MINIMALIZACE NÁKLADŮ – řešené příklady
1. Firma má produkční funkci f(x1, x2) = x
1/2
1 x
1/4
2 .
Cena vstupu 1 je w1 = 2 a cena vstupu 2 je w2 = 1.
Při jaké kombinaci vstupů bude firma minimalizovat
náklady na výrobu 1 jednotky výstupu?
Řešení
Firma chce vyrobit množství produkce y s nejnižšími
náklady. Řešíme tedy následující úhohu:
min
x1,x2
w1x1 + w2x2
za podmínky f(x1, x2) = y.
Firma má Cobb-Douglasovu produkční funkci.
Víme, že izokvanty budou konvexní a hladké a že budou
množství obou vstupů v optimu kladná (vnitřní
řešení). Sklon izokosty v optimu se tedy rovná sklonu
izokvanty. Optimální kombinace vstupů (x∗
1, x∗
2) je
řešením následujících dvou rovnic o dvou nezná-
mých:
TRS(x∗
1, x∗
2) = −
w1
w2
y = x
1/2
1 x
1/4
2 .
Nejdříve si z první rovnice vyjádříme optimální
množství vstupu 2 x∗
2:
−
MP1
MP2
= −
w1
w2
2x∗
2
x∗
1
=
2
1
.
x∗
2 = x∗
1 (1)
Následně množství vstupu dosadíme do produkční
funkce
y = x∗
1
1/2
x∗
1
1/4
1 = x∗
1
3
4
x∗
1 = 1.
Dosazením do (1) dostaneme optimální množství
druhého vstupu x∗
2 = 1. Srovnejte s příkladem 2
v řešených příkladech Technologie a maximalizace
zisku.
2. Firma má produkční funkci y = 2x1 +3x2, kde x1 je
množství vstupu 1 a x2 je množství vstupu 2. Cena
vstupu 1 je w1 = 4 a cena vstupu 2 je w2 = 5. Jaké
jsou náklady této firmy na výrobu produkce y = 60?
Řešení
Vstupy 1 a 2 jsou pro firmu dokonalé substituty.
Firma bude v optimu nakupovat pouze vstup, se kterým
vyrobí dané množství produkce levněji. Nyní si
spočítáme náklady na výrobu pomocí obou vstupů.
Kdyby k výrobě použila pouze vstup 1, můžeme si
dosazením x2 = 0 do produkční funkce vyjádřit, kolik
jednotek vstupu 1 bude potřebovat:
y = 2x1
x1 =
y
2
=
60
2
= 30.
Náklady na výrobu 60 jednotek výstupu pouze pomocí
vstupu 1 jsou w1x1 = 4 × 30 = 120. Podobně
můžeme spočítat náklady na výrobu 60 jednotek,
pokud by firma použila pouze vstup 2. Firma bude
k této výrobě potřebovat
x2 =
y
3
=
60
3
= 20.
Náklady jsou pak w2x2 = 5 × 20 = 100.
Jelikož jsou náklady při použití vstupu 2 nižší než
při použití vstupu 1, firma bude vyrábět 60 jednotek
výstupu pomocí 20 jednotek vstupu 2 a její náklady
budou 100.
x2
x130
izokvanta
20
izokosta