MAMO podzim 2013 Přednáška 3 Lit: W-MT, ch5 Varian
1    Chování v prostředí nejistoty
1.1 Teorie očekávaného užitku
Trocha opakování z mikroekononiie
• V deterministickém světě - spotřebitelovy preference jsou popsány dle seřazení koše statků
• V prostředí nejistoty - preference spotřebitele lze popsat podle seřazení jednotlivých loterií (her), podle očekávané hodnoty užitku
• 1 statek, spotřeba c, užitková funkce u(c)
• 2 loterie, í — A,B.
• Loterie i přinese c\ jednotek spotřeby s pravděpodobností pi a cf jednotek spotřeby s pravděpodobností (Í-Pi), kde 0 < pi < 1.
Definice
Očekávaný užitek z loterie i (součet pravděpodobnosti x užitek)
Píu{c\) + (1 -Pi)u(cf)
Spotřebitel striktně preferuje loterii A před B
Pau{c\) + (1 - pa)u{c\) > pBu(cB) + (1 - Pb)u(c2b) preferuje B před A pokud < a je indiferentní pokud —.
1.2 Chování v prostředí rizika
Spotřebitel, (který maximalizuje užitek) je rizikově averzni, když je jeho užitková funkce (striktně) konkávni. Pokud je u(c) striktně konkávni, implikuje to Jensenovu nerovnost
u[E(c)} > E[u(c)} (1)
kde E je operátor očekávání (můžete chápat jako střední hodnotu). Jensenova nerovnost nám říká, že spotřebitel preferuje očekávanou hodnotu loterie (s jistotou) před loterií samotnou. Je rizikově averzni - je ochoten zaplatit za vyhnutí se riziku.
Něco jako důkaz
Pro milovníky mikroekonomie, ostatní můžou přeskočit. Obrázek viz Williamson.
Pokud spotřebitel obdrží konstantní spotřebu č s jistotou, tak potom (1) platí jako rovnost. V případě, že spotřeba je náhodná veličina, potom platí (1) se striktní nerovností.
Vezmeme tečnu k funkci u(c) v bodě (E(c),u(E[c]). Tečna je dána funkcí
g(c) — a + j3c
1
kde a a j3 jsou konstatny a pro bod E[c] platí
a + pE[c] = u{E[c}) (2)
Funkce w(c) je striktně konkávni, pak máme (jako na obrázku)
a + /3c> u(c) (3)
pro c > 0 a se striktní nerovností, pokud c ^ E(c).
Dále pro striktní nerovnost. Operátor očekávání je lineární operátor, můžeme aplikovat očekávání rovnice (3) a vzhledem k tomu, že c je náhodná veličina dostaneme
a + PE[c] > E[u(c)}
a použitím rovnice (2) dostaneme
u[E(c)} > E[u(c)}
Ukázali jsme, že Jensenova nerovnost platí. Příklad
Loterie přinese spotřebiteli c\ s pravděpodobností p a c2 s s pravděpodobností 1 — p. kde 0 < p < 1 a c2 > Cl.
u[pci + (1 - p)c2] > pu(ci) + (1 - p)u(c2) Užitek z očekávané hodnoty hry u[E(c)\ > očekávaný užitek ze hry E[u(c)\
Body na úsečce AB označují očekávaný užitek agenta pro danou pravděpodobnost p. Jensenova nerovnost je fakt, že AB leží pod funkcí u(c). Vzdálenost DE je disutilita spojená s rizikem. Vzdálenost roste s větším zakřivením užitkové funkce - větší averze k riziku.
1.2.1 Měření averze k riziku
Při maximalizaci očekávaného užitku jsou výběry dělané v podmínkách nejistoty invariantní (neměnné) při afinních transformacích užitkových funkcí. Máme užitkovou funkci
v (c) — a + j3u{c)
kde a, f3 jsou konstanty, f3 > 0. Pak platí
E[v{c)] = a + PE[u{c)}
protože E je lineární operátor. Z toho vyplývá, že loterie jsou seřazeny stejným způsobem, ať uvažujeme funkci u(c) nebo transformovanou v(c).
Jakékoliv měřítko averze vůči riziku by mělo zahrnovat druhou derivaci u"(c), protože averze roste, když se zvyšuje zakřivení funkce. Ale, pro transformovanou funkci v(c) máme
v"(c) — Pu"{c)
takže druhá derivace není invariantní vůči afinním transformacím (je tam ta P). Takže samotná druhá derivace k měření nestačí. Měřítko, které je invariantní vůči afinním transformacím je:
1.2.2 Koeficient absolutní averze vůči riziku
ARA(c) = -^M u'(c)
např. funkce, která má konstatní ARA pro všechna c je
u(c) = 1 - e-ac
kde a > 0 a koeficient ARA(c) — a vzhledem k c. (empiricky + experimentálně, spíše užitková funkce s klesající ARA)
2
1.2.3   Koeficient relativní averze vůči riziku
RRA{c) = -c^-u'{c)
např. funkce s konstatní RRA (Constant Relative Risk Aversion, CRRA) pro všechna c je
u(c) =
kde 6 > 0 a koeficient RRA(c) — 6 vzhledem k c, AZL4.(c) je klesající vzhledem k c.
U mezičasového výběru, mluvíme o tzv. ISO elastické funkci, elasticita intertemporální substituce
Hodně používaná specifikace, speciální případ CRRA fce je logaritmická funkce ln c, (koeficient RRA(c) — 1). Důchodový a substituční efekt se vy krátí.
Rizikově neutrální spotřebitel
Užitková funkce je lineární ve spotřebě u(c) — j3c, j3 > 0. Riziko zde nehraje žádnou roli.
ARA{c) = RRA{c) = 0
Anomálie
Teorie očekávaného užitku - vysvětluje chování lidí v prostředí rizika (např. při nákupu pojištění). Teorie se běžně v ekonomii používá, ale existují určité jevy, které nejsou s touto teorií konzistenstní, např. Allaisův paradox.
Nejprve výběr mezi loterií A a B. A dává 1 milión s jistotou, B dává 5 miliónů s pravděpodobností 0.1, 1 mil s pravděpodobností 0,89 a nebo 0 miliónů s pravděpodobností 0.01. Potom výběr mezi loteriíí C a D. C dává 1 milión s pravděpodobností 0.11 nebo 0 miliónů s pravděpodobností 0.89. a loterie D dává 5 miliónů s pravděpodobností 0.1 nebo 0 miliónů s pravděpodobností 0.9.
3
Lit: McCandless-ABC, 5.5
Cíl: Jak vypočítat hodnotu, že se nacházíme v daném stavu? (Markovské procesy, dynamické programování a iterace hodnotové funkce)
2   Modelování nejistoty
Formální zápis nejistoty
Máme proces s*. st je stav (událost), množina stavů je S — {s±, S2, ■ ■ ■, st}- Množina je konečná (např. počasí - jasno, polojasno, oblačno, zataženo, déšť, sníh.)
Náhodný proces (to, že jsem v nějakém stavu) může být náhodné (nezávislé) nebo závislé. Jak to specifikujeme, záleží na nás. Budeme používat tyto formy:
• Proces je iid (prvky jsou navzájem nezávislé a mají stejné rozdělení). Je to čistá náhoda (hod mincí, hod kostkou)
• Proces s* je homogenní Markovský řetězec (Markov chain, MC). Vlastnosti MC:
• Proces (řetězec) se pohybuje ze stavu do stavu. Každý pohyb se nazývá krok.
• Pokud je řetězec ve stavu i, tak se přenese do stavu j s pravděpodobností pij
• Pij je podmíněná pravděpodobnost (nezávislá na ničem jiném, krom toho, že jsme ve stavu i, minulé stavy jsou irelevantní)
Pij = Prob(st+i = Sj\st = Si) = Prob(st+i      \st = Si,st-i = sn,... ,«i = si)
Pij se také nazývá přenosová pravděpodobnost. Proces může zůstat ve stavu ve kterém je, a to se stane s pravděpodobností pa
Matice přenosových pravděpodobností je přenosová matice.
p =      Pil Pl2 [ P21 P22
např.
_ ľ 0.90   0.10 " ~ [ 0.40 0.60
• Řádek i udává pravděpodobnosti při pohybu ze stavu i (dnes) do všech možných stavů (zítra). Suma po řádku dává dohromady 1 (musíme někde skončit).
• Sloupec j udává pravděpodobnost, že skončíme ve stavu j (za podmínky, že jsme vyšli z arbitrárne zvoleného stavu i)
Jak vypočítat pravděpodobnost stavu někdy v budoucnu? Potřebujeme znát počáteční stav a přenosovou matici.
Příklad s počasím
(n)
Pravděpodobnost, že proces je dnes ve stavu i a bude ve stavu j za n dnů označíme p.
Jaká bude pravděpodobnost, že bude za 2 dny zataženo, když je dneska zataženo? Přenosová matice
P
0.50 0.25 0.25 0.25 0.50 0.25 0.50   0.50 0.00
Počasí dnes je zataženo, představováno vekotrem
,(o) _
[0
1
0]
Počasí zítra (jeden den ode dneška) je Počasí pozítří (dva dny ode dneška) je
V limitě
x« = x^P
X™ = X&P
x™ = x(°)pp = X(°)P2
x{n) = x(0)pn
lim x{n) = lim x{tí)Pn
To, co jsme odvodili pro limitní případ výše je nepodmíněná pravděpodobnost. Pravděpodobnost, že skončíme v nějakém stavu, když nevíme nic o předchozích stavech (jak často pozorujeme stav i, nezávisle na počátečních podmínkách).1
Matice P°° má všechny řádky jsou stejné, na počátečním rozdělení nezáleží.
Poznámka: Markovské řetězce zajistí při simulacích větší perzisentenci (pomáhají replikovat data), ale tato persistence není vysvětlena z ekonomického hlediska. Nevíme, proč k ní dochází.
3   Dynamické programování a Bellmanova rovnice
Optimalizační problémy (domácnosti, firem), které řešíme jsou stacionární - jsou nezávislé na čase (produkční funkce je stejná, rozpočtové omezení, chování domácností a firem rovněž atd.). Problém se v čase nemění, jediné co se mění jsou počáteční podmínky - hodnota proměnných určených v minulém období (rozhodnutím nebo náhodou).
Tyto problémy můžeme řešit rekurzivně pomocí nástrojů dynamického programování.
Co to je? Hledáme hodnotovou funkci a rozhodovací pravidlo.
• Rozhodovací pravidlo (decision rule někdy i policu function) nám říká, co máme udělat s proměnnými během tohoto období na základě počátečních podmínek (daných minulostí). Např. kolik investovat a kolik spotřebovat na základě daného stavu kapitálu.
• Hodnotová funkce je např. hodnota diskontovaného užitku při maximalizaci v nekonečném horizontu (když byl maximalizační problém vyřešen) nebo hodnota firmy (daná současnou hodnotou cash-flow).
Když je každý prvek matice P je kladný, pak existuje jediné nepodmíněnné rozdělení pravděpodobnosti.
5
Bellmanova rovnice
Takhle bude vypadat příště
nebo v rekursivní notaci
v(kt) — max{w(/jt, kt+1) + j3E v(kt+1)}
v(k) = max{u(k, k') + j3Ev{k')}
k je současný stav, k' je stav o krok vpřed.
Dneska budeme mít trochu jednodušší případ:
v(st) = c(st) +pPv(st+i)
Příklad Jaká je čistá současná hodnota budoucího cash-flow firmy? Firma se může nacházet ve třech stavech: dobrý (Good), normální (Normál) a špatný (Bad). Hodnota cash-flow podle stavů je: pro Good 20 mil., pro Normál 10 mil. a pro Bad —5 mil.
Matice přenosových pravděpodobností, která může být zjištěna z historických dat, vypadá následovně
P
.55 .40 .05 .35 .55 .10 .20   .20 .60
Diskontní míra je r, nejprve deterministický případ. Bellmanova rovnice
v(st) = c(st) + —j— v(st+i) 1 + r
Stochastický případ - známe c(st), ale budoucnost je nejistá (použijeme očekávání).
v(st) = c(st) + —Et v(st+i) 1 + r
Víme, že nejistota je Markovská, takže
v(st) = c(st) + —j— Pv(st+i) 1 + r
Známe možné stavy s(.), funkci c(.), parametr r a přenosovou matici P. Jediné, co neznáme je funkce v(.). Jak ji najít?
Použijeme postup zvaný iterace hodnotové funkce (value function iteration, VFI). Vezmeme počáteční hodnotovou funkci fo(st) např. vektor 0 a řešíme iterací.
Vi+i(st) = c(st) + —J— PVi(st+l) 1 + r
Iterujeme dokud to nezkonverguje, tj.
Ik+i(«t) - vl(st)\\ < e
kde e je malé číslo.
6