Minimalizace nákladů
a nákladové křivky
Varian: Mikroekonomie: moderní přístup, kapitoly 19 a 20
Varian: Intermediate Microeconomics, 8e, Chapters 20 and 21
1 / 34
Na této přednášce se dozvíte
• co je to nákladová funkce,
• co je to podmíněná poptávka po faktorech,
• co vyplývá z projevené minimalizace nákladů.
• co jsou to průměrné náklady a mezní náklady,
• jaký tvar mají křivky krátkodobých nákladů.
• jaký tvar mají křivky dlouhodobých nákladů.
2 / 34
Maximalizace zisku vs. minimalizace nákladů
Maximalizace zisku – jaká kombinace vstupů povede při dané
technologii a cenách vstupů a výstupu k maximálnímu zisku firmy?
Minimalizace nákladů rozdělí problém do dvou částí:
• Jak při daných cenách vstupů minimalizovat náklady na výrobu
určitého množstvích produkce?
• Jak při dané nákladové funkci a ceně výstupu (poptávce) zvolit
rozsah produkce, při kterém firma maximalizuje zisk?
3 / 34
Minimalizace nákladů
f (x1, x2) je produkční funkce, kde x1 a x2 jsou množství faktorů 1 a 2.
(w1, w2) jsou ceny výrobních faktorů 1 a 2.
Firma chce vyrobit množství produkce y s nejnižšími náklady:
min
x1,x2
w1x1 + w2x2
pro f (x1, x2) = y
4 / 34
Minimalizace nákladů
f (x1, x2) je produkční funkce, kde x1 a x2 jsou množství faktorů 1 a 2.
(w1, w2) jsou ceny výrobních faktorů 1 a 2.
Firma chce vyrobit množství produkce y s nejnižšími náklady:
min
x1,x2
w1x1 + w2x2
pro f (x1, x2) = y
Nákladová funkce c(w1, w2, y) – minimální náklady potřebné
k produkci y jednotek výrobku v případě, že ceny jsou (w1, w2).
Izokosta – všechny kombinace vstupů x1 a x2, které odpovídají dané
úrovni nákladů C:
w1x1 + w2x2 = C ⇐⇒ x2 =
C
w2
−
w1
w2
x1
4 / 34
Minimalizace nákladů – grafické řešení
Pokud x∗
1 > 0 a x∗
2 > 0 a izokvanta je hladká a konvexní křivka,
pak v optimu platí:
sklon izokvanty = TRS(x∗
1 , x∗
2 ) = −
w1
w2
= sklon izokosty
5 / 34
Rozdíl mezi optimalizací firmy a spotřebitele
Spotřebitel Firma
6 / 34
Rozdíl mezi optimalizací firmy a spotřebitele
Spotřebitel – bod na BL
s maximálním užitkem
Firma – bod na izokvantě, který
odpovídá nejnižším nákladům
6 / 34
Podmíněná poptávka po faktoru
Podmíněná (odvozená) poptávka po faktoru 1 x1(w1, w2, y) –
jak závisí optimální volba výrobního faktoru 1 na cenách vstupů
a množství produktu.
Rozdíl mezi podmíněnou poptávkou a poptávkou po faktoru
maximalizující zisk z předchozí přednášky:
• podmíněná poptávka – volba minimalizující
náklady pro danou úroveň výstupu
• poptávka maximalizující zisk – volba
maximalizující zisk pro danou cenu výstupu
7 / 34
Příklady nákladových funkcí
Dokonalé komplementy
Produkční funkce – f (x1, x2) = min{x1, x2} = y.
V optimu platí, že x1 = x2 = y, nákladová funkce je tedy
c(w1, w2, y) = w1x1 + w2x2 = w1y + w2y = (w1 + w2)y.
8 / 34
Příklady nákladových funkcí
Dokonalé komplementy
Produkční funkce – f (x1, x2) = min{x1, x2} = y.
V optimu platí, že x1 = x2 = y, nákladová funkce je tedy
c(5, 10, y) = 5x1 + 10x2 = 5y + 10y = 15y.
Např. pro w1 = 5 Kč a w2 = 10 Kč je nákladová funkce c(y) = 15y.
8 / 34
Příklady nákladových funkcí
Dokonalé komplementy
Produkční funkce – f (x1, x2) = min{x1, x2} = y.
V optimu platí, že x1 = x2 = y, nákladová funkce je tedy
c(w1, w2, y) = w1x1 + w2x2 = w1y + w2y = (w1 + w2)y.
Např. pro w1 = 5 Kč a w2 = 10 Kč je nákladová funkce c(y) = 15y.
Dokonalé substituty
Produkční funkce – f (x1, x2) = x1 + x2 = y. Pokud w1 = w2, bude
firma v optimu nakupovat pouze levnější faktor. Nákladová funkce je
c(w1, w2, y) = min{w1y, w2y} = min{w1, w2}y.
8 / 34
Příklady nákladových funkcí
Dokonalé komplementy
Produkční funkce – f (x1, x2) = min{x1, x2} = y.
V optimu platí, že x1 = x2 = y, nákladová funkce je tedy
c(w1, w2, y) = w1x1 + w2x2 = w1y + w2y = (w1 + w2)y.
Např. pro w1 = 5 Kč a w2 = 10 Kč je nákladová funkce c(y) = 15y.
Dokonalé substituty
Produkční funkce – f (x1, x2) = x1 + x2 = y. Pokud w1 = w2, bude
firma v optimu nakupovat pouze levnější faktor. Nákladová funkce je
c(5, 10, y) = min{5y, 10y} = min{5, 10}y = 5y.
Např. pro w1 = 5 Kč a w2 = 10 Kč je nákladová funkce c(y) = 5y.
8 / 34
DODATEK: Příklady nákladových funkcí – Cobb-Douglas
Produkční funkce f (x1, x2) = xa
1 xb
2 = y. Minimalizace nákladů má tvar
min
x1,x2
w1x1 + w2x2 při omezení xa
1 xb
2 = y.
Substitucí x2 = (yx−a
1 )1/b
získáme neomezený optimalizační problém
min
x1
w1x1 + w2(yx−a
1 )1/b
.
Z podmínky prvního řádu získáme poptávky po faktoru 1 a 2
x1 =
a
b
b
a+b
w
−b
a+b
1 w
b
a+b
2 y
1
a+b a x2 =
b
a
a
a+b
w
a
a+b
1 w
−a
a+b
2 y
1
a+b .
Dosazením poptávek do funkce w1x1 + w2x2 a jednoduchou úpravou
dostaneme nákladovou funkci pro Cobb-Douglasovu technologii
c(w1, w2, y) =
a
b
b
a+b
+
a
b
−a
a+b
w
a
a+b
1 w
b
a+b
2 y
1
a+b .
9 / 34
Příklad – výpočet nákladů (konkrétní zadání)
Produkční funkce je f (x1, x2) =
√
x1 + 3
√
x2, w1 = 1 a w2 = 1.
S jakými minimálními náklady můžeme vyrobit y = 4?
10 / 34
Příklad – výpočet nákladů (konkrétní zadání)
Produkční funkce je f (x1, x2) =
√
x1 + 3
√
x2, w1 = 1 a w2 = 1.
S jakými minimálními náklady můžeme vyrobit y = 4?
Hledáme bod, kde se technická míra substituce rovná −w1/w2:
TRS(x1, x2) = −w1/w2
−
√
x2
3
√
x1
= −1
x2 = 9x1.
Dosazením do produkční funkce získáme podmíněné poptávané
množství faktorů 1 a 2 pro (w1, w2, y) = (1, 1, 4):
x1(1, 1, 4) = 0,16 a x2(1, 1, 4) = 1,44.
Náklady pro (w1, w2, y) = (1, 1, 4) jsou
c(1, 1, 4) = w1x1(1, 1, 4) + w2x2(1, 1, 4) = 0,16 + 1,44 = 1,6.
10 / 34
Projevená minimalizace nákladů
Předpokládejte, že se mění ceny vstupů a výstup se nemění.
Dva různé výběry při výstupu y a různých cenových úrovních:
• při cenách v čase t (wt
1, wt
2) firma zvolí (xt
1, xt
2),
• při cenách v čase s (ws
1 , ws
2 ) firma zvolí (xs
1 , xs
2 ).
Slabý axiom minimalizace nákladů (WACM): Jestliže firma volí
takový způsob produkce výstupu y, při kterém minimalizuje náklady,
a mezi časem t a s se nezmění její technologie, pak musí platit, že
wt
1xt
1 + wt
2xt
2 ≤ wt
1xs
1 + wt
2xs
2 (1)
a ws
1 xs
1 + ws
2 xs
2 ≤ ws
1 xt
1 + ws
2 xt
2. (2)
11 / 34
Projevená minimalizace nákladů (pokračování)
Nerovnice (1) a (2) můžeme upravit následujícím způsobem:
Když nerovnici (2) vynásobíme −1, dostaneme
− ws
1 xt
1 − ws
2 xt
2 ≤ −ws
1 xs
1 − ws
2 xs
2 . (3)
Nerovnici (3) pak sečteme s nerovnicí (1) a získáme
(wt
1 − ws
1 )xt
1 + (wt
2 − ws
2 )xt
2 ≤ (wt
1 − ws
1 )xs
1 + (wt
2 − ws
2 )xs
2 .
Pokud u této nerovnice převedeme pravou stranu na levou stranu
a dosadíme ∆w1 za (wt
1 − ws
1 ), ∆x1 za (xt
1 − xs
1 ), atd., dostaneme
∆w1∆x1 + ∆w2∆x2 ≤ 0.
12 / 34
Projevená minimalizace nákladů (pokračování)
Co vyplývá z výsledku ∆w1∆x1 + ∆w2∆x2 ≤ 0?
Např. pokud se změní cena faktoru 1 w1 a nezmění se cena
faktoru 2 w2, pak platí, že
∆w1∆x1 ≤ 0.
Nikdy neplatí, že ∆w1 > 0 a ∆x1 > 0 nebo ∆w1 < 0 a ∆x1 < 0.
=⇒ Podmíněná funkce poptávky po faktoru není nikdy rostoucí.
13 / 34
Krátkodobé náklady
Funkce krátkodobých nákladů cs(w1, w2, y, ¯x2) – minimální náklady
potřebné pro výrobu y, kde firma může měnit pouze variabilní vstupy:
cs(w1, w2, y, ¯x2) = min
x1
w1x1 + w2 ¯x2 při omezení f (x1, ¯x2) = y.
U dvou vstupů hledáme takové množství faktoru 1, pro které jsou
náklady minimální – krátkodobé podmíněné poptávkové funkce:
x1 = xs
1 (w1, w2, ¯x2, y) a x2 = ¯x2.
Funkce krátkodobých nákladů je
cs(w1, w2, y, ¯x2) = w1xs
1 (w1, w2, ¯x2, y) + w2 ¯x2.
14 / 34
Dlouhodobé náklady
Funkce dlouhodobých nákladů c(w1, w2, y) – minimální náklady
potřebné pro výrobu y, přičemž firma může měnit všechny vstupy:
c(w1, w2, y) = min
x1,x2
w1x1 + w2x2 při omezení f (x1, x2) = y.
U dvou vstupů hledáme takové množství faktorů 1 a 2, pro které jsou
náklady minimální – dlouhodobé podmíněné poptávkové funkce:
x1 = x1(w1, w2, y) a x2 = x2(w1, w2, y).
Funkce dlouhodobých nákladů je
c(w1, w2, y) = w1x1(w1, w2, y) + w2x2(w1, w2, y).
15 / 34
Kvazifixní vstupy a kvazifixní náklady
Kvazifixní vstupy – vstupy, které se používají pouze při kladném
výstupu, ale jejichž množství nezávisí na rozsahu produkce.
Např. elektřina na osvětlení výrobní haly, některé administrativní
práce, ...
Kvazifixní náklady – náklady na kvazifixní vstupy. Nezávislé na
objemu produkce, placeny pouze, pokud má firma kladný výstup.
Na rozdíl od fixních nákladů mohou
kvazifixní náklady existovat i v LR.
16 / 34
APLIKACE: Náklady a neefektivnost
Z dat o množství produktu a cenách výrobních faktorů můžeme
odhadnout nákladovou funkci c(w1, w2, y).
Často mají firmy ve stejném odvětví odlišné nákladové funkce.
Dvě možná vysvětlení:
• Firmy mají odlišné technologie.
• Některé firmy nevyrábí při minimálních nákladech
= X-neefektivnost.
Můžeme říci, které firmy jsou efektivnější? Na čem to závisí?
17 / 34
APLIKACE: Náklady a neefektivnost (pokračování)
M. Piacenza „Regulatory Contracts and Cost Efficiency (2006)
odhadl X-neefektivnost italských firem provozujících veřejnou dopravu.
Spočítal, že průměrná X-neefektivnost byla asi 11 %,
tzn. že náklady průměrné firmy jsou o 11 % vyšší
než minimální náklady na výrobu daného množství produktu.
Navíc zjistil, že neefektivnost nejvíc ovlivňoval typ dotace na dopravu:
• Cost plus: dopravci dostávali dotaci v závislosti na nákladech.
• Fixed price: dopravci jezdili za dotovanou ale fixní cenu.
18 / 34
APLIKACE: Náklady a neefektivnost (graf)
19 / 34
Nákladové křivky
Dále budeme předpokládat dokonale konkurenční trh VF.
Ceny vstupů w1 a w2 jsou konstantní. =⇒ Místo c(w1, w2, y)
budeme nákladovou funkci značit jako c(y).
20 / 34
Průměrné náklady
Celkové náklady jsou
c(y) = cv (y) + F,
kde
• cv (y) jsou variabilní náklady,
• F jsou fixní náklady.
21 / 34
Průměrné náklady
Celkové náklady jsou
c(y) = cv (y) + F,
kde
• cv (y) jsou variabilní náklady,
• F jsou fixní náklady.
Průměrné náklady jsou
AC(y) =
c(y)
y
=
cv (y)
y
+
F
y
= AVC(y) + AFC(y),
kde
• AVC(y) jsou průměrné variabilní náklady,
• AFC(y) jsou průměrné fixní náklady.
21 / 34
Průměrné náklady (pokračování)
AFC(y) = F
y
22 / 34
Průměrné náklady (pokračování)
AFC(y) = F
y
– klesající; stejné fixní náklady na větší výstup y
AVC(y) = cv (y)
y
22 / 34
Průměrné náklady (pokračování)
AFC(y) = F
y
– klesající; stejné fixní náklady na větší výstup y
AVC(y) = cv (y)
y
– rostoucí od určitého y; omezení fixním faktorem
AC(y) = AFC(y) + AVC(y)
22 / 34
Průměrné náklady (pokračování)
AFC(y) = F
y
– klesající; stejné fixní náklady na větší výstup y
AVC(y) = cv (y)
y
– rostoucí od určitého y; omezení fixním faktorem
AC(y) = AFC(y) + AVC(y) – typicky ve tvaru písmene U
22 / 34
Mezní náklady
Mezní náklady – sklon funkce celkových nákladů při výstupu y
(o kolik se změní celkové náklady, jestliže se produkce změní o 1):
MC(y) =
dc(y)
dy
Lze odvodit i z funkce celkových variabilních nákladů:
MC(y) =
dcv (y)
dy
23 / 34
Vztah mezi průměrnými a mezními náklady
U diskrétních statků se MC(y) a AVC(y) pro y = 1 rovnají:
MC(1) =
cv (1) + F − cv (0) − F
1
=
cv (1)
1
= AVC(1)
24 / 34
Vztah mezi průměrnými a mezními náklady
U diskrétních statků se MC(y) a AVC(y) pro y = 1 rovnají:
MC(1) =
cv (1) + F − cv (0) − F
1
=
cv (1)
1
= AVC(1)
MC(y) protíná křivky AC(y) a AVC(y) v jejich minimu:
AC (y∗
) =
c(y∗
)
y∗
=
c (y∗
)y∗
− c(y∗
)
y∗2
= 0 ⇐⇒ c (y∗
) =
c(y∗
)
y∗
AVC (ˆy) =
cv (ˆy)
ˆy
=
cv (ˆy)ˆy − cv (ˆy)
ˆy2
= 0 ⇐⇒ cv (ˆy) =
cv (ˆy)
ˆy
24 / 34
Vztah mezi průměrnými a mezními náklady (graf)
25 / 34
Vztah mezi průměrnými a mezními náklady (graf)
25 / 34
Vztah mezi mezními a celkovými variabilními náklady
Variabilní náklady potřebné pro výrobu y jednotek produktu =
26 / 34
Vztah mezi mezními a celkovými variabilními náklady
Variabilní náklady potřebné pro výrobu y jednotek produktu =
plocha pod křivkou mezních nákladů od 0 po bod y.
26 / 34
Příklad – nákladové funkce (konkrétní zadání)
Celkové náklady:
• c(y) = y2
+ 1
• variabilní – cv (y) = y2
• fixní – F = 1
Průměrné a mezní náklady:
• AFC(y) = 1/y
• AVC(y) = y2
/y = y
• AC(y) = y + 1/y
• MC(y) = 2y
27 / 34
Příklad – křivky mezních nákladů pro dva závody
Firma má dva závody s nákladovými funkcemi c1(y1) a c2(y2).
Jak rozdělit výrobu y jednotek mezi závody?
28 / 34
Příklad – křivky mezních nákladů pro dva závody
Firma má dva závody s nákladovými funkcemi c1(y1) a c2(y2).
Jak rozdělit výrobu y jednotek mezi závody?
Řešíme problém miny1,y2 c1(y1) + c2(y2) při omezení y1 + y2 = y.
Optimální výroba y∗
1 a y∗
2 je taková, že MC1(y∗
1 ) = MC2(y∗
2 ) = c.
28 / 34
Dlouhodobé průměrné náklady (LAC)
Jestliže jsou kvazifixní náklady 0 a produkční funkce vykazuje
• klesající výnosy z rozsahu, LAC(y) jsou rostoucí,
• konstantní výnosy z rozsahu, LAC(y) jsou konstantní,
• rostoucí výnosy z rozsahu, LAC(y) jsou klesající.
Proč? Pro konstantní výnosy z rozsahu a konstantu t > 1 platí, že
LAC(ty) =
c(ty)
ty
=
t · c(y)
ty
= LAC(y).
Analogicky lze ukázat i pro rostoucí a klesající výnosy z rozsahu.
29 / 34
Dlouhodobé průměrné náklady (LAC)
Jestliže jsou kvazifixní náklady 0 a produkční funkce vykazuje
• klesající výnosy z rozsahu, LAC(y) jsou rostoucí,
• konstantní výnosy z rozsahu, LAC(y) jsou konstantní,
• rostoucí výnosy z rozsahu, LAC(y) jsou klesající.
Proč? Pro konstantní výnosy z rozsahu a konstantu t > 1 platí, že
LAC(ty) =
c(ty)
ty
=
t · c(y)
ty
= LAC(y).
Analogicky lze ukázat i pro rostoucí a klesající výnosy z rozsahu.
LAC(y) má tvar písmene U, jestliže produkční funkce vykazuje
• do určitého výstupu rostoucí výnosy z rozsahu
• a od určitého výstupu klesající výnosy z rozsahu.
29 / 34
Krátkodobé a dlouhodobé průměrné náklady
Předpokládejte, že krátkodobá nákladová funkce je cs(y, k∗
),
kde velikost závodu k∗
je fixním vstupem.
Dlouhodobá nákladová funkce je pak c(y) = c(y, k(y)),
kde k(y) je optimální velikost závodu pro výstup y.
Pokud k∗
je optimální pro
výstup y∗
, pak platí:
Pro ostatní úrovně
výstupu y = y∗
platí:
30 / 34
Krátkodobé a dlouhodobé průměrné náklady
Předpokládejte, že krátkodobá nákladová funkce je cs(y, k∗
),
kde velikost závodu k∗
je fixním vstupem.
Dlouhodobá nákladová funkce je pak c(y) = c(y, k(y)),
kde k(y) je optimální velikost závodu pro výstup y.
Pokud k∗
je optimální pro
výstup y∗
, pak platí:
c(y∗
) = cs(y∗
, k∗
)
Pro ostatní úrovně
výstupu y = y∗
platí:
c(y) < cs(y, k∗
)
30 / 34
Diskrétní velikost závodu
Křivka LAC, pokud firma v LR volí jen mezi 4 velikostmi závodu.
31 / 34
Diskrétní velikost závodu
Křivka LAC, pokud firma v LR volí jen mezi 4 velikostmi závodu.
31 / 34
Dlouhodobé mezní náklady (LMC)
Křivka dlouhodobých mezních nákladů LMC,
• pokud firma volí mezi 3 velikostmi závodu (vlevo).
• pokud firma může vybrat libovolnou velikost závodu (vpravo).
32 / 34
Dlouhodobé mezní náklady (LMC)
Křivka dlouhodobých mezních nákladů LMC,
• pokud firma volí mezi 3 velikostmi závodu (vlevo – černá křivka).
• pokud firma může vybrat libovolnou velikost závodu (vpravo).
32 / 34
Shrnutí
• Nákladová funkce c(y) = minimální náklady
potřebné při daných cenách vstupů k výrobě
výstupu y.
• Podmíněná funkce poptávky x1(y) je
množství vstupu 1 potřebné pro výrobu
výstupu y, které při daných cenách vstupů
minimalizuje náklady.
• Pokud firma minimalizuje náklady, funkce
podmíněné poptávky má záporný nebo
nulový sklon.
33 / 34
Shrnutí (pokračování)
• AC mají obvykle tvar písmene U, protože
AFC jsou klesající a AVC od
určitého výstupu rostoucí.
• V bodě minima se AC a AVC se rovnají MC.
• Oblast pod křivkou MC se rovná VC.
• Tvar LAC závisí na výnosech z rozsahu.
• Křivka LAC představuje spodní obal křivek
krátkodobých průměrných nákladů.
34 / 34