Teorie ekonomického růstu
S využitím materiálů od Káre Basvre, Department of Economics, University of Oslo
3   Solowův model
Základní literatura: BSiM:Ch. 1 Klasika: Solow (1956), Swan (1956)
3.1 Model
3.1.1 Předpoklady
• Aggregátní produkční funkce
Y(t) = F(K(t),L(t))
• Základí myšlenka: růst výstupu (Y) je možný pouze při růstu vstupů (K,L)
• Práce: L/L = n (exogénni)
• Práce je homogenní. (Žádný lidský kapitál)
• K je vyráběn stejnou technologií jako Y
• K je tzv. reprodukovatelný vstup
• Jednosektorová produkce homogenního statku, který může být
— spotřebován, C(t)
— nebo investován, I(t), za účelem vytvoření dalšího kapitálu K(t)
• Uzavřená ekonomika. Úspory se rovnají investicím.
• Růst K z investic (úspor):
K(t) = I{t) - 5K(t) (1) kde ô označuje míru depreciace kapitálové zásoby.
• Ekonomika Robinsona Crusoe (Firmy/domácnosti a tržní struktura je 'za scénou', budeme se tím zabývat později)
• Exogénni míra úspor, s: S(t) = sY(t)
• Zádně chování
1
3.1.2   Neoklasická produkční funkce
• Produkční funkce splňuje následující předpoklady (the time notation is suppressed):
1. Kladný a klesající mezní produkt
2. Konstantní výnosy z rozsahu (Constant returns to scale, CRS)
F(cK, cL) = cF(K, L),    for all c > 0
3. Inadovy podmínky:
lim Fk = lim Fl   = oo lim Fk = lim Fl  = 0
k—>oo l—>oo
kde FK = fl a FL = f
• CRS implikují, že produkční funkce může být zapsána v intenzivní podobě
Y = F(K,L) = LF(K/L, 1) = Lf(k) ^y = f(k) kde y = Y/L, k = K/L a funkce f (k) = F(k, 1)
• y = f {k). Pouze kapitálová intenzita k je důležitá pro ekonomickou úroveň (tj. y).
CRS ~ neutralita vzhledem k rozsahu
• Exercise 1: Show that
ôk > 0   dfp < 0
f >o #<o
dY
f (k)
dK dY
f (k) - k f (k)
and that the Inada conditions tranlates into:
lim /'
oo
0
2
• Exercise 2 (Harder): Show that the conditions above implies that each factor is essential to production, that is F(0, L) = F(K, 0) = 0 for all K,L
• Exercise 3: Show that a Cobb-Douglas production function Y = BKaL1~a satisfies these neoclassical properties.
• Exercise 4: Does the following production functions satisfy the neoclassical properties?
Y =  AK (2)
Y =  AK + BKaL1~a (3)
Y =  A{a(bKf + (1 - a)((l - b)Lf}1/lp (4)
3.1.3   Řešení modelu
• Dosazením za fixní míru úspor dostaneme
K = sF(K, L) — 5K (5)
• Derivací kapitálové intenzity k dle CclSU cl dosazením z (6) dostaneme
k = K/L — nk = sy — (n + ô) k (6) kde populace roste konstantním tempem L/L = n.
• Model je charakterizován jednou dynamickou rovnicí pro k (základní rovnice modelu)
k = s f (k) - (n + ô) k (7)
• Základní rovnice se nezmění, když do modelu zahrneme dokonale konkurenční trhy. Spotřebitelé vlastní vstupy a finanční aktiva a dodávají neelasticky vstupy. Firmy vstupy najímají, vyrábějí a prodávají výstup.
• Fungování modelu můžeme popsat pomocí fázového diagramu
3
Systém konverguje ke stavu, kde se kapitál na hlavu nemění k = 0. Ten se nazývá steady-state neboli ustálený stav.
Steady statová hodnota A;* je určena:
sf(k*) = (n + 5)k* což nám dává konstantní úroveň produkce na pracovníka
y* = f(k*)
V dlouhém období (když ekonomika zkonverguje do steady státu), nedochází k žádnému růstu výstupu na hlavu.
Tento model nedokáže vysvětlit trvalý růst výstupu na hlavu.
V ustáleném stavu Y,K a L rostou stejným tempem n. Tím pádem jsme na vyvážené růstové trajektorii (Balanced Growth Path, BGP).
Hlavní mechanismus, který zajišťuje konvergenci do steady státu je klesající mezní produkt z akumulovaného vstupu (tj. kapitálu).
Role míry úspor: Růst míry úspor zvyšuje úroveň výstupu na hlavu nikoliv růst v dlouhém období.
Jelikož míra úspor je omezena shora 1, neustálé zvyšování míry úspor neumožní zvýšení růstu trvale.
Hospodářská politika neovlivní růst v dlouhém období.
4
Zlaté pravidlo kapitálové akumulace Pro spotřebu ve stálém stavu platí
c* = f(k*) - (n + 5)k* (8) Spotřeba je maximální pokud platí
f(k*gr) = (n + S)
Mezní produkt kapitálu se rovná míře depreciace a populačního růstu.
Dynamicky efektivní ekonomika (nalevo od k*r), dynamicky neefektivní ekonomika (napravo od k*) (viz BSiM 1.2.5)
		
		
Slope	= n + S	
		cy^~-— s2^w
cgoM />		
		^-A;- »!■/<*)
		Initial increase
		of ť
''I    ''gold *2
'-Dynamically inefficient region
4   Přechodná dynamika
» Je dobré si ilustrovat dynamiku (k^k) diagramu, kde můžeme na vertikální ose odečíst tempo růstu 7*. = k/k.
» Vykreslíme transformovanou verzi rovnice (7).
k/k = sf(k)/k- (n + 5) kde f(k)/k je průměrný produkt kapitálu, který klesá s k (Proč?)
5
• Tento obrázek ilustruje velmi důležitou implikaci modelu: Pokud mají dvě země stejný steady state, potom chudší země poroste rychleji.
3.1.5   Technologický pokrok
• Do modelu můžeme zavést exogénni technologický pokrok. Jelikož je pokrok nevysvětlený v rámci modelu, moc nového o zdrojích růstu se nedozvíme. Ale toto cvičení je užitečné, protože
(i) můžeme provést růstové účetnictví
(ii) můžeme vidět, jak technologický pokrok ovlivní dynamiku
• Můžeme přepsat produkční funkci
Y(t) = F(K(t),L(t),T(t))
kde T(t) je parametr zachycující technologický pokrok. T(t) roste konstantním tempem 7T = T/T = x.
• Můžeme rozlišity tři případy zapojení technologického pokroku:
1. Neutrální (Hicks neutral): Y = TF(K, L),
kde poměr f^/f^ zůstane konstantní pro danou hodnotu k = K/L.
2. Zlepšující práci (Labor-augmenting, Harrod neutral): Y = F(K, TL), kde poměr Kt^/L^ zůstane konstantní pro danou hodnotu Y/K.
3. Zlepšující kapitál (Capital-augmenting, Solow neutral): Y = F(TK, L), kde poměr Kj^/L^ will remain constant for a given value of the ratio Y/L.
6
Exercise: Show these properties, and draw the isoquants for different values of T. (Note that BSiM are sloppy with their notation on pp. 52-53, their Fx and Fl should be replaced by |^ and |^ respectively.)
V datech pozorujeme, že relativní podíly vstupů (Kt^/L^) nevykazují v čase trend (i když krátkodobě poněkud fluktuují). Rovněž pozorujeme, že podíl Y/K je poměrně stabilní.
Dá se ukázat, že technologický pokrok musí být zlepšující prácí, aby model vykazoval BGP.
Určité vyspělé země vykazují stálý růst, což naznačuje chování podle BGP.
Nedávný (teoretický) výzkum ukazuje, že firmy maximalizující zisk budou v dlouhém období provádět výzkum, který vede k technologickému pokroku zlepšujícímu práci (Acemoglu, 2004).
Z těchto důvodů je technologický pokrok modelován jako zlepšující práci, tj.
Y(t) = F(K(t),T(t)L(t)) (9)
Místo vydělení všech veličin množstvím práce L, vydělíme veličiny množstvím práce v efektivních jednotkách, TL. Zadefinujme si k = K/T L jako kapitál na efektivnostního pracovníka, podobně pro výstup
V = Y/TL.
Model je strukturálně stejný jako dříve, jediná změna je, že proměnná n je nahrazena součtem n + x (Proč?)
Opět dosáhneme steady statu k* jako dříve a tím pádem steady statové úrovně výstupu na efektivnostního pracovníka ý*. Na vyvážené růstové trajetkorii platí
ly = lY/TL = 0 lY/L =lT = X
i.e. GDP na hlavu roste tempem technologické změny (x). To implikuje:
1. Dlouhodobý růst HDP na hlavu není možný bez technologického pokroku
2. Růst HDP na hlavu v dlouhém odobí je díky nevysvětlenému technologickému pokroku
7
Tato tvrzení jsou symetrická a v podstatě shodná, ale to první vystihuje lépe podstatu věci.
3.2   Alternativní produkční funkce: Trvalý/endogenní růst, pasti chudoby
• Víme, že klesající mezní produkt kapitálu je podstatný pro závěry So-lowova modelu
• Uvažujme jinou produkční funkci
Y = AK.
kde A je konstantní parametr a opět předpokládáme neexistenci technologického pokroku.
• Průměrný produkt je konstantní
f(k)/k = A
• Pokud je s A > n + ô potom dostaneme 7^ = s A — (n + ô) > 0 a konstantní.
• Graficky:
-1-1>*
yk > 0 for all Jt -1-n + Ô
-*-*->-*-*
• S AK produkční funkcí dostaneme
1. Trvalý růst z akamulace výrobních faktorů
2. Neexistenci konvergence
8
Později budeme zkoumat modely, které se chovají přesně jako AK model.
Všimněte si, že trvalý růst dostaneme i s jinou produkční funkcí, např.
Y =  AK + BKaL1~a
Y =  A{a(bKf + (l-a)((l-&)L)^}lAŕ
Tyto funkce splňují podmínku klesajícího mezního produktu kapitálu, ale nesplňují horní Inadovu podmínku. Tím pádem průměrný produkt kapitálu nekonverguje asymptoticky k 0 a my můžeme dostat trvalý růst.
Opět graficky:
fs + S
Porušení horní Inadovy podmínky znamená, že nereprodukovatelný výrobní faktor (zde je to práce) je nepodstatný pro výrobu, tj. můžeme něco vyrobit i bez tohoto VF.
Zajímavá skupina modelů je ta s pastmi chudoby. Tyto model mají složitější dynamiku f(k)/k a může tak vzniknout více rovnováh (multiple equilibria). (Jeden z modelů je uveden v BSiM 1.4.2.) Graficky znázorněno:
9
^ IV,
(stable)
:.i;ti
(unstable) (stable)
Reference
[1] Lucas, Robert E. Jr., On the Mechanics of Economic Development, Journal of Monetary Economics, July 1988, 22 (1), 3-42.
[2] Solow, Robert M., A Contribution to the Theory of Economic Growth, The Quarterly Journal of Economics, February 1956, 70 (1), 65-94.
[3] Swan, Trevor W, Economic Growth and Capital Accumulation, Economic Record, November 1956, 32, 334-361.
10