Technologie a maximalizace zisku
Varian: Mikroekonomie: moderní přístup, kapitoly 17 a 18
Varian: Intermediate Microeconomics, 8e, Chapters 18 and 19
1 / 41
Teorie firmy a tržní struktury
Firmy maximalizují zisk.
Výsledky interakce firem
maximalizujících zisk závisí na
• struktuře trhu a
• vlastnostech produktu.
Příštích pět témat:
• Technologie a maximalizace zisku
• Náklady
• Dokonalá konkurence
• Monopol a monopolní chování
• Oligopol
2 / 41
Na této přednášce se dozvíte
• co jsou to technologická omezení firmy,
• co je to izokvanta a technická míra substituce,
• jaký je rozdíl mezi krátkým a dlouhým obdobím,
• co je to zisk,
• co víme o dokonale konkurenčních trzích,
kde firmy maximalizují zisk,
• co je to projevená ziskovost.
3 / 41
Produkce
Produkce – proces, který přeměňuje vstupy na výstupy.
Příklady produkce:
• dělníci vyrobí auto
• právník sepíše smlouvu
• doktor vyšetří pacienta
• Woody Allen řekne vtip
• . . .
4 / 41
Vstupy
Výrobní faktory – vstupy do výroby:
• práce
• půda (suroviny)
• kapitál
Kapitálové statky – vyrobené statky (kombinace práce a půdy)
5 / 41
Technologická omezení
Produkční plán je určitá kombinace vstupů a výstupů.
Technologická omezení – jen některé ze všech možných produkčních
plánů jsou technologicky přijatelné (feasible).
Obvykle existuje několik přijatelných produkčních plánů.
6 / 41
Popis technologických omezení
Produkční množina (= technologie) – množina všech přijatelných
produkčních plánů.
Produkční funkce – maximální objem produkce pro dané vstupy.
7 / 41
Popis technologických omezení - dva vstupy
Produkční funkce y = f (x1, x2) měří maximální objem produkce y,
který vznikne kombinací x1 jednotek vstupu 1 a x2 jednotek vstupu 2.
Izokvanta – množina všech možných kombinací vstupů 1 a 2,
které právě dostačují k vyrobení určitého množství výstupu.
Izokvanty jsou podobné jako indiferenční křivky, ale číselná hodnota
u izokvanty má konkrétní význam – označuje množství výstupu.
=⇒ Množství produkce nemůžeme transformovat jako užitky.
8 / 41
Příklad – rozdíl mezi užitkovou a produkční funkcí
Užitková funkce – dva spotřebitelé:
• spotřebitel 1 – U1(x1, x2) = x1 + x2
• spotřebitel 2 – U2(x1, x2) = (x1 + x2)2
Oba spotřebitelé mají stejný tvar IC a stejné preference =⇒
Při stejném rozpočtovém omezení si vyberou stejný spotřební koš.
Produkční funkce – dvě firmy:
• firma 1 – f1(x1, x2) = x1 + x2
• firma 2 – f2(x1, x2) = (x1 + x2)2
Firmy mají stejný tvar izokvant ale budou mít jinou technologii.
Při stejných vstupech vyrobí jiné množství produktu (při x1 + x2 = 1).
9 / 41
Příklady technologií – dokonalé substituty
Výkup lahví v maloobchodním řetězci – člověk a stroj na výkup lahví.
Produkční funkce – f (x1, x2) = x1 + x2.
10 / 41
Příklady technologií – pevné proporce
Prodej zmrzliny - každý zmrzlinář potřebuje jeden zmrzlinový stroj.
Produkční funkce – f (x1, x2) = min{x1, x2}.
11 / 41
Příklady technologií – Cobb-Douglasova produkční funkce
Cobb-Douglasova produkční funkce – f (x1, x2) = Axc
1 xd
2 , kde
• parametr A určuje rozsah produkce,
• parametry c a d měří vliv změny vstupů na velikost výstupu.
Cobb-Douglasovu užitkovou funkci je možné monotónně
transformovat – měli jsme A = 1 a obvykle c + d = 1.
12 / 41
Vlastnosti technologií
Monotónnost – pokud zvýšíme alespoň jeden vstup, výstup by měl
být alespoň tak velký jako doposud (izokvanta nesmí růst.)
Volná dispozice – firma se může zbavit přebytečných vstupů zdarma
=⇒ zvýšení vstupů jí nemůže uškodit.
Konvexnost – pokud máme dvě kombinace vstupů (x1, x2) a (z1, z2),
které vyrobí stejné množství výstupu y, pak pro všechna 0 ≤ t ≤ 1
i vstupy (tx1 + (1 − t)z1, tx2 + (1 − t)z2) vyrobí alespoň výstup y.
Konvexnost je přirozený předpoklad – příklad:
Dvě technologie f (x1, x2) kombinující různá množství vstupů x1 a x2:
• fA(sa1, sa2) = s, kde s > 0 – např. fA(100a1, 100a2) = 100.
• fB(tb1, tb2) = t, kde t > 0 – např. fB(100b1, 100b2) = 100.
Možné kombinovat obě technologie: fAB(sa1 + tb1, sa2 + tb2) = s + t.
13 / 41
Vlastnosti technologií (pokračování)
100 jednotek výstupu lze vyrobit např. s těmito množstvími vstupů:
(100a1, 100a2), (100b1, 100b2) nebo (25a1 + 75b1, 25a2 + 75b2).
14 / 41
Mezní produkt
Mezní produkt faktoru 1 (MP1) – o kolik se zvýší celkový produkt,
když zvýšíme x1 o jednotku a x2 zůstane stejný:
MP1(x1, x2) =
∂f (x1, x2)
∂x1
MP je podobný jako MU, ale hodnota MP má konkrétní význam.
15 / 41
Technická míra substituce
Technická míra substituce (TRS) – o kolik můžeme snížit x2,
pokud x1 vzrostlo o jednotku a chceme zachovat stejný výstup?
Někdy také mezní míra technické substituce (MRTS).
TRS = sklon izokvanty (podobně jako MRS = sklon IC)
Pro změny faktorů ∆x1 a ∆x2 musí platit, že
∆y = MP1(x1, x2)∆x1 + MP2(x1, x2)∆x2 = 0.
Úpravou této rovnice získáme
TRS(x1, x2) =
∆x2
∆x1
= −
MP1(x1, x2)
MP2(x1, x2)
.
16 / 41
Snižující se mezní produkt
Snižující se MP (zákon klesajících výnosů):
Když roste množství jednoho vstupu (nad určitou hodnotou)
a ostatní vstupy se nemění, mezní produkt tohoto vstupu klesá.
Příklad:
Jeden zahrádkář na malé zahrádce vypěstuje 100 mrkví.
Druhý zahrádkář by zvýšil celkový produkt na 150 mrkví.
Mezní produkt pracovníka by klesl ze 100 na 50 mrkví.
Při velkém množství zahrádkářů
by mohl dodatečný zahrádkář
způsobit i pokles produkce.
K poklesu nemůže dojít, pokud
předpokládáme monotónnost
(volnou dispozici).
17 / 41
Snižující se technická míra substituce
Snižující se TRS – při posunu podél izokvanty doprava dolů
absolutní hodnota TRS klesá (konvexní izokvanty).
Je snižující se MP a snižující se TRS to samé?
Ne, ale podobná logika v pozadí:
• snižující se MP – s růstem x1 klesá MP1, když x2 je konstantní
• snižující se TRS – s růstem x1 podél izokvanty roste dodatečné
množství vstupu 1 potřebné k nahrazení jedné jednotky vstupu 2.
18 / 41
Krátké a dlouhé období
Krátké období (SR) – nemůžeme měnit množství alespoň u jednoho
výrobního faktoru = alespoň jeden výrobní faktor je fixní.
Fixní množství půdy, výrobní plochy továrny, fixní počet strojů, . . .
Dlouhé období (LR) – můžeme měnit množství všech výrobních
faktorů = všechny výrobní faktory jsou variabilní.
Jak dlouhé je krátké období? Nevíme, záleží
na konkrétní situaci.
19 / 41
Produkční funkce v SR
Produkční funkce v krátkém období je f (x1, ¯x2),
kde vstup 1 je variabilní a vstup 2 je fixní.
Funkce na obrázku má snižující se mezní produkt.
Pro nízké x1 by mohl MP1 růst (funkce by měla tvar S).
20 / 41
Produkční funkce v LR – výnosy z rozsahu
Kolikrát se zvýší výstup, když zvýšíme všechny vstupy tkrát (t > 1)?
Tři možnosti – produkční funkce f (x1, x2) má
• konstantní výnosy z rozsahu, pokud f (tx1, tx2) = tf (x1, x2),
• rostoucí výnosy z rozsahu, pokud f (tx1, tx2) > tf (x1, x2),
• klesající výnosy z rozsahu, pokud f (tx1, tx2) < tf (x1, x2).
Příklady:
• konstantní – replikace původní výroby, . . .
• rostoucí – továrna na špendlíky, aerolinky, výroba letadel, . . .
• klesající – obtížné („organizace se nemění ve stejné proporci).
Výnosy z rozsahu mohou být různé při různých výstupech.
Např. při nízké výrobě rostoucí a při vysoké výrobě klesající.
21 / 41
Příklady – výnosy z rozsahu konkrétních produkčních funkcí
1) Jaké výnosy z rozsahu má produkční funkce f (x1, x2) = x
1/2
1 x
3/4
2 ?
Nejdřív vynásobíme množství obou vstupů t > 1:
f (tx1, tx2) = (tx1)1/2
(tx2)3/4
= t5/4
x
1/2
1 x
3/4
2 = t5/4
f (x1, x2)
Rostoucí, protože f (tx1, tx2) > tf (x1, x2).
2) Jaké výnosy z rozsahu má produkční funkce f (x1, x2) = min{x1, x2}?
Když vynásobíme množství obou vstupů t > 1, dostaneme
f (tx1, tx2) = min{tx1, tx2} = t · min{x1, x2} = t · f (x1, x2).
Konstantní, protože f (tx1, tx2) = tf (x1, x2).
22 / 41
PŘÍKLAD: Datová centra
Internetové společnosti jako Google, Yahoo, Microsoft nebo Amazon
mají po světě tisíce datových center.
Datové centrum se sestává z polic, na kterých jsou počítače. Výkon
se zvyšuje přidáním polic s počítači – konstantní výnosy z rozsahu.
23 / 41
PŘÍKLAD: Copy Exactly!
Intel provozuje desítky provozů, které vyrábí a testují počítačové čipy.
Výroba čipu je delikátní proces – pro Intel je složité kontrolovat kvalitu
v rozmanitém prostředí. Proto Intel přijal filosofii „Copy Exactly!
Každý provoz je stejný – konstantní výnosy z rozsahu.
24 / 41
Maximalizace zisku
Firma si volí přijatelný produkční plán, při kterém maximalizuje zisk.
Předpokládáme dokonale konkurenční trhy VF a produkce:
Firma nemůže ovlivnit ceny, za které nakupuje výrobní faktory,
a za které prodává své výrobky.
Zisk π je rozdíl mezi příjmy a náklady firmy.
Pokud firma prodává n produktů (y1, . . . , yn) za ceny (p1, . . . , pn)
a nakupuje m vstupů (x1, . . . , xm) za ceny (w1, . . . , wm), její zisk je
π =
n
i=1
pi yi −
m
i=1
wi xi .
25 / 41
Ekonomický zisk
Do nákladů patří explicitní i implicitní náklady:
• Explicitní náklady – účetní náklady
• Implicitní náklady – náklady příležitosti vstupů patřících firmě
Příklad: Když vlastník firmy pracuje ve své firmě a nevyplácí si mzdu,
nebude mít účetní náklady, ale vzniká implicitní náklad.
Dva typy zisku:
• Účetní zisk = příjmy – explicitní náklady
• Ekonomický zisk = příjmy – explicitní
náklady – implicitní náklady
Vždy budeme používat ekonomický zisk.
26 / 41
Maximalizace zisku v SR
V SR alespoň jeden faktor fixní – náklady na tento faktor firma platí,
i když vyrábí nulový výstup =⇒ v SR může být firma ve ztrátě.
Máme produkční funkci f (x1, ¯x2) – množství vstupu 2 ¯x2 je fixní,
p je cena výstupu, w1 a w2 jsou ceny vstupů.
Firma hledá takové množství vstupu 1, aby maximalizovala zisk:
max
x1
π = pf (x1, ¯x2) − w1x1 − w2 ¯x2.
Z podmínky prvního řádu vyplývá, že
pMP1(x∗
1 , ¯x2) = w1.
Firma maximalizuje zisk, když se hodnota mezního produktu všech
variabilních vstupů rovná jejim cenám.
27 / 41
Maximalizace zisku v SR (pokračování)
Izoziskové křivky – kombinace x a y přinášející konstantní zisk π:
π = py − w1x1 − w2 ¯x2 ⇐⇒ y =
π
p
+
w2 ¯x2
p
+
w1
p
x1.
28 / 41
Komparativní statika
Když zvýšíme cenu vstupu w1, optimální x1 se sníží (obr. A).
Když zvýšíme cenu výstupu p, optimální x1 se zvýší (obr. B).
29 / 41
Příklad maximalizace zisku v SR
Produkční funkce je f (x1, x2) = x
1/2
1 x
1/2
2 , faktor 2 je fixní ¯x2 = 16
a ceny jsou (p, w1, w2) = (40, 10, 20). Jaké je optimální množství
faktoru 1 x∗
1 a zisk firmy π∗
?
Dosadíme ¯x2 do produkční funkce firmy a získáme krátkodobou
produkční funkci f (x1, 16) = 4x
1/2
1 .
Zisková funkce firmy je π = pf (x1, 16) − w1x1 − w2 ¯x2.
Derivací této funkce podle x1 získáme podmínku prvního řádu
p · MP1(x∗
1 , 16) = w1
x∗
1 = 64.
Zisk firmy je π∗
= pf (x∗
1 , 16) − w1x∗
1 − w2 ¯x2 = 320.
30 / 41
Maximalizace zisku v LR
V LR jsou všechny faktory variabilní =⇒ firma nemůže být ve ztrátě.
Firma hledá takové množství vstupu 1 a 2, aby maximalizovala zisk:
max
x1,x2
π = pf (x1, x2) − w1x1 − w2x2.
Z podmínky prvního řádu vyplývá, že
pMP1(x∗
1 , x∗
2 ) = w1
pMP2(x∗
1 , x∗
2 ) = w2.
Firma maximalizuje zisk, když se hodnota mezního produktu všech
vstupů rovná jejim cenám.
31 / 41
Poptávka po faktoru
Poptávka po faktoru 1 – jaké množství faktoru x∗
1 nakoupím
při daných cenách p, w1 a w2.
Inverzní poptávka po faktoru 1 je w1 = pMP1(x1, x∗
2 ). Pokud je
MP1(x1, x∗
2 ) klesající, bude i křivka inverzní poptávky klesající.
32 / 41
Projevená ziskovost
Firma maximalizující zisk ukazuje, že jí zvolená kombinace vstupů
a výstupů je přijatelný produkční plán, který alespoň tak ziskový
jako jiné přijatelné produkční plány.
33 / 41
Projevená ziskovost – příklad
Dva různé výběry při různých cenových úrovních:
• při cenách v čase t (pt
, wt
1, wt
2) firma zvolí (yt
, xt
1, xt
2),
• při cenách v čase s (ps
, ws
1 , ws
2 ) firma zvolí (ys
, xs
1 , xs
2 ).
Slabý axiom maximalizace zisku (WAPM): Jestliže firma
maximalizuje zisk a mezi časem t a s se nezmění její produkční
funkce, pak musí platit následující nerovnice:
pt
yt
− wt
1xt
1 − wt
2xt
2 ≥ pt
ys
− wt
1xs
1 − wt
2xs
2 (1)
ps
ys
− ws
1 xs
1 − ws
2 xs
2 ≥ ps
yt
− ws
1 xt
1 − ws
2 xt
2 (2)
34 / 41
Projevená ziskovost – příklad (pokračování)
Nerovnice (1) a (2) můžeme upravit následujícím způsobem:
Když nerovnici (2) vynásobíme −1 (a přehodíme strany), dostaneme
pt
yt
− wt
1xt
1 − wt
2xt
2 ≥ pt
ys
− wt
1xs
1 − wt
2xs
2
−ps
yt
+ ws
1 xt
1 + ws
2 xt
2 ≥ −ps
ys
+ ws
1 xs
1 + ws
2 xs
2 .
Pokud platí tyto nerovnice, musí i pro součty obou stran platit, že
(pt
− ps
)yt
− (wt
1 − ws
1 )xt
1 − (wt
2 − ws
2 )xt
2
≥ (pt
− ps
)ys
− (wt
1 − ws
1 )xs
1 − (wt
2 − ws
2 )xs
2 .
Pokud u této nerovnice převedeme pravou stranu na levou stranu
a dosadíme ∆p za (pt
− ps
), ∆y za (yt
− ys
), atd., dostaneme
∆p∆y − ∆w1∆x1 − ∆w2∆x2 ≥ 0.
35 / 41
Projevená ziskovost – příklad (pokračování)
Co vyplývá z výsledku ∆p∆y − ∆w1∆x1 − ∆w2∆x2 ≥ 0?
• Pokud se změní cena p a nezmění se w1 a w2, pak platí, že
∆p∆y ≥ 0.
Nikdy neplatí, že ∆p > 0 a ∆y < 0 nebo ∆p < 0 a ∆y > 0.
=⇒ Nabídka dokonale konkurenční firmy není nikdy klesající.
• Pokud se změní cena vstupu w1 a nezmění se p a w2, pak platí, že
∆w1∆x1 ≤ 0.
Nikdy neplatí, že ∆w1 > 0 a ∆x1 > 0 nebo ∆w1 < 0 a ∆x1 < 0.
=⇒ Poptávka po faktoru konkurenční firmy není nikdy rostoucí.
36 / 41
Odhad technologie pomocí WAPM
Je WAPM dostačující pro odvození technologie z chování firem?
Ano, pokud firma maximalizuje zisk a nezměnila se její technologie,
můžeme z jejích rozhodnutí odhadnout její technologii.
Předpokládejte, že máme jeden vstup x1 a jeden výstup y. V období
• t je vybraný produkční plán (xt
1, yt
) a izozisková funkce je
πt = pt
y − wt
1x1 ⇐⇒ y = πt/pt
+ (wt
1/pt
)x1.
• s je vybraný produkční plán (xs
1 , ys
) a izozisková funkce je
πs = ps
y − ws
1 x1 ⇐⇒ y = πs/ps
+ (ws
1 /ps
)x1.
Z WAPM vyplývá, že produkční plány ležící nad izoziskovými křivkami
nejsou dostupné. Jinak by si je firma vybrala a zvýšila by tím svůj zisk.
37 / 41
Odhad technologie pomocí WAPM (pokračování)
Bílá plocha = produkční plány, které leží nad izoziskovou křivkou.
Tzn. nejsou dostupné, takže nemůžou být součástí technologie.
38 / 41
Odhad technologie pomocí WAPM (pokračování)
Čím víc pozorujeme produkčních plánů při různých cenách,
tím přesnější je odhad technologie (a produkční funkce).
39 / 41
Shrnutí
• Technologická omezení firmy můžeme
prezentovat pomocí produkční množiny
nebo pomocí izokvant.
• Předpokládáme, že izokvanty jsou konvexní
a monotónní.
• Předpokládáme, že mezní produkt klesá
s rostoucím produktem.
• Technická míra substituce měří sklon izokvanty.
• V krátkém období jsou některé vstupy fixní,
v dlouhém období jsou všechny variabilní.
• Výnosy z rozsahu říkají, jak se změní objem
produkce, pokud změníme množství vstupů
ve stejné proporci.
40 / 41
Shrnutí (pokračování)
• Zisk je rozdíl mezi příjmy a náklady.
Do nákladů počítáme i implicitní náklady.
• U firmy maximalizující zisk se hodnota
mezního produktu každého variabilního
faktoru musí rovnat jeho ceně.
• Z logiky maximalizace zisku vyplývá,
že nabídka dokonale konkurenční firmy
nesmí klesat a její poptávky po výrobních
faktorech nesmí růst.
• Pokud dokonale konkurenční firma
vykazuje konstantní výnosy z rozsahu,
její dlouhodobé zisky musí být nulové.
41 / 41