Základy ekonometrie
VII. Metoda instrumentálních proměnných
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 1 / 52
Obsah tématu
1 Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
2 Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Metoda instrumentálních proměnných
Hausmanův test
Sarganův test
Test slabých instrumentů
3 Příčiny korelace
Chyby měření
Model simultánních rovnic
4 Příklad instrumentů
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 2 / 52
Úvod
Experimentální vědy × ekonomie ⇒ nenáhodnost vysvětlujících
proměnných?
Náhodnost vysvětlující proměnné: nekorelovanost × korelovanost s
náhodnou složkou.
Různý vliv na kvalitu OLS estimátoru → metoda instrumentálních
proměnných.
Asymptotické výsledky!
Koncept konzistentního estimátoru.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 3 / 52
Předpoklady
Jednoduchý regresní model:
Yi = βXi + i .
Modifikované klasické předpoklady:
1 E( i ) = 0.
2 var( i ) = σ2
.
3 cov( i , j ) = 0 pro i = j.
4 i má normální rozdělení.
5 Xi je náhodná proměnná.
Klíčové vlastnosti Xi .
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 4 / 52
Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
Obsah tématu
1 Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
2 Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Metoda instrumentálních proměnných
Hausmanův test
Sarganův test
Test slabých instrumentů
3 Příčiny korelace
Chyby měření
Model simultánních rovnic
4 Příklad instrumentů
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 5 / 52
Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
Značení
Xi jsou i = 1, . . . , N je i.i.d. náhodné veličiny:
E(Xi ) = µX ,
var(Xi ) = σ2
X .
Vysvětlující proměnná a regresní chyba jsou vzájemně nezávislé ⇒ i
nekorelováno s jakoukoli funkcí Xi .
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 6 / 52
Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
Východiska
Pří splnění všech klasických předpokladů:
β ∼ N β,
σ2
X2
i
.
S využitím asymptotické teorie: asymptotická (aproximativní
platnost).
OLS estimátor:
β =
N
i=1 Xi Yi
N
i=1 X2
i
,
alternativně
β = β +
Xi i
X2
i
.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 7 / 52
Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
Nestrannost
Důkaz:
E β = β + E
Xi i
X2
i
= β + E
Xi
X2
i
i
= β + E
Xi
X2
i
E( i )
= β.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 8 / 52
Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
Další aspekty
Asymptotické rozdělení OLS estimátoru:
N β,
σ2
X2
i
.
Aproximativně stejné výsledky jako dříve.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 9 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Obsah tématu
1 Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
2 Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Metoda instrumentálních proměnných
Hausmanův test
Sarganův test
Test slabých instrumentů
3 Příčiny korelace
Chyby měření
Model simultánních rovnic
4 Příklad instrumentů
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 10 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Úvod
Vysvětlující proměnná a chyba regrese jsou vzájemně korelovány:
cov(Xi , i ) = 0.
OLS estimátor je vychýlený a potřebujeme jiný estimátor: estimátor
metody instrumentálních proměnných (IV estimátor).
Asymptotická vlastnost: OLS je nekonzistentní.
Vychýlenost:
E(β) = β + E
Xi i
X2
i
.
Intuice: E( Xi i ) = E(Xi i ) = cov(Xi , i ) = 0.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 11 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Důkaz nekonzistence OLS estimátoru
plim β = plim β +
Xi i
X2
i
= β + plim
Xi i
X2
i
dle Slutského teorému
= β + plim
1
N Xi i
1
N X2
i
= β +
plim 1
N Xi i
plim 1
N X2
i
dle Slutského teorému.
Zákon velkých čísel: plim 1
N X2
i = E(X2
i ) = σ2
X + µ2
X .
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 12 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Důkaz nekonzistence OLS estimátoru (dokončení)
plim β = β +
plim 1
N Xi i
σ2
X + µ2
X
Zákon velkých čísel pro plim 1
N Xi i :
plim
1
N
Xi i = E(Xi i ) = cov(Xi , i ) = 0,
tedy
plim β = β +
cov(Xi , i )
σ2
X + µ2
X
= β.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 13 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Metoda instrumentálních proměnných
Obsah tématu
1 Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
2 Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Metoda instrumentálních proměnných
Hausmanův test
Sarganův test
Test slabých instrumentů
3 Příčiny korelace
Chyby měření
Model simultánních rovnic
4 Příklad instrumentů
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 14 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Metoda instrumentálních proměnných
Instrumentální proměnná
Instrumentální proměnná (instrument), Z.
Náhodná veličina, která je nekorelovaná s chybou regrese, ale která je
korelována s vysvětlující proměnnou.
Značení:
E(Zi ) = µZ ,
var(Zi ) = σ2
Z .
Nekorelovanost s chybou regrese: cov(Zi , i ) = 0.
Korelovanost s vysvětlující proměnnou:
cov(Xi , Zi ) = E(Xi Zi ) − µZ · µX = σXZ = 0.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 15 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Metoda instrumentálních proměnných
IV estimátor
βIV =
N
i=1 Zi Yi
Xi Zi
.
Konzistentní estimátor, výsledky odhadu využitelné při konstrukci
intervalů spolehlivosti a testování hypotéz.
Asymptotické vlastnosti:
βIV ∼ N β,
(σ2
Z + µ2
Z )σ2
N(σXZ + µX µZ )2
.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 16 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Metoda instrumentálních proměnných
Důkaz konzistence IV estimátoru
plim βIV = plim β +
Zi i
Xi Zi
= β + plim
Zi i
Xi Zi
dle Slutského teorému
= β + plim
1
N Zi i
1
N Xi Zi
= β +
plim 1
N Zi i
plim 1
N Xi Zi
dle Slutského teorému.
Zákon velkých čísel: plim 1
N Zi i = E(Zi i ) = 0.
Zákon velkých čísel: plim 1
N Xi Zi = E(Xi Zi ) = σXZ + µX µZ .
plim βIV = β +
0
σXZ + µX µZ
= β,
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 17 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Metoda instrumentálních proměnných
Důkaz asymptotické normality IV estimátoru
√
N(βIV − β) =
√
N
Zi i
Xi Zi
=
√
N
1
N Zi i
1
N Xi Zi
.
Centrální limitní věta: pro N → ∞
√
N
1
N
Zi i ∼ N (0, var(Zi i )) .
Z nekorelovanosti: var(Zi i ) = (σ2
Z + µ2
Z )σ2.
Platí: plim
1
N
Xi Zi = σXZ + µX µZ .
S využitím Cramerova teorému:
√
N(βIV − β)
N
→ N 0,
(σ2
Z + µ2
Z )σ2
(σXZ + µX µZ )2
.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 18 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Metoda instrumentálních proměnných
Základní otázky
„Co když máme model vícenásobné regrese zahrnující více než jednu
vysvětlující proměnnou?“
Jeden instrument pro každou korelovanou vysvětlující proměnnou (pro
nekorelované vysvětlující proměnné jsou instrumenty tyto samotné
proměnná).
Vztah pro IV estimátor (bez maticové algebry komplikovaný):
(Z X)−1
Z y.
„Co když máme více instrumentálních proměnných, než je potřeba?“
Použít jeden z nich.
Použít všechny → GIVE (generalized instrumental variables estimator)
resp. TSLS (two-stages least squares).
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 19 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Metoda instrumentálních proměnných
GIVE estimátor
Příklad: jednoduchá regrese, X korelováno s náhodnou složkou, dva
instrumenty (Z1 a Z2).
Výchozí regrese vysvětlující proměnné na všechny instrumenty:
Xi = γ0 + γ1Z1i + γ2Z2i + ui ,
Vyrovnané hodnoty:
Xi = γ0 + γ1Z1i + γ2Z2i .
Lze ukázat, že X je nekorelována s náhodnými složkami původní
regrese ⇒ vhodný instrument.
GIVE (konzistentní estimátor):
βGIVE =
N
i=1 Xi Yi
N
i=1 Xi Xi
.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 20 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Hausmanův test
Obsah tématu
1 Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
2 Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Metoda instrumentálních proměnných
Hausmanův test
Sarganův test
Test slabých instrumentů
3 Příčiny korelace
Chyby měření
Model simultánních rovnic
4 Příklad instrumentů
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 21 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Hausmanův test
Motivace
Test korelace vysvětlující proměnné s náhodnou složkou.
V případě nekorelovanosti: OLS je BLUE.
Jen intuitivní vysvětlení.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 22 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Hausmanův test
Motivace
H0: vysvětlující proměnné v modelu vícenásobné regrese jsou
nekorelovány s náhodnou složkou.
Myšlenka: pokud H0 platí, jsou OLS a IV estimátory konzistentní
(podobné výsledky) × pokud H0 neplatí → odlišné odhady.
Testová statistika měřící rozdíly mezi β a βIV .
Provedení i s využitím OLS metod: příklad jednoduché regrese s
jediným instrumentem.
Model: Yi = α + βXi + i .
Hausmanův test: regrese Yi = α + βXi + γZi + i .
Ekvivalentní standardnímu t-testu hypotézy H0 : γ = 0 (pokud Z
statisticky významné → zamítnutí H0).
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 23 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Hausmanův test
Příklad vícenásobné regrese.
GIVE, tři vysvětlující proměnné (X1, X2 a X3), dvě korelovány (X2 a
X3), dva instrumenty pro X2 (Z1 a Z2) a tři pro X3 (Z3, Z4 a Z5).
1 OLS regrese X2 na úrovňovou konstantu, Z1 a Z2 → X2.
2 OLS regrese X3 na úrovňovou konstantu, Z3, Z4 a Z5 → X3.
3 OLS regrese Y na úrovňovou konstantu, X1, X2, X3, X2 a X3.
4 F-test hypotézy, že koeficienty u X2 a X3 současně nulové.
5 Pokud F-test zamítá nulovou hypotézu → GIVE × jinak OLS.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 24 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Sarganův test
Obsah tématu
1 Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
2 Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Metoda instrumentálních proměnných
Hausmanův test
Sarganův test
Test slabých instrumentů
3 Příčiny korelace
Chyby měření
Model simultánních rovnic
4 Příklad instrumentů
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 25 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Sarganův test
Motivace
Jak poznat, že Z je platný instrument?
Komplikované: korelace s X snadná × nekorelovanost s náhodnou
složkou.
Pokud jen jeden potenciální instrument ke každé proměnné →
neproveditelný test validity.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 26 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Sarganův test
Intuice
Yi = βXi + i
Jediný potenciální instrument, Z → test cov(Z, i ) = 0.
Jaká rezidua použít?
IV
i = Yi − βIV Xi nevhodná (možná nekonzistence, protože Z nemusí
být platný instrument × to chceme testovat).
OLS rezidua nevhodná (možná nekonzistence + Hausmanův test
nepoužitelný, protože Z nemusí být platný instrument).
Problém testování validity instrumentů.
Mnohdy instrumenty nabízí ekonomická teorie.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 27 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Sarganův test
Sarganův test
Pokud více instrumentů než vysvětlujících proměnných korelovaných s
náhodnou složkou.
Jeden z testů → odvození nad rámec kurzu Základy ekonometrie.
Postup (k vysvětlujících potenciálně korelovaných proměnných a r
instrumentů, kdy r > k):
1 Regrese Y na úrovňovou konstantu, X1, . . . , Xk využitím zobecněného
IV estimátoru a získání IV
i .
2 OLS regrese IV reziduí, IV
i , na úrovňovou konstantu a všechny
instrumenty, Z1, . . . , Zr a získání koeficientu determinace, R2
.
3 Sarganova testová statistika NR2
+ kritické hodnoty z χ2
(r − k)
rozdělení.
Test Lagrangeových multiplikátorů (asymptotické rozdělení) + nulová
hypotéza o nekorelovanosti.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 28 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Test slabých instrumentů
Obsah tématu
1 Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
2 Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Metoda instrumentálních proměnných
Hausmanův test
Sarganův test
Test slabých instrumentů
3 Příčiny korelace
Chyby měření
Model simultánních rovnic
4 Příklad instrumentů
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 29 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Test slabých instrumentů
Test slabých instrumentů – jeden instrument
Slabé instrumenty → IV estimátor zkreslený a vysoké směrodatné
odchylky.
y = β1 + β2x2 + · · · + βGxG + βG+1xG+1 +
x2, . . . , xG exogenní a nekorelované s , xG+1 endogenní.
Jediný instrument z1.
Otázka síly vztahu mezi xG+1 a z1 (po zahrnutí vlivu ostatních
exogenních proměnných).
xG+1 = γ1 + γ2x2 + · · · + γGxG + θ1z1 + u.
H0 : θ1 = 0, oproti H1 : θ1 = 0.
Zamítnutí na hladině významnosti α = 0.05 nedostatečné pro ověření
síly instrumentu → „výrazné“ zamítnutí → hrubé pravidlo
F-statistika menší než 10 nebo t-statistika menší než 3.3 vede k
závěru, že instrument je slabý.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 30 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Test slabých instrumentů
Test slabých instrumentů – více instrumentů
Pro počet instrumentů L > 1:
xG+1 = γ1 + γ2x2 + . . . + γGxG + θ1z1 + · · · + θLzL + u.
Test H0 : θ1 = 0, θ2 = 0, . . . , θL = 0 oproti alternativě, že alespoň
jeden je nenulový.
F-test s podobným hrubým pravidlem (menší než 10 vede ke slabým
instrumentům).
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 31 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Test slabých instrumentů
Test slabých instrumentů – více proměnných
Pro model s více než jednou endogenní proměnnou musí být počet
instrumentů větší nebo roven jejich počtu.
F-test pro každou z regresních rovnic.
Individuální F-statistiky neodpovídají všeobecné síle instrumentů ←→
pokud každé F > 10 neznamená to, že nemáme problém slabých
proměnných.
Craggova-Donaldova statistika.
Alternativní diagnostika: porovnat standardní chyby IV odhadu a OLS
odhadu (slabé instrumenty vedou k vyšším standardním odchylkám IV
estimátoru).
Co dělat při slabých instrumentech? Obtížná odpověď, v současnosti
předmětem výzkumu (možnost vyhodit z množiny instrumentů ty
nejslabší, pokud je dostatek instrumentů).
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 32 / 52
Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná Test slabých instrumentů
Craggova-Donaldova statistika
Cragg, Donald (1993).
G exogenních proměnných, B endogenních proměnných, L ≥ B
instrumentů.
Cragg-Donald F = [(N − G − B)/L]/[r2
B/(1 − r2
B)],
rB nejmenší kanonická korelace.
Nulová hypotéza: instrumenty jsou slabé (oproti alternativě, že
nejsou).
Kritické hodnoty tabelovány: Stock a Yogo (2005).
Kritéria dle relativního zkreslení (relative bias) IV estimátoru
vzhledem k OLS estimátoru nebo dle míry zamítnutí (rejection rate)
resp. významnosti testu (test size).
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 33 / 52
Příčiny korelace
Obsah tématu
1 Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
2 Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Metoda instrumentálních proměnných
Hausmanův test
Sarganův test
Test slabých instrumentů
3 Příčiny korelace
Chyby měření
Model simultánních rovnic
4 Příklad instrumentů
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 34 / 52
Příčiny korelace
Úvod
Proč existuje korelace vysvětlujících proměnných s náhodnou složkou?
Jak vybírat instrumenty?
Nelehký úkol: v časových řadách jsou instrumenty obvykle zpožděné
proměnné.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 35 / 52
Příčiny korelace Chyby měření
Obsah tématu
1 Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
2 Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Metoda instrumentálních proměnných
Hausmanův test
Sarganův test
Test slabých instrumentů
3 Příčiny korelace
Chyby měření
Model simultánních rovnic
4 Příklad instrumentů
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 36 / 52
Příčiny korelace Chyby měření
Značení
Yi = βXi + i
Pozorujeme: X∗
i = Xi + νi ,, kde νi je i.i.d. s nulovou střední
hodnotou, rozptylem σ2
ν a je nezávislá na i .
Není problém s chybou měření ve vysvětlované proměnné (proč?).
Problém u vysvětlujících proměnných.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 37 / 52
Příčiny korelace Chyby měření
Zdůvodnění korelace
Model:
Yi = β(X∗
i − νi ) + i
= βX∗
i + ∗
i ,
∗
i = i − βνi .
cov(X∗
i , ∗
i ) = E(X∗
i
∗
i )
= E [(Xi + νi )( i − βνi )]
= −βσ2
ν.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 38 / 52
Příčiny korelace Model simultánních rovnic
Obsah tématu
1 Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
2 Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Metoda instrumentálních proměnných
Hausmanův test
Sarganův test
Test slabých instrumentů
3 Příčiny korelace
Chyby měření
Model simultánních rovnic
4 Příklad instrumentů
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 39 / 52
Příčiny korelace Model simultánních rovnic
Úvod
Endogenní proměnná: determinována uvnitř modelu, který nás zajímá.
Exogenní proměnná: determinována mimo model.
Doposud vysvětlující proměnné exogenní.
Pokud vysvětlující proměnné endogenní → možná korelace s
náhodnou složkou.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 40 / 52
Příčiny korelace Model simultánních rovnic
Model nabídky a poptávky
Model simultánních rovnic (všechno endogenní proměnné).
Poptávková křivka:
QD = βDP + D.
Nabídková křivka:
QS = βSP + S.
Rovnováha (rovnice identity):
QD = QS.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 41 / 52
Příčiny korelace Model simultánních rovnic
Endogenita ceny
P
Price
P0
0
Quantity
Q0
D0
S
P
Price
P0
0
Quantity
Q0
D0
S
Q Q
D1
Q1
P1
P
Price
P0
0 Q0
D0
S
Q
D1
Q1
P1
Quantity
Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 42 / 52
Příčiny korelace Model simultánních rovnic
Ekonometrický problém
Údaje o množství a cenách + regrese.
OLS odhady parametrů sklonu × odhady βD nebo βS?
Nejsme schopni odhadnout.
Předpoklad závislosti poptávky na důchodu, I (exogenní):
QD = βDP + γI + D.
Klasické předpoklady pro náhodné složky.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 43 / 52
Příčiny korelace Model simultánních rovnic
Strukturální a redukovaná forma modelu
Strukturální forma modelu: vycházejí z ekonomické teorie.
Redukovaná forma modelu: endogenní proměnné jen na levých
stranách.
Z identity Q = QD = QS:
P =
−γ
βD − βS
I +
S − D
βD − βS
= π1I + 1
Q = βS(π1I + 1) + S
= βSπ1I + βS 1 + S
= π2I + 2.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 44 / 52
Příčiny korelace Model simultánních rovnic
Vychýlenost a nekonzistence OLS odhadu
OLS regrese Q na P a I (poptávková křivka).
Vysvětlující proměnná P a chyby regrese, D, korelovány!
cov(P, D) = E(P D)
= E [(π1I + 1) D]
= E
S − D
βD − βS
D
=
−σ2
D
βD − βS
= 0,
Aplikace přímého OLS odhadu na poptávkovou (i nabídkovou křivku)
→ vychýlené a nekonzistentní odhady.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 45 / 52
Příčiny korelace Model simultánních rovnic
Odhad parametrů redukované formy
Chyby regrese redukované formy: klasické předpoklady.
Jediná vysvětlující proměnná: exogenní proměnná ⇒ OLS je BLUE.
π1 a π2 × jaké jsou odhady parametrů strukturální formy modelu?
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 46 / 52
Příčiny korelace Model simultánních rovnic
Vztah strukturálních a redukovaných parametrů
Někdy možné koeficienty redukované formy použít k odhadu
koeficientů strukturální formy.
V našem příkladu: π2 = βSπ1 →
βS =
π2
π1
.
Postup = tzv. nepřímé nejmenší čtverce (indirect least squares).
Pokud rovnice přesně identifikovatelná, další možnosti
přeidentifikovatelnost a neidentifikovatelnost.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 47 / 52
Příčiny korelace Model simultánních rovnic
Ilustrace identifikovatelnosti
0 Quantity
(a)
Q
P
Price
0 Quantity
(b)
Q
P
Price
D
D
D
D
S
S
S
S
S1
D1
S3
S2
D3
D2
0 Quantity
(c)
Q
P
Price0 Quantity
(e)
Q
P
Price
0 Quantity
(d)
Q
P
Price
D
S1
D5
S
S5
S4
S3
S2
D3
D1
D2
D4
Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 48 / 52
Příčiny korelace Model simultánních rovnic
Vztah k IV estimátoru
Metoda nepřímých nejmenších čtverců v našem případě = IV odhad
nabídkové křivky s I jako instrumentem (snadno odvoditelné).
Do skupiny IV estimátorů: dvoustupňová metoda nejmenších čtverců
(two-stage least squares – TSLS), pro přeidentifikovatelné rovnice v
rámci modelu simultánních rovnic.
Nexistuje způsob, jak s využitím estimátoru nepřímých nejmenších
čtverců získat odhad parametru βD!
Proč? Důchod nevystupuje v křivce nabídky → pokud máme exogenní
proměnnou, která není obsažena v některé z rovnicí, lze ji použít jako
instrumentální proměnnou pro tuto rovnici.
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 49 / 52
Příklad instrumentů
Obsah tématu
1 Nezávislá náhodná vysvětlující proměnná
2 Korelovaná náhodná vysvětlující proměnná
Metoda instrumentálních proměnných
Hausmanův test
Sarganův test
Test slabých instrumentů
3 Příčiny korelace
Chyby měření
Model simultánních rovnic
4 Příklad instrumentů
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 50 / 52
Příklad instrumentů
Model výnosů ze vzdělání
Returns to schooling.
Závisle proměnná Y = důchod, a vysvětlující proměnné X = počet
let vzdělávání ve škole a další vysvětlující proměnné (např. pracovní
zkušenosti, věk, typ zaměstnání apod.).
Pravděpodobná korelace X s náhodnou složkou – osobní kvality
jednotlivce (talent, štěstí apod.) v náhodné složce ovlivňují délku
vzdělávání.
OLS vychýlený!
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 51 / 52
Příklad instrumentů
Přístupy k řešení
První přístup: nalezení proxy proměnných (např. testy inteligence).
Druhý přístup: metoda instrumentálních proměnných.
Instrumenty: charakteristiky rodičů nebo sourozenců (ovlivňuje
rozhodování o počtu let vzdělání × není přímý vliv na příjem),
geografické místo, kde daná osoba žije (komunita, kde je vysoká
škola).
Základy ekonometrie (ZAEK) VII. Instrumentální proměnné Podzim 2015 52 / 52