtvé váhy z daně – čistá ztráta v přebytku spotřebitelů
a výrobců kvůli poklesu množství produkce (oblast B + D v grafu).
38 / 42
Paretovská efektivnost
Situace je Pareto efektivní, pokud neexistuje žádný způsob,
jak by si mohl někdo polepšit, aniž při tom byl někdo jiný poškozen.
Dokonale konkurenční trh je Pareto efektivní při množství q∗
.
39 / 42
APLIKACE: Čekání ve frontě
Povede fronta na lístky na fotbal k jejich Pareto efektivní alokaci?
Může být ochotný někdo, kdo vystál frontu, prodat lístky někomu,
kdo frontu nevystál?
Ano. Ochota čekat a ochota platit se v populaci liší.
Navíc čekání je forma ztráty mrtvé váhy – na rozdíl od peněžní platby
je to náklad, ze kterého nemá nikdo prospěch.
40 / 42
Shrnutí
• Pro zkoumání rozhodování za nejistoty
můžeme použít analytické nástroje teorie
spotřebitelské volby.
• Funkce očekávaného užitku má tvar
u(c1, c2, π1, π2) = π1v(c1) + π2v(c2).
• Tato funkce může reprezentovat preference
spotřebitele, jen když platí předpoklad
nezávislosti.
• Zakřivení užitkové funkce odráží postoj
spotřebitele k riziku.
• Finanční instituce (jako akciový trh
a pojišťovny) umožňují diverzifikaci
a rozložení rizika.
41 / 42
Shrnutí (pokračování)
• Při rovnovážné ceně se na trhu poptávané
množství rovná nabízenému množství.
• Rozdíl mezi poptávkovou a nabídkovou cenou
představuje velikost daně.
• Relativní strmost nabídkové a poptávkové
křivky určuje, jakou část daňové zátěže nesou
poptávající a jakou nabízející.
• Ztráta mrtvé váhy je čistá ztráta v přebytku
výrobců a v přebytku spotřebitelů.
• Pareto efektivní je situace, kdy neexistuje žádný
způsob, jak by si mohl někdo polepšit, aniž by
nikdo jiný neutrpěl ztrátu.
42 / 42