NEJISTOTA A ROVNOVÁHA – řešené příklady
Nejistota
1. Spotřebitel má bohatství ve výši w = 100 Kč. Pokud
dojde k nepříznivé události, ztratí 20 Kč, pokud
dojde k příznivé události, nezíská nic. K nepříznivé
události dojde s pravděpodobností π =
0,2. Spotřebitel může uzavřít pojištění, podle kterého
mu v případě nepříznivé události pojišťovna
vyplatí částku K, pokud zaplatí pojistné 0,2K.
Spotřebitel má von Neumann-Morgensternovu
užitkovou funkci u = π
√
cb + (1 − π)
√
cg, kde cb
je jeho spotřeba v případě nepříznivé události a
cg v případě příznivé události. Jak velké pojistné
plnění K si spotřebitel zvolí?
Řešení 1
Spotřebitel si volbou pojistného plnění vybírá
jeden z následujících podmíněných spotřebních
plánů
• cb = 80 + K − 0,2K s pravděpod. 20 %.
• cg = 100 − 0,2K s pravděpodobností 80 %.
Substitucí odvodíme linii rozpočtu. Např. si
můžeme z rovnice cb = 80 + K − 0,2K vyjádřit
K =
cb − 80
0,8
(1)
a dosadit tento výraz do druhé rovnice
cg = 100 − 0,2
cb − 80
0,8
cg = 120 −
1
4
cb. (2)
Linii rozpočtu (2) můžeme také napsat jako
1
4
cb + cg = 120.
Spotřebitel má monotónní preference, protože
větší spotřeba ve výsledném stavu cb i ve výsledném
stavu cg mu přináší větší užitek. Vybere si
takový spotřební plán podél své linie rozpočtu,
který mu přináší maximální užitek. Budeme řešit
maximalizační úlohu
max
cb,cg
u = 0,2
√
cb + 0,8
√
cg
při omezení
1
4
cb + cg = 120.
Tuto úlohu můžeme řešit např. tak, že dosadíme
výraz pro cb z linie rozpočtu do užitkové funkce.
Tím získáme neomezenou optimalizační úlohu
max
cb
v =
2
10
√
cb +
8
10
120 −
1
4
cb
Extrém funkce najdeme tak, že první derivaci
užitkové funkce položíme rovnou nule, tedy
dv
dcb
=
1
10 c∗
b
−
1
10 120 − 1
4 c∗
b
= 0.
120 −
1
4
c∗
b = c∗
b
120 −
1
4
c∗
b = c∗
b
85c∗
b = 1 920
c∗
b = 96.
Tento výsledek je maximum funkce, protože je
užitková funkce konkávní, tedy druhá derivace
funkce je záporná:
d2
v
dc2
b
= −
1
20c∗
b
3
2
−
1
80 120 − 1
4 c∗
b
3
2
< 0.
Velikost spotřeby v příznivém stavu získáme dosazením
do rovnice (2)
c∗
g = 120 −
1
4
c∗
b = 96.
Velikost zvoleného pojistného plnění získáme dosazením
do rovnice (1)
K =
96 − 80
0, 8
= 20.
Řešení 2
Pokud jsou indiferenční křivky hladké a konvexní
a je zaručeno vnitřní řešení, bude pro optimum
spotřebitele platit, že sklon indiferenční křivky se
rovná sklonu linie rozpočtu:
MRS(c∗
b , c∗
g) = −
pb
pg
−
0,1 c∗
g
0,4 c∗
b
= −
1
4
c∗
g = c∗
b .
Dosadíme do linie rozpočtu
0,25c∗
b + c∗
b = 120
c∗
b = 96.
Velikost spotřeby v příznivém stavu získáme dosazením
do rovnice (2)
c∗
g = 120 −
1
4
c∗
b = 96.
Velikost zvoleného pojistného plnění získáme
např. dosazením do rovnice (1)
K∗
=
c∗
b − 80
0, 8
= 20.
2. Spotřebitel má bohatství ve výši w = 100 Kč.
Může si koupit za 20 Kč loterii, ve které
může vyhrát 1 000 Kč. Pravděpodobnost výhry
je π = 0,01. Spotřebitel má von NeumannMorgensternovu
užitkovou funkci a jeho funkce
užitku ze spotřeby v každém výsledném stavu
je u(x) = x2
. Koupí si spotřebitel tuto loterii?
Koupil by si ji, kdyby byl rizikově neutrální?
Co můžeme říct o vztahu spotřebitele k riziku
při užitku ze spotřeby ve výsledném stavu
u(x) = x2
?
Řešení
Aby si spotřebitel tuto loterii koupil, musel by
být jeho očekávaný užitek z loterie vyšší než očekávaný
užitek z bohatství bez loterie. Tedy muselo
by platit, že
0,01u(cg) + 0,99u(cb) > u(w),
kde cg je spotřeba, když spotřebitel vyhraje, a cb
spotřeba, když nevyhraje.
Po dosazení hodnot ze zadání dostaneme
0,01 × 1 0802
+ 0, 99 × 802
> 1002
18 000 > 10 000.
Spotřebitel si tuto loterii zakoupí.
Pokud by tento spotřebitel byl rizikově neutrální,
jeho očekávaný užitek z loterie by byl
0,01u(cg) + 0, 99u(cb) =
= 0,01cg + 0, 99cb = 10 + 79,2 = 90.
Jeho očekávaný užitek z loterie je nižší než užitek
z bohatství u(w) = w = 100. Rizikově neutrální
spotřebitel by si tuto loterii nekoupil.
Při užitku ze spotřeby ve výsledném stavu u(x) =
x2
spotřebitel vyhledává riziko.
Rovnováha
3. Poptávka na trhu s alkoholem je qD = a − 2pD
a nabídka na tomto trhu je qS = c+18pS. Předpokládejte,
že vláda uvalí novou daň ve výši 50 Kč
na litr alkoholu. Kolik korun z daně uvalené na
litr alkoholu zaplatí poptávající a kolik nabíze-
jící?
Řešení
V rovnováze se poptávané množství rovná nabízenému
množství:
q∗
D = q∗
S
a − 2p∗
D = c + 18p∗
S.
Pokud není statek x zdaněný, bude se poptávková
a nabídková cena rovnat, tedy p∗
D = p∗
S = p∗
.
Rovnovážnou cenu můžeme tedy vypočítat takto:
a − 2p∗
= c + 18p∗
p∗
=
a − c
20
.
Pokud je na statek x uvalena množstevní daň ve
výši t, bude v rovnováze platit, že
p∗
D = p∗
S + t
p∗
D = p∗
S + 50. (3)
Řešíme tedy dvě rovnice o dvou neznámých
a − 2p∗
D = c + 18p∗
S
p∗
D = p∗
S + 50.
Substitucí najdeme nabídkovou cenu
a − 2(p∗
S + 50) = c + 18p∗
S
p∗
S =
a − c
20
− 5.
Nabízející zaplatí z daně uvalené na litr alkoholu
rozdíl mezi původní rovnovážnou cenou p∗
a rovnovážnou
nabídkovou cenou p∗
S, tedy
p∗
− p∗
S = 5.
Poptávkovou cenu vypočítáme z rovnice (3)
p∗
D =
a − c
20
− 5 + 50
p∗
D =
a − c
20
+ 45.
Poptávající zaplatí z daně uvalené na litr alkoholu
rozdíl mezi rovnovážnou poptávkovou cenou
p∗
D a původní rovnovážnou cenou p∗
, tedy
p∗
D − p∗
= 45.
4. Poptávka po statku x je q = 100 − p a nabídka
statku x je q = 10+0,5p, kde q je množství a p je
cena. Vláda stanovila cenu statku x na ¯p = 50.
Aby vláda předešla nedostatku, rozhodla se, že
zaplatí nabízejícím takovou množstevní dotaci s,
aby byl trh v rovnováze. Jak velká bude tato do-
tace?
Řešení
Dotace musí být tak vysoká, aby se poptávané
množství statku x při ceně ¯p rovnalo nabízenému
množství při ceně ¯p a dotaci s. Musí tedy platit,
že
100 − ¯p = 10 + 0,5(¯p + s)
100 − 50 = 35 + 0,5s
s = 30.
Při množstevní dotaci s = 30 bude trh s regulovanou
cenou ¯p = 50 v rovnováze.