Základy ekonometrie
VIII. Modely kvalitativních a omezených vysvětlovaných proměnných
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 1 / 62
Obsah tématu
1 Lineární pravděpodobnostní model
2 Logit model
3 Probit model
4 Modely multinomiální volby
Multinomiální probit
Multinomiální logit
Podmíněný logit
Uspořádaný probit
5 Tobit model
6 Poissonův model
7 Modely trvání
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 2 / 62
Úvod
Umělé vysvětlující proměnné.
Umělé vysvětlované proměnné.
Kategoriální vysvětlované proměnné.
Omezené vysvětlované proměnné.
Vysvětlované proměnné vyjadřující počet.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 3 / 62
Lineární pravděpodobnostní model
Obsah tématu
1 Lineární pravděpodobnostní model
2 Logit model
3 Probit model
4 Modely multinomiální volby
Multinomiální probit
Multinomiální logit
Podmíněný logit
Uspořádaný probit
5 Tobit model
6 Poissonův model
7 Modely trvání
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 4 / 62
Lineární pravděpodobnostní model
Motivace
Lineární regresní model:
Yi = α + βXi + i .
Y = 1 rodina vlastní dům (0 jinak); X příjem rodiny
Podmíněná pravděpodobnost: E(Yi |Xi )
E(Yi |Xi ) = α + βXi .
Pi = pravděpodobnost vlastnictví domu (Yi = 1); (1 − Pi ) =
pravděpodobnost Yi = 0.
E(Yi ) = 0(1 − Pi ) + 1(Pi ) = Pi ,
E(Yi |Xi ) = α + βXi = Pi .
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 5 / 62
Lineární pravděpodobnostní model
Problémy
Nenormalita rozdělení i (Bernoulliho rozdělení) → není problém.
i prav.
Yi = 1 1 − α − βXi Pi
Yi = 0 −α − βXi (1 − Pi )
Heteroskedasticita rozptylu náhodných složek: var( i ) = Pi (1 − Pi ) a
Pi = E(Yi |Xi ) = α + βXi → WLS s transformací dělením
E(Yi |Xi )[1 − E(Yi |Xi )] = Pi (1 − Pi ) =
√
wi .
(OLS regrese + Yi jako odhad E(Yi |Xi ) → wi = Yi (1 − Yi ))
Nesplnění 0 ≤ E(Yi |X) ≤ 1.
Zpochybnění R2 jako měřítko kvality vyrovnání (obvykle velmi nízké).
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 6 / 62
Lineární pravděpodobnostní model
Neomezený LPM
Y
0
X
LPM (unconstrained)
1
Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 7 / 62
Lineární pravděpodobnostní model
Omezený LPM
Y
0
X
LPM (constrained)1
Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 8 / 62
Lineární pravděpodobnostní model
LPM s vyšším R2
0
X
LPM
1
B
A
Y
Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 9 / 62
Lineární pravděpodobnostní model
Interpretace a zásadní problém
Parametry: marginální vliv závisle proměnné na pravděpodobnost
vysvětlované proměnné.
Neatraktivní vlastnost: Pi = E(Y = 1|X) roste lineárně s X!
Příklad vlastnictví domů: β = 0.10 ⇒ s růstem X o jednotku (1000$)
roste pravděpodobnost o 10 %.
Rozumné pro důchod: 8000$, 10000$, 18000$, 22000$?
Raději Pi nelineárně vztažené k Xi :
1 S růstem Xi růst Pi = E(Y = 1|X) × v hranicích 0 − 1.
2 Nelineární vztah Pi a Xi (zpomalený pokles k nule pro klesající Xi a
zpomalený růst k jedničce pro rostoucí Xi ).
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 10 / 62
Lineární pravděpodobnostní model
Kumulativní distribuční funkce
P
0
X
–
CDF
1
∞ ∞
Zdroj: Gujarati, Porter (2009) – Basic econometrics.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 11 / 62
Logit model
Obsah tématu
1 Lineární pravděpodobnostní model
2 Logit model
3 Probit model
4 Modely multinomiální volby
Multinomiální probit
Multinomiální logit
Podmíněný logit
Uspořádaný probit
5 Tobit model
6 Poissonův model
7 Modely trvání
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 12 / 62
Logit model
Motivace
Příklad vlastnictví domu:
Pi = E(Y = 1|Xi ) =
1
1 + e−(α+βXi )
(Kumulativní) logistická funkce:
Pi =
1
1 + e−Zi
=
eZi
1 + eZi
,
kde Zi = α + βXi .
Splňuje naše požadavky! × nelze OLS (místo toho ML odhad –
logistické rozdělení i ).
1 − Pi =
1
1 + eZi
.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 13 / 62
Logit model
Podíl šancí
Podíl šancí:
Pi
1 − Pi
=
1 + eZi
1 + e−Zi
= eZi
Interpretace pro příklad vlastnictví domů?
Přirozený logaritmus:
Li = ln
Pi
1 − Pi
= Zi = α + βXi .
L = logit ⇒ logit model.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 14 / 62
Logit model
Vlastnosti logitu
1 P mezi 0 a 1 × logit neomezen.
2 L lineární v X × pravděpodobnosti ne!
3 Počet vysvětlujících proměnných dle libosti.
4 Logit zvyšující se hodnotou (záporný) pro klesající podíl šancí z 1 do 0
a růst do nekonečna (kladný) pro růst podílu šancí z 1 do nekonečna.
5 Interpretace β: změna L (logaritmu podílu šancí) pro jednotkovou
změnu X.
6 Pro danou úroveň příjmu, X∗, možný výpočet pravděpodobnosti
vlastnictví domu (nejen podíl šancí).
7 Oproti LPM: logaritmus podílu šancí lineárně vztažený k Xi .
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 15 / 62
Logit model
Logit model – interpretace výsledků
Značení Koop (jednoduchá regrese).
Mezní vliv X na pravděpodobnost volby 1 (na základě derivace):
exp(βXi )
1 + exp(βXi )
1
1 + exp(βXi )
β.
Podíl šancí:
Pr(Yi = 1)
Pr(Yi = 0)
=
exp(βXi )
1 + exp(βXi )
1
1 + exp(βXi )
= exp(βXi ).
Mezní vliv X na logaritmus podílu šancí: β.
Vliv jednotkové změny X na podíl šancí: exp(β).
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 16 / 62
Logit model
Maximálně věrohodný odhad
Značení Koop (jednoduchá regrese).
L(β) = p(Y1, . . . , YN) =
N
i=1
p (Yi ) .
Logit:
L(β) =
N
i=1
exp(βXi )
1 + exp(βXi )
Yi
1
1 + exp(βXi )
1−Yi
.
Robustní odhad rozptylů (možný problém heteroskedasticity).
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 17 / 62
Logit model
Příklad – mimomanželské poměry
Fair (1978), datový soubor affair.gdt:
AFFAIR = 1 pokud měl jednotlivec tento druh poměru (= 0 jinak);
MALE = 1 pokud je jednotlivec mužem (= 0 jinak);
YEARS je počet let manželství daného jednotlivce;
KIDS = 1 pokud má jednotlivec děti z manželství (= 0 jinak);
RELIG = 1 pokud se jednotlivec pokládá za nábožensky založeného;
EDUC je počet ukončených let vzdělání;
HAPPY = 1 pokud se jednotlivec cítí v manželství šťastný (= 0 jinak).
Užitečná funkce v gretlu: $coeff (matice koeficientů odhadu).
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 18 / 62
Logit model
Logit – mimomanželské poměry
Logit Podíl šancí Logit (robust)
p-hodn. 95% int. p-hodn.
Proměnná Koef. βj = 0 spol. Koef. Koef. βj = 0
Konstanta -1.29 0.07 [-2.71;0.13] — -1.29 0.09
MALE 0.25 0.26 [-0.18;0.67] 1.28 0.25 0.27
YEARS 0.05 0.03 [0.01;0.09] 1.05 0.05 0.03
KIDS 0.44 0.12 [-0.12;1.00] 1.55 0.44 0.13
RELIG -0.89 0.00 [-1.32;-0.47] 0.41 -0.89 0.00
EDUC 0.01 0.75 [-0.07;0.10] 1.01 0.01 0.75
HAPPY -0.87 0.00 [-1.28;-0.46] 0.42 -0.87 0.09
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 19 / 62
Logit model
Skóringové modely
Pr(Yi = 1): pravděpodobnost splacení úvěru.
Pr(Yi = 0): pravděpodobnost nesplacení úvěru.
Logit: charakteristiky žadatelů.
Odhad → predikční schopnosti modelu.
Rozdělení na dobré a špatné klienty → „cutoff“ hranice (C) +
odpovídající skóre .
Chyba prvního (α) a druhého druhu (β) → sensitivita a specificita
modelu.
Diskriminační síla modelu – ROC křivka, Cumulative Accuracy Profile
(CAP) křivka, Giniho koeficient, Pietra koeficient, Brier skóre,
Kolmogorov-Smirnov test apod.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 20 / 62
Logit model
ROC křivka
Receiver Operating Characteristic
Poměr úspěšnosti (hit rate):
HR(C) =
H(C)
ND
.
H(C) počet špatných klientů se skóre menším než C; ND celkový
počet špatných klientů ⇒ (1 − α).
Poměr falešného varování (false alarm rate):
FAR(C) =
F(C)
NND
.
F(C) počet dobrých klientů se skóre menším než C; NND celkový
počet dobrých klientů ⇒ (β).
ROC křivka: zobrazení FAR(C) vzhledem k HR(C) pro různá C.
Obsah plochy pod ROC křivkou = pravděpodobnost, že špatní klienti
mají nižší skóre než dobří klienti.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 21 / 62
Logit model
Receiver Operating Characteristic křivka pro umělá data
0 0.25 0.5 0.75 1
0
0.25
0.5
0.75
1
ˆβ
1 − ˆα
Area under the
ROC curve = 0.7188
Zdroj: Winkelmann, Boes (2006) - Analysis of Microdata.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 22 / 62
Logit model
Číselné charakteristiky diskriminační síly modelu
Z obrázku: A obsah pod ROC křivkou.
Giniho koeficient – poměr plochy mezi ROC křivkou a diagonálou
jednotkového čtverce:
GC = 2A − 1
GC ∈ (0, 1) → v praxi uspokojivé 0.60
Pietra index – obsah plochy největšího trojúhelníku vepsaného mezi
ROC křivku a diagonálu jednotkového čtverce:
PI =
√
2
4
max
C
|HR(C) − FAR(C)|.
Kolmogorovův-Smirnovův test distribučních funkcí HR a FAR.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 23 / 62
Probit model
Obsah tématu
1 Lineární pravděpodobnostní model
2 Logit model
3 Probit model
4 Modely multinomiální volby
Multinomiální probit
Multinomiální logit
Podmíněný logit
Uspořádaný probit
5 Tobit model
6 Poissonův model
7 Modely trvání
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 24 / 62
Probit model
Motivace
Příklad vlastnictví domů: rozhodnutí o vlastnictví závisí na
nepozorovaném rozdílů užitků (latentní proměnná):
Y ∗
i = U1i − U0i ;
Y ∗
i = α + β1X1i + β2X2i + . . . + βkXki + i ;
Y ∗
i = βXi + i .
Pozorujeme rozhodnutí:
Yi = 1 pokud Y ∗
i ≥ 0,
Yi = 0 pokud Y ∗
i < 0.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 25 / 62
Probit model
Probit funkce
Pr(Yi = 1) = Pr(Y ∗
i ≥ 0) = Pr(βXi + i ≥ 0) = Pr( i ≥ −βXi ).
Normální rozdělení náhodné složky.
Kumulativní distribuční funkce: Pr(Z ≤ z).
Z standardizovaná normální náhodná veličina (tzn. N(0, 1)): Φ(z).
Probit model:
Pr(Yi = 1) = Pr( i ≥ −βXi ) = 1 − Φ(−βXi ) = Φ(βXi ).
Pr(Yi = 0) = 1 − Pr(Yi = 1) ⇒ Pr(Yi = 0) = Φ(−βXi ).
Probit funkce = inverzní funkce k distribuční funkci: Φ−1(pi ).
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 26 / 62
Probit model
Funkce pravděpodobnosti v probit modelu
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−4 −2 0 2 4
x′
iβ
πi = Φ(x′
iβ)
Zdroj: Winkelmann, Boes (2006) - Analysis of Microdata.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 27 / 62
Probit model
Mezní vlivy
„Jak se změní pravděpodobnost volby 1, pokud změníme X?“.
Mezní vliv X na pravděpodobnost volby 1 → derivace Φ(βX):
φ(βX)β
φ(·) = funkce hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení
Zobecnění pro více regresorů.
Mezní vlivy pro průměrné hodnoty vysvětlujících proměnných:
φ α + β1X1 + . . . + βkXk βj.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 28 / 62
Probit model
Diskrétní a mezní změny v nelineárních modelech
x′
iβ
πi = G(x′
iβ)
x′
iβ x′
iβ + ∆xilβl
G(x′
iβ + ∆xilβl)
−G(x′
iβ) [g(x′
iβ)βl]∆xil
Zdroj: Winkelmann, Boes (2006) - Analysis of Microdata.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 29 / 62
Probit model
ML odhad
Pro jediný parametr (snadné zobecnění):
L(β) = p(Y1, . . . , YN) =
N
i=1
p (Yi ) .
Probit:
L(β) =
N
i=1
p(Yi ) =
N
i=1
Φ(βXi )Yi
Φ(−βXi )1−Yi
.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 30 / 62
Probit model
Probit a logit
x′
iβ
πi
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−4 −2 0 2 4
normal distribution (σ2 = 1)
logistic distribution
normal distribution (σ2 = 2.56)
Zdroj: Winkelmann, Boes (2006) - Analysis of Microdata.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 31 / 62
Probit model
Probit – mimomanželské poměry
Probit Mezní ef. Probit (robust)
p-hodn. 95% int. p-hodn.
Proměnná Koef. βj = 0 spol. Koef. Koef. βj = 0
Konstanta -0.74 0.08 [-1.56;0.09] — -0.74 0.11
MALE 0.15 0.23 [-0.10;0.40] 0.05 0.15 0.24
YEARS 0.03 0.03 [0.00;0.05] 0.01 0.03 0.02
KIDS 0.25 0.12 [-0.07;0.57] 0.07 0.25 0.13
RELIG -0.51 0.00 [-0.75;-0.27] -0.15 -0.51 0.00
EDUC 0.01 0.81 [-0.04;0.06] 0.00 0.01 0.81
HAPPY -0.51 0.00 [-0.76;-0.27] -0.17 -0.51 0.09
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 32 / 62
Modely multinomiální volby
Obsah tématu
1 Lineární pravděpodobnostní model
2 Logit model
3 Probit model
4 Modely multinomiální volby
Multinomiální probit
Multinomiální logit
Podmíněný logit
Uspořádaný probit
5 Tobit model
6 Poissonův model
7 Modely trvání
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 33 / 62
Modely multinomiální volby
Motivace
Yi hodnoty 0, 1, . . . , J.
Volba alternativy s nejvyšším užitkem.
Základní alternativa, j = 0 (benchmark)
Y ∗
ji = Uji − U0i .
Nepozorovaná diference užitků × pozorovaná volba.
Y ∗
ji = αj + βj1X1i + βj2X2i + . . . + βjkXki + ji .
Vysvětlující proměnné bez indexu j! (variabilita jen mezi jednotlivci +
lze „obejít“)
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 34 / 62
Modely multinomiální volby Multinomiální probit
Obsah tématu
1 Lineární pravděpodobnostní model
2 Logit model
3 Probit model
4 Modely multinomiální volby
Multinomiální probit
Multinomiální logit
Podmíněný logit
Uspořádaný probit
5 Tobit model
6 Poissonův model
7 Modely trvání
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 35 / 62
Modely multinomiální volby Multinomiální probit
Motivace
Náhodné složky: normální rozdělení.
Problém: ji vzájemně korelované.
Potřeba odhadů všech možných korelací.
Pokud více alternativ → problém s přesností odhadu.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 36 / 62
Modely multinomiální volby Multinomiální logit
Obsah tématu
1 Lineární pravděpodobnostní model
2 Logit model
3 Probit model
4 Modely multinomiální volby
Multinomiální probit
Multinomiální logit
Podmíněný logit
Uspořádaný probit
5 Tobit model
6 Poissonův model
7 Modely trvání
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 37 / 62
Modely multinomiální volby Multinomiální logit
Motivace
Vhodný i pro více alternativ.
Pravděpodobnost i-tého jednotlivce pro volbu j:
Pr(Yi = j) =
exp(βjXi )
1 + J
s=1 exp(βsXi )
.
Zobecnění pro vícenásobnou regresi (v rámci exponentu).
Odhad j regresních rovnic.
Mezní vliv na základě derivace.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 38 / 62
Modely multinomiální volby Multinomiální logit
Nezávislost irelevantních alternativ
Předpoklad použití!
Podíly šancí se s přidáním alternativy nemění.
Dopravní příklad: auto (Y = 0), věřejná doprava (Y = 1), kolo
(Y = 2).
Porušení: auto (Y = 0), červený autobus (Y = 1), modrý autobus
(Y = 2).
Řešení skrze vnořený (nested) logit model: nejdříve auto × hromadná
doprava → po volbě hromadné dopravy logit pro červený × modrý
autobus.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 39 / 62
Modely multinomiální volby Multinomiální logit
Příklad – poptávka po crackerech
Paap a Franses (2000), datový soubor cracker.gdt:
N = 136, domácností, čtyři druhy crackerů.
Nezáleží na volbě základní alternativy!
Užitečná funkce v gretlu: tvorba matice z vysvětlujících proměnných a
maticové násobení → tvorba proměnné z vektoru: v konzoli series
promenna=vektor.
Pro výpočty jednotlivých pravděpodobností volby a popisných
statistik.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 40 / 62
Modely multinomiální volby Multinomiální logit
Multinomiální logit – crackery
Stř. hodnota p-hodnota pro βj = 0 95% int. spol.
Sunshine
α1 -10.06 0.15 [-23.59;3.46]
β11 -7.98 0.01 [0.77;24.02]
β12 12.39 0.04 [0.77;24.02]
β13 0.37 0.91 [-5.83;6.57]
β14 4.83 0.36 [-5.54;15.20]
Keebler
α2 -2.53 0.73 [-16.90;11.85]
β21 -3.10 0.30 [-9.01;2.81]
β22 -0.60 0.92 [-12.99;2.81]
β23 1.15 0.70 [-4.67;6.97]
β24 5.33 0.25 [-3.66;14.32]
Nabisco
α3 -7.01 0.09 [-15.09;1.07]
β31 -1.38 0.48 [-5.23;2.48]
β32 5.57 0.12 [-1.37;12.50]
β33 0.86 0.65 [-2.84;4.56]
β34 4.72 0.06 [-0.23;9.67]
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 41 / 62
Modely multinomiální volby Multinomiální logit
Multinomiální logit – predikované pravděpodobnosti
Pravděpodobnost nákupu Stř. hodnota Sm. odch. Min. Max.
Sunshine 0.08 0.11 0.01 0.64
Keebler 0.07 0.03 0.02 0.16
Nabisco 0.60 0.10 0.31 0.80
Private label 0.25 0.11 0.02 0.49
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 42 / 62
Modely multinomiální volby Podmíněný logit
Obsah tématu
1 Lineární pravděpodobnostní model
2 Logit model
3 Probit model
4 Modely multinomiální volby
Multinomiální probit
Multinomiální logit
Podmíněný logit
Uspořádaný probit
5 Tobit model
6 Poissonův model
7 Modely trvání
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 43 / 62
Modely multinomiální volby Podmíněný logit
Motivace
Model:
Y ∗
ji = αj + βj1X1i + βj2X2i + . . . + βjkXki + ji .
Multinomiální logit a pravděpodobnost:
Pr(Yi = j) =
exp(βjXi )
1 + J
s=1 exp(βsXi )
.
Podmíněný logit a pravděpodobnost:
Pr(Yi = j) =
exp(βXji )
1 + J
s=1 exp(βXsi )
.
Mezní vlivy(efekty):
∂Pr(Yi = j)
∂Xji
.
Přechod na multinomiální logit: Zi × Dji .
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 44 / 62
Modely multinomiální volby Uspořádaný probit
Obsah tématu
1 Lineární pravděpodobnostní model
2 Logit model
3 Probit model
4 Modely multinomiální volby
Multinomiální probit
Multinomiální logit
Podmíněný logit
Uspořádaný probit
5 Tobit model
6 Poissonův model
7 Modely trvání
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 45 / 62
Modely multinomiální volby Uspořádaný probit
Motivace
Krátce: dotazníková šetření, vysvětlované proměnné kvalitativní
(dobrý, průměrný, slabý), ale uspořádatelné.
Klíčový vztah mezi (vektory) y∗ a y (yi má hodnoty j = 1, . . . , J; J je
počet uspořádaných alternativ):
yi = j pokud γj−1 < y∗
i ≤ γj,
γ = (γ0, γ1, . . . , γJ) je vektor parametrů, kde γ0 ≤ . . . ≤ γJ.
Normalita regresního modelu pro latentní data:
Pr(yi = j|β, γ) = Pr(γj−1 < y∗
i ≤ γj|β, γ)
= Pr(γj−1 < xi β + i ≤ γj|β, γ)
= Pr(γj−1 − xi β < i ≤ γj − xi β|β, γ).
i z N(0, 1): Pr(yi = j|β, γ) = Φ(γj − xi β) − Φ(γj−1 − xi β)
Obvyklé řešení problému identifikace: γ0 = −∞, γ1 = 0 a γJ = ∞.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 46 / 62
Tobit model
Obsah tématu
1 Lineární pravděpodobnostní model
2 Logit model
3 Probit model
4 Modely multinomiální volby
Multinomiální probit
Multinomiální logit
Podmíněný logit
Uspořádaný probit
5 Tobit model
6 Poissonův model
7 Modely trvání
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 47 / 62
Tobit model
Motivace
Závisle proměnná cenzorovaná na hodnotě nula:
Y ∗
i = α + β1X1i + β2X2i + . . . + βkXki + i .
Pozorujeme Yi :
Yi = Y ∗
i pokud Y ∗
i > 0,
Yi = 0 pokud Y ∗
i ≤ 0.
Příklad: závislost požadovaných investic na charakteristikách firmy.
Obvyklá interpretace výsledků.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 48 / 62
Tobit model
Odhady – OLS a tobit
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Y
X
pozorovani
OLS odhad
skutecna primka vyrovnani
Umělý datový soubor tobit.gdt.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 49 / 62
Poissonův model
Obsah tématu
1 Lineární pravděpodobnostní model
2 Logit model
3 Probit model
4 Modely multinomiální volby
Multinomiální probit
Multinomiální logit
Podmíněný logit
Uspořádaný probit
5 Tobit model
6 Poissonův model
7 Modely trvání
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 50 / 62
Poissonův model
Motivace
Práce s daty vyjadřujícími počet.
Nenormalita rozdělení (není asymptoticky problém) ⇒ LRM a OLS ×
lepší modely.
Poissonův regresní model: klasické předpoklady s Poissonovým
rozdělením vysvětlované proměnné.
E(Yi ) = λi ;
E(Yi ) = λi = βXi ;
E(Yi ) = λi = exp(βXi ).
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 51 / 62
Poissonův model
Mezní vlivy
Vícenásobná regrese:
E(Yi ) = λi = exp(α + β1X1i + β2X2i + . . . + βkXki ).
Mezní vliv:
dE(Yi )
dXji
= βj exp(α + β1X1i + β2X2i + . . . + βkXki ).
Podíl relativních incidencí:
exp(α + β1X1 + . . . + βj(Xj + 1) + . . . + βkXk)
exp(α + β1X1 + . . . + βjXj + . . . + βkXk)
= exp(βj).
Logaritmus vysvětlující proměnné ⇒ mezní vliv je exp(β):
E(Yi ) = λi = exp(β ln(Xi )) = Xi exp(β).
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 52 / 62
Poissonův model
Testování přerozptýlenosti
Pro vhodnost Poissonova modelu × jinak např. negativní binomiální
regresní model.
Poissonův regresní model: E(Yi ) = λi ; var(Yi ) = λi .
H0 : E(Yi ) = var(Yi ) → Cameronův-Trivediho test:
1 Odhad Poissonova modelu; vyrovnané hodnoty λi .
2 Nová proměnná:
Zi =
Yi − λi
2
− Yi
λi
√
2
.
3 Při platnosti H0 má Zi nulovou střední hodnotu.
4 Regrese Z na úrovňovou konstantu + t-test.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 53 / 62
Poissonův model
Příklad – poptávka po zdravotní péči
Vysvětlení faktorů ovlivňujících poptávku po zdravotní péči mezi
seniory.
Deb a Trivedi (1987); data o N = 4406 Američanů ve věku 66 a více
let; deb_trivedi.gdt.
DRVISIT = počet návštěv u lékaře v minulém roce;
FAMINC = rodinný příjem (v desítkách tisíc dolarů);
MALE = 1 pokud je jednotlivec muž (= 0 jinak);
EXCHLTH = 1 pokud osoba cítí, že má výborné zdraví (= 0 jinak);
POORHLTH = 1 pokud osoba cítí, že má chatrné zdraví (= 0 jinak);
AGE věk respondenta (v letech dělený stovkou);
MARRIED = 1 pokud je osoba ženatá nebo vdaná (= 0 jinak);
PRIVINS = 1 pokud má osoba soukromé zdravotní pojištění (= 0
jinak).
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 54 / 62
Poissonův model
Poissonův model – poptávka po zdravotní péči.
Proměnná Koef. p-hodnota pro βj = 0 95% int. spol. IRR*
Konstanta 1.78 0.00 [1.62;1.94] —
FAMINC 0.004 0.08 [-0.001;0.008] 1.004
MALE -0.09 0.00 [-0.11;-0.06] 0.92
EXCHLTH -0.49 0.00 [-0.54;-0.43] 0.62
POORHLTH 0.53 0.00 [0.49;0.56] 1.69
AGE -0.03 0.00 [-0.05;-0.01] 0.97
MARRIED -0.06 0.00 [-0.03;-0.09] 0.94
PRIVINS 0.29 0.00 [0.26;0.32] 1.33
*
Incidence rate ratio – podíl relativních incidencí.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 55 / 62
Modely trvání
Obsah tématu
1 Lineární pravděpodobnostní model
2 Logit model
3 Probit model
4 Modely multinomiální volby
Multinomiální probit
Multinomiální logit
Podmíněný logit
Uspořádaný probit
5 Tobit model
6 Poissonův model
7 Modely trvání
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 56 / 62
Modely trvání
Motivace
Duration models – data vyjadřující množství času, který uběhne před
tím, než nastane nějaká událost (např. doba než nezaměstnaný
nalezne práci popř. samotná doba nezaměstnanosti, čas mezi dvěma
nákupy jednoho výrobku, délka stávky).
V řadě případů data omezena zprava – v době měření událost ještě
nenastala (např. pozorovaná osoba je ještě nezaměstnaná, spotřebitel
ještě produkt podruhé nekoupiů, pozorovaná stávka ještě neskončila)
→ potřeba zakomponovat v rámci odhadové metody.
Často data omezena jen na pozorování, kdy událost nastala před
dobou měření – potřeba zohlednění tohoto omezení.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 57 / 62
Modely trvání
Hazard rate
Otázka doba trvání, pokud ještě událost nenanastala → riziková
funkce měří šanci (pravděpodobnost), že trvání bude ukončeno nyní,
za podmínky, že nebylo ukončeno v minulosti (např. šance nalezení
práce, zakoupení produktu, ukončení stávky).
Modely trvání vyjádřeny skrze „hazard rate“ → ekonometrická
otázka odhadu této rizikové funkce z pozorovaných dat trvání.
Data n trvání: y1, . . . , yn; předpoklad, že pocházejí z náhodného
výběru z populace s funkcí hustoty f a s odpovídající kumulativní
distribuční funkcí F.
Funkce přežití (survival function) S(t) a riziková funkce λ(t):
S(t) = P[yi > t] = 1 − F(t)
λ(t) = lim
δ↓0
P[t < yi ≤ t + δ|yi > t]
δ
.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 58 / 62
Modely trvání
Hazard rate (pokračování)
Odhad λ místo f .
λ(t) =
f (t)
S(t)
= −
d log(S(t))
dt
,
a lze odvodit
f (t) = λ(t)S(t), S(t) = e−
t
0
λ(s)ds
.
Modely rizikové funkce: dle požadavku na konstantnost, růst nebo
pokles pravděpodobnosti realizace události v čase.
Exponential hazard model: konstantní riziková funkce (pro všechna t)
λ(t) = γ
odpovídá funkci hustoty f (t) = γe−γt, tedy exp. rozdělení.
Weibull hazard model s Weibullovým rozdělením f (t) = αγtα−1e−γtα
λ(t) = αγtα−1
.
Růst pro α > 1, pokles pro α < 1 a konstantnost pro α = 1.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 59 / 62
Modely trvání
Hazard rate (dokončení)
Log-normální rozdělení, kde logaritmus trvání log(yi ) má normální
rozdělení se střední hodnotou µ a rozptylem σ2
λ(t) =
φ log(t)−µ
σ
σt 1 − Φ log(t)−µ
σ
Riziková funkce nejdříve roste a následně klesá s bodem obratu
daným řešením rovnice tσλ(t) = σ + (log(t) − µ)/σ.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 60 / 62
Modely trvání
Proporční hazard model
Riziková funkce různá pro jednotlivce.
Předpokládá individuální rizikové funkce jako λi (t) = gi λ(t), kde
faktor gi > 0 odpovídá individuálně specifickým vlivům.
Pro gi = exi β, kde xi jsou proměnné ovlivňující rizikovou funkci
λi (t) = exi β
λ(t).
Základní riziková funkce λ(t) obvykle obsahuje škálovací parametr,
tudíž potřeba mít xi bez úrovňové konstanty.
Lineární závislost logaritmu rizikové funkce:
log(λi (t)) = xi β + log(λ(t)).
Podobné LRM, ale logaritmus základní rizikové funkce je
nepozorovatelný; parametr β měří mezní relativní vliv vysvětlující
proměnné na rizikovou funkci:
β =
∂ log(λi (t))
∂xi
=
1
λi (t)
∂λi (t)
∂xi
.
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 61 / 62
Modely trvání
Rozšíření
Kombinace s modely panelových dat → probit model náhodných vlivů.
Varianty obecných logit a probit modelů.
Treatment effects models (modely efektů léčby): z medicíny × i v
ekonomii (např. efekt programu rekvalifikací či jiných politik).
Základy ekonometrie (ZAEK) VIII. Kvalitativní a omezené proměnné Podzim 2015 62 / 62