Základy ekonometrie V. Uvolnění klasických předpokladů – heteroskedasticita Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 1 / 56 Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 2 / 56 Úvod Doposud: Yi = α + β1X1i + . . . + βkXki + i . Klasické předpoklady: 1 E( i ) = 0. 2 var( i ) = σ2 . 3 cov( i , j ) = 0 pro i = j. 4 i má normální rozdělení. 5 Vysvětlující proměnné jsou fixní, tedy nenáhodné veličiny. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 3 / 56 Teorie vs. realita Zcela dokonalé modely, techniky a data k dispozici nemáme. Teoretické předpoklady tak obvykle neodpovídají realitě používaných dat a modelů. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 4 / 56 Nenulová střední hodnota náhodné složky Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 5 / 56 Nenulová střední hodnota náhodné složky Úvod Předpoklad, že pracujeme se správným modelem. E (Yi ) = α + β1X1i + . . . + βkXki . Vždy splněno, pokud je v modelu úrovňová konstanta. V opačném případě: Koeficient determinace, 1 − SSR TSS , i negativní. Zkreslení odhadu parametrů + koeficient determinace ztrácí na svém původním významu → střední hodnota (výběrový průměr) závisle proměnné = průměru (střední hodnotě) vyrovnaných hodnot modelu (TSS = RSS + SSR). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 6 / 56 Nenormalita Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 7 / 56 Nenormalita Úvod Lze aproximativně uvolnit (asymptotická teorie). β aproximativně rozdělen podle N(β, σ2 X2 i ). Problém při práci s malými vzorky. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 8 / 56 Nenormalita Testování Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 9 / 56 Nenormalita Testování Jarqueův-Berův test Koeficienty šikmosti a špičatosti. skew = E 3 (σ2)3/2 kurt = E 4 (σ2)2 . H0 : výběr z normálního rozdělení: JB = N skew2 6 + (kurt − 3)2 24 ∼ χ2 2. σ2 → odhady šikmosti a špičatosti, skew resp. kurt (ML odhad 1 N 2 i ). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 10 / 56 Nenormalita Testování Příklad – šikmost 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4–4 Right skewed Symmetrical Left skewed (a) Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 11 / 56 Nenormalita Testování Příklad – špičatost 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Mesokurtic Leptokurtic Platykurtic (b) Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 12 / 56 Nenormalita Řešení nenormality Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 13 / 56 Nenormalita Řešení nenormality Metoda maximální věrohodnosti „Nenormální“ věrohodnostní funkce – např. t-rozdělení (tlustší konce). Aplikace ve financních – pozorování větší volatility výnosnosti aktiv než podle normálního rozdělení. Obecně preference OLS odhadu – dobře rozebrány vlastnosti. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 14 / 56 Nenormalita Řešení nenormality Odlehlá pozorování (outliers) Odstranění vlivu odlehlých pozorování (pomocí umělých proměnných) × umělé zlepšení charakteristik modelu + každé pozorování je částí informace. Příklad: rezidua z analýzy časové řady cen akcií 1980-1990; extrémní výchylka v říjnu 1987. Yi = α + β1X1i + β2X2i + β3D1i + i . D1 hodnota 1 pouze pro pozorování v říjnu 1987 → jako odstranění proměnné (výsledné reziduum pro toto pozorování nulové). Pokud umělá proměnná – nutno věcně zdůvodnit (např. černé úterý v říjnu 1987). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 15 / 56 Heteroskedasticita Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 16 / 56 Heteroskedasticita Úvod Heteroskedasticita = rozptyl náhodných složek se liší v rámci jednotlivých pozorování. Existence heteroskedasticity: var ( i ) = σ2 ω2 i . Maticově, kovarianční matice náhodných složek: var( ) = σ2      ω2 1 0 0 . . . 0 0 ω2 2 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . ω2 N      = σ2 Ω. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 17 / 56 Heteroskedasticita On Heteros*edasticity J. Huston McCulloch (1985): „On Heteros*edasticity,“ Econometrica, Vol. 53, No. 2, (Mar. 1985), p. 483. Psaní s „c“ nebo „k“? (hlavní problém ekonometrické ortografie dané doby). Z řečtiny: hetero- (`τ ρo−) = „jiný“, „odlišný“ a skedannumi (σκ δ´αννυµι) = „rozptýlit“. Otázka transkripce řeckého κ do angličtiny. Obvykle jako k: skeptic (σκ πτικ´os), skeleton (σκ λ τ´os). Někdy jako c (pokud přes Francii nebo z vědeckého světa z latiny): sceptre (σκ˜ηπτρoν), scene (σκην´η), cyclic (κυκλικ´os). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 18 / 56 Heteroskedasticita On Heteros*edasticity – závěr Ve francouzštině nebo latině: κ → c (k obvykle nepoužívané). Angličtina, francouzština, latina: c před e vždy měkké (ceremony, cease, cell, cent, center). Údajná výjimka: „Celtic“ – chybná výslovnost [keltik]! (z Francie (celtique), ne přímo z řečtiny nebo nepřímo z němčiny). Pokud „heteroscedasticity“: do angličtiny buď v 1066 s invazí Normanů nebo ve středověku z latiny → výslovnost [heterossedasticity]. Pravopisně správné tedy „heteroskedasticity“. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 19 / 56 Heteroskedasticita Homoskedastické rozdělení Density Income Savings X Y β1 + β2 Xiββ Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 20 / 56 Heteroskedasticita Heteroskedastické rozdělení Density Income Savings X Y β1 + β2 Xiβ β Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 21 / 56 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 22 / 56 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity 1. Error-learning errors Lidé se učením dopouštějí menšího množství chyb. Rozptyl, σ2 i , klesá. Příklad: počet chyb při psaní na stroji v závislosti na počtu hodin strávených tréninkem. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 23 / 56 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Příklad – psaní na stroji Density X Y β1 + β2 Xi Typing errors Hours of typing practice β β Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 24 / 56 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity 2. Růst důchodu Růst příjmů → větší volnost s nakládáním. σ2 i roste s růstém důchodu. Příklad: regrese úspor na důchod, variabilita v dividendové politice firem s růstem jejich velikostí, růstově orientované × ustálené firmy a výplata dividend. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 25 / 56 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity 3. Zlepšení techniky sběru dat Pokles σ2 i . Příklad: bankovní data, kdy banky s dobrým systémem sběru dat mají při prezentaci měsíčních nebo čtvrtletních záznamů o zákaznících nižší chybu měření. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 26 / 56 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity 4. Přítomnost odlehlých hodnot Obecně: outlier je pozorování z jiné populace než té generované ve zbytku vzorku. Ovlivnění hlavně u malých vzorků. Příklad: procentní změna cen akcií (Y ) a spotřebitelských cen (X) pro poválečné období do roku 1969 pro 20 zemí (odlehlé hodnoty pro Chile). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 27 / 56 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Příklad – odlehlá hodnota 1 92 3 4 5 6 7 8 10 26 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 15 25 Stockprices(%change) Consumer prices (% change) Chile Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 28 / 56 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity 5. Nekorektní specifikace modelu Nezahrnutí důležitých vysvětlujících proměnných. Příklad 1: poptávková funkce po nějaké komoditě a nezahrnutí cen komplementů či substitutů. Příklad 2: vliv výdajů na reklamní kampaň (X) na příslušné veličiny (např. tržby, Y ) – prostá regrese (a) a zahrnutí X2 (b). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 29 / 56 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Příklad – efekt výdajů na reklamu 2 –40 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 –20 0 20 40 (b) 2 –60 –40 4 6 8 10 (a) 12 14 16 18 20 22 –20 0 20 40 60 Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 30 / 56 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity 6. Rozdělení jedné nebo více vysvětlujících proměnných Vliv šikmosti rozdělení. Příklad: důchod, bohatství, vzdělání. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 31 / 56 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity 7. Použitá data a funkční tvar Chybná transformace dat (poměr, první diference). Nekorektní funkční podoba (lineární vs. log-lineární modely). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 32 / 56 Heteroskedasticita Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 33 / 56 Heteroskedasticita Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Nestrannost Rozptyl v důkazu nestrannosti OLS estimátoru nevystupuje → OLS odhad zůstává nestranným. Např. pro jednoduchý regresní model (při splnění klasických předpokladů): Yi = βXi + i , β = Xi Yi X2 i = β + Xi i X2 i , β ∼ N β, σ2 X2 i . Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 34 / 56 Heteroskedasticita Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Vydatnost OLS odhad není vydatný (OLS estimátor není BLUE). var(β) = σ2 X2 i ω2 i X2 i 2 . Důkaz: var β = var β + Xi i X2 i = var Xi i X2 i = 1 X2 i 2 var Xi i = 1 X2 i 2 X2 i var( i ) = σ2 X2 i 2 X2 i ω2 i . Odhad rozptylu vstupuje do konstrukce intervalů spolehlivosti a testování hypotéz ⇒ nekorektnost výsledků s využitím OLS odhadu. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 35 / 56 Heteroskedasticita Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 36 / 56 Heteroskedasticita Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Transformace modelu Původní model (pro i = 1, . . . , N): Yi = βXi + i , Transformovaný model vydělením obou stran rovnice členy ωi : Yi ωi = β Xi ωi + i ωi . Tedy: Y ∗ i = βX∗ i + ∗ i , Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 37 / 56 Heteroskedasticita Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Zobecněná metoda nejmenších čtverců Nový model splňuje klasické předpoklady. var ( ∗ i ) = var i ωi = 1 ω2 i var ( i ) = σ2ω2 i ω2 i = σ2 . Použití OLS estimátoru na transformovaný model – GLS estimátor: βGLS = X∗ i Y ∗ i X∗2 i . S původními daty: βGLS = Xi ωi Yi ωi Xi ωi 2 = Xi Yi ω2 i X2 i ω2 i . Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 38 / 56 Heteroskedasticita Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Zobecněná metoda nejmenších čtverců – maticově Původní model: Y = Xβ + , kde ∼ N(0N, σ2Ω). Ω−1 = P P P =      1 ω1 0 0 . . . 0 0 1 ω2 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 1 ωN      , PY = PXβ + P , βGLS = ((PX) PX)−1 (PX) PY = (X P PX)−1 X P PY = (X Ω−1 X)−1 X Ω−1 Y , var(P ) = P Pvar( ) = Ω−1 σ2 Ω = σ2 IN. Pro případ heteroskedasticity: GLS estimátor = WLS estimátor (Weighted Least Squares). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 39 / 56 Heteroskedasticita Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Zobecněná metoda nejmenších čtverců – závěr Transformovaný model splňuje klasické předpoklady. OLS estimátor pro transformovaný model (GLS estimátor) dle Gaussova-Markovova teorému BLUE. GLS estimátor je nestranný s rozptylem var(βGLS) = σ2 X∗2 i = σ2 X2 i ω2 i . Rozptyl OLS estimátoru: var(β) = σ2 X2 i ω2 i X2 i 2 . Pro konstrukci intervalů spolehlivosti a testování hypotéz: βGLS ∼ N β, σ2 X∗2 i . Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 40 / 56 Heteroskedasticita Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 41 / 56 Heteroskedasticita Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Úvod Heteroskedasticita v důsledku jedné nebo kombinace více vysvětlujících proměnných. Yi = α + β1X1i + . . . + βkXki + i Splněny klasické předpoklady, s výjimkou: var( i ) = σ2 ω2 i = σ2 f (Zi ), Z je některá z vysvětlujících proměnných a f (·) je kladná funkce. Obvyklá volba: f (Zi ) = Z2 i nebo f (Zi ) = 1 Z2 i . Další volba: f (Zi ) = exp(Zi ) nebo f (Zi ) = exp(−Zi ). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 42 / 56 Heteroskedasticita Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Zobecněná metoda nejmenších čtverců GLS: Yi ωi = α 1 ωi + β1 X1i ωi + . . . + βk Xki ωi + i ωi . Předpoklad: ω2 i = f (Zi ) → snadná transformace. Např. pro f (Zi ) = Z2 i Yi Zi = α 1 Zi + β1 X1i Zi + . . . + βk Xki Zi + i Zi . Pokud f (Zi ) = 1 Z2 i : Yi Zi = αZi + β1X1i Zi + . . . + βkXki Zi + i Zi . Experimentování s funkční podobou a testování potenciálního řešení problému. Někdy řešení logaritmování proměnných. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 43 / 56 Heteroskedasticita Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Heteroskedasticitě konzistentní estimátor Pokud nedokážeme (nechceme) použít GLS. Správný vzorec pro rozptyl odhadu parametru: var(β) = σ2 X2 i ω2 i X2 i 2 . Využití OLS estimátoru a správný vztah × neznáme σ2ω2 i → odhad. Intuice: var( i ) = E 2 i = σ2ω2 i . → OLS estimátor dává i pro i = 1, . . . , N. 2 i = 2 i ani E( 2 i ) ( 2 i je dobrým estimátorem E( 2 i ) a tedy σ2ω2 i ): var(β) = X2 i 2 i X2 i 2 . Příklad HCE (Whiteův estimátor). Různé HCE estimátory, obecně pro model vícenásobné regrese. OLS není vydatný × HCE odhady vedou k širším intervalům spolehlivosti (konzervativní odhad rozptylu odhadu parametrů). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 44 / 56 Heteroskedasticita Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Jiné estimátory Řada možností, obvykle využití OLS odhadů reziduí pro odhad rozptylů náhodných složek. Feasible GLS estimátor: pokud známe podobu heteroskedasticity → var( i ) = σ2ω2 i = σ2f (Zi ). βFGLS = Xi Yi ω2 i X2 i ω2 i . Při známé heteroskedasticitě i ML odhady. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 45 / 56 Heteroskedasticita Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu FGLS – rozšíření OLS odhad regresního modelu → regrese čtverce OLS reziduí na (kladnou) funkci některých nebo všech vysvětlujících proměnných. Získané vyrovnané hodnoty = odhad jednotlivých rozptylů náhodných složek. Transformace modelu a aplikace OLS = FGLS. Obvykle: var( i ) = σ2 ω2 i = exp(α0 + α1Z1i + αpZpi ). Potom regrese ln 2 i = α0 + α1Z1i + αpZpi + νi , kde νi je náhodná složka s obvyklými vlastnostmi. Odhad OLS parametrů → odhady rozptylů var( i ) = exp(α0 + α1Z1i + αpZpi ). Transformace původních proměnných modelu a aplikace OLS. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 46 / 56 Heteroskedasticita Testování heteroskedasticity Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 47 / 56 Heteroskedasticita Testování heteroskedasticity Grafické metody Analýza čtverců reziduí (jako aproximace čtverců náhodných složek), jestli vykazují systematické chování. Vykreslení vzhledem k vyrovnaným hodnotám, Yi . Vykreslení vzhledem k jedné z vysvětlujících proměnných, Xi . Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 48 / 56 Heteroskedasticita Testování heteroskedasticity Grafické metody – obrázek 1 (a) (b) (c) u2 u2 u2 u2 (e) Y Y Y Y 0 0 0 0 0 u2 (d) Y Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 49 / 56 Heteroskedasticita Testování heteroskedasticity Grafické metody – obrázek 2 (a) (b) (c) u2 u2 u2 u2 (e) X X X X 0 0 0 0 0 u2 (d) X Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 50 / 56 Heteroskedasticita Testování heteroskedasticity Parkův test Formalizace grafické metody. Předpoklad, že σ2 i je funkcí Xi , konkrétně: σ2 i = σ2 Xβ i eνi nebo ln σ2 i = ln σ2 + β ln Xi + νi . Obecně σ2 i neznámý → použití proxy proměnné čtverec reziduí, 2 i a provedení regrese ln 2 i = ln σ2 + β ln Xi + νi = α + β ln Xi + νi . Pokud je β statisticky významné, napovídá to přítomnosti heteroskedasticity. Kritika: Goldfeld a Quandt argumentují, že νi nemusí splňovat klasické předpoklady a mohou vykazovat heteroskedasticitu. Jako orientační metoda dostačující. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 51 / 56 Heteroskedasticita Testování heteroskedasticity Goldfeldův-Quandtův test Pokud heteroskedasticita v závislosti na jedné z vysvětlujících proměnných. 1 Seřadíme data podle velikosti Z (rostoucí nebo klesající, dle předpokladu o vlivu na rozptyl). 2 Vynecháme prostřednich d pozorování (obvyklá volba d = 0.2N). 3 Provedeme dvě oddělené regrese. 4 Spočítáme součet čtverců reziduí (SSR) pro každou s obou regresí (získáme tak SSRLOW a SSRHIGH). 5 Spočítáme Goldfeldovu-Quandtovu testovou statistiku GQ = SSRHIGH SSRLOW . Při platnosti nulové hypotézy o homoskedasticitě má GQ statistika Fisherovo-Snedecorovo rozdělení, F0.5(N−d−2k−2),0.5(N−d−2k−2). Naznačení volby případné transformace. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 52 / 56 Heteroskedasticita Testování heteroskedasticity Breuschův-Paganův-(Godfreyho) test Pokud více proměnných způsobujících heteroskedasticitu. var i = σ2 f (γ0 + γ1Z1i + . . . + γpZpi ). Test H0 : γ1 = γ2 = . . . = γp = 0 (LM test). OLS regrese původního modelu, získání reziduí, i , a spočítáme σ2 = 2 i N . Provedeme druhou regresi rovnice 2 i σ2 = γ0 + γ1Z1i + . . . + γpZpi + νi . Spočítáme Breuschovu-Paganovu statistiku s využitím regresního součtu RSS z této druhé regrese: BP = RSS 2 . Testová statistika má chí-kvadrát rozdělení s p stupni volnosti, χ2 (p). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 53 / 56 Heteroskedasticita Testování heteroskedasticity Whiteův test Podobný k Breusch-Paganovu testu, jen odlišná druhá regrese. OLS regrese na původních datech a modelu a získání rezidua, i . Provedeme druhou OLS regresi rovnice 2 i = γ0 + γ1Z1i + . . . + γpZpi + νi a získáme koeficient determinace, R2 . Spočítáme Whiteovu testovou statistiku W = NR2 . Testová statistika má chí-kvadrát rozdělení s p stupni volnosti, χ2 (p). Proměnné Z1, . . . , Zp libovolné, obvykle vysvětlující proměnné původní regrese. Obvykle všechny, Z1 = X1, . . . , Zk = Xk + Whiteův test využívá obvykle jedinečné čtverce a vzájemné (křížové) součiny. Příklad: X1 a X2 → použití Z1 = X1, Z2 = X2, Z3 = X2 1 , Z4 = X2 2 a Z5 = X1X2 (nutné ošetřit multikolinearitu). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 54 / 56 Heteroskedasticita Testování heteroskedasticity Koenkerův-Bassetův test Založen na čtvercích reziduí, 2 i . Regrese na čtverec vyrovnaných hodnot, Y 2 i . Model: Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + . . . + βkXki + i . Odhad: 2 i = α1 + α2Y 2 i + νi . Nulová hypotéza α2 = 0 na základě t-testu nebo F-test (F1,k = t2 k ). Pokud logaritmický model, regrese na (log Yi )2. Aplikovatelný i v případě nenormality náhodných složek v původní regresi. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 55 / 56 Heteroskedasticita Testování heteroskedasticity Praktická doporučení V případě heteroskedasticity zkusit model transformovat pro odstranění tohoto problému. Někdy stačí logaritmování některých nebo všech proměnných v modelu. Někdy dostačuje násobení nebo dělení všech proměnných nějakou proměnnou Z. Vždy po transformací potřeba testovat heteroskedasticitu. Pokud nedokážeme nalézt transformaci, využijme HCE. Při existenci heteroskedasticity jsou testy hypotéz nekorektní ⇒ před testováním hypotéz třeba problém vyřešit nebo použít HCE. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 56 / 56