Základy ekonometrie
IX. Analýza jednorozměrných časových řad
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 1 / 72
Obsah tématu
1 Trendy v časových řadách
2 Autokorelační funkce
3 Autoregresní model
AR(1) model
Rozšíření AR(1) modelu
Testování v AR(p) modelu s trendem
4 Definice stacionarity
5 Modelování volatility
Volatilita v cenách aktiv (úvod)
ARCH modely
6 MA a ARMA modely
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 2 / 72
Úvod
Specifika práce s časovými řadami a problémy:
1 Vliv časově zpožděných proměnných.
2 Regrese s nestacionárními proměnnými → zdánlivé regrese (spurious
regression).
Analýza vlastností časových řad.
Autoregresní modely → test jednotkového kořene (test stochastického
trendu).
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 3 / 72
Základní značení
Yt pro t = 1, . . . , T.
Zpožděné proměnné o p období: Yt−p pro t = p + 1, . . . , T.
Význam řada vs. pozorování vychází z kontextu.
Zpožděné Y Zpožděné Y
Číslo řádku Y Zpožděné Y o dvě období o tři období
1 Y4 Y3 Y2 Y1
2 Y5 Y4 Y3 Y2
3 Y6 Y5 Y4 Y3
4 Y7 Y6 Y5 Y4
5 Y8 Y7 Y6 Y5
6 Y9 Y8 Y7 Y6
7 Y10 Y9 Y8 Y7
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 4 / 72
Trendy v časových řadách
Obsah tématu
1 Trendy v časových řadách
2 Autokorelační funkce
3 Autoregresní model
AR(1) model
Rozšíření AR(1) modelu
Testování v AR(p) modelu s trendem
4 Definice stacionarity
5 Modelování volatility
Volatilita v cenách aktiv (úvod)
ARCH modely
6 MA a ARMA modely
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 5 / 72
Trendy v časových řadách
Úvod
Nestacionární řady v regresi → zdánlivá regrese.
Stacionarita × nestacionarita → trend.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 6 / 72
Trendy v časových řadách
Graf časové řady logaritmu osobního důchodu v USA.
6.8
7
7.2
7.4
7.6
7.8
8
8.2
8.4
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
Logaritmusosobníhodůchodu
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 7 / 72
Trendy v časových řadách
Diferencování
Obvyklý způsob stacionarizace řady.
První diference Yt: ∆Yt = Yt − Yt−1.
Řada v logaritmu → diference = tempo růstu.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 8 / 72
Trendy v časových řadách
Graf časové řady změny logaritmu osobního důchodu v
USA
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
Změnalogaritmuosobníhodůchodu
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 9 / 72
Trendy v časových řadách
Korelační vlastnosti časové řady
Korelace mezi pozorováními.
Korelace Yt a Yt−1 (pro osobní důchod) = 0.999716.
Korelace ∆Yt a ∆Yt−1 (pro osobní důchod) = −0.00235.
Nestacionarita a korelace v čase × stacionarita a nízká korelace v čase.
Důležité pro modelování časových řad.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 10 / 72
Autokorelační funkce
Obsah tématu
1 Trendy v časových řadách
2 Autokorelační funkce
3 Autoregresní model
AR(1) model
Rozšíření AR(1) modelu
Testování v AR(p) modelu s trendem
4 Definice stacionarity
5 Modelování volatility
Volatilita v cenách aktiv (úvod)
ARCH modely
6 MA a ARMA modely
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 11 / 72
Autokorelační funkce
Úvod
Autokorelační funkce: autokorelace jako funkce délky zpoždění (p).
rp = corr(Yt, Yt−p).
Prakticky: „vyhození“ prvních p pozorování (teoreticky není třeba u
všech autokorelačních funkcí).
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 12 / 72
Autokorelační funkce
Autokorelační funkce
Délka zpoždění, p Osobní důchod, Y Změna v osobním důchodu, ∆Y
1 0.9997 -0.0100
2 0.9993 0.0121
3 0.9990 0.1341
4 0.9986 0.0082
5 0.9983 -0.1562
6 0.9980 0.0611
7 0.9978 -0.0350
8 0.9975 -0.0655
9 0.9974 0.0745
10 0.9972 0.1488
11 0.9969 0.0330
12 0.9966 0.0363
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 13 / 72
Autokorelační funkce
Význam autokorelace
Y je vysoce korelované v čase × ∆Y tuto vlastnost nemá.
Znalost minulého důchodu → dobrý odhad důchodu dnes × znalost
jen temp růstu.
Y : chování s dlouhou pamětí (long memory).
Y nestacionární × ∆Y stacionární.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 14 / 72
Autokorelační funkce
Parciální autokorelační funkce
Parciální autokorelační funkce: korelace jako funkce délky zpoždění
(p) při zohlednění (očištění) korelací nižších řádů.
Prakticky: koeficient z regrese nezpožděné proměnné na zpožděné
proměnné do požadovaného řádu zpoždění a uchování koeficientu pro
poslední zpožděnou proměnnou (to je příslušný parciální autokorelační
koeficient).
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 15 / 72
Autokorelační funkce
ACF a PACF logaritmu osobního důchodu v USA
-1
-0,5
0
0,5
1
0 2 4 6 8 10 12
zpožděná proměnná
ACF pro Income
+- 1,96/T^0,5
-1
-0,5
0
0,5
1
0 2 4 6 8 10 12
zpožděná proměnná
PACF pro Income
+- 1,96/T^0,5
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 16 / 72
Autokorelační funkce
ACF a PACF změny logaritmu osobního důchodu v USA
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0 2 4 6 8 10 12
zpožděná proměnná
ACF pro d_Income
+- 1,96/T^0,5
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0 2 4 6 8 10 12
zpožděná proměnná
PACF pro d_Income
+- 1,96/T^0,5
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 17 / 72
Autokorelační funkce
Poznámka k použití korelogramu v Gretlu
Výpočty ACF se liší oproti korelačním koeficientům pro časové řady
nezpožděných a zpožděných proměnných.
Při korelacích: odlišné průměry a směrodatné odchylky.
Ve výpočtu ACF: použity stejné průměry a směrodatné odchylky pro
nezpožděnou řadu.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 18 / 72
Autoregresní model
Obsah tématu
1 Trendy v časových řadách
2 Autokorelační funkce
3 Autoregresní model
AR(1) model
Rozšíření AR(1) modelu
Testování v AR(p) modelu s trendem
4 Definice stacionarity
5 Modelování volatility
Volatilita v cenách aktiv (úvod)
ARCH modely
6 MA a ARMA modely
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 19 / 72
Autoregresní model
Úvod
Autokorelační funkce = užitečný nástroj pro souhrn vlastností řady.
Korelace mají svá omezení → preferovaná regrese.
Analýza závislosti řady na svých zpožděných hodnotách →
autoregresní (AR) modely.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 20 / 72
Autoregresní model AR(1) model
Obsah tématu
1 Trendy v časových řadách
2 Autokorelační funkce
3 Autoregresní model
AR(1) model
Rozšíření AR(1) modelu
Testování v AR(p) modelu s trendem
4 Definice stacionarity
5 Modelování volatility
Volatilita v cenách aktiv (úvod)
ARCH modely
6 MA a ARMA modely
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 21 / 72
Autoregresní model AR(1) model
Úvod
Z analýzy autokorelovaných náhodných složek.
AR(1) model:
Yt = α + ρYt−1 + t.
ρ determinuje autokorelační vlastnosti řady (viz problém autokorelace
náhodných složek = stejná odvození).
Ilustrace: ρ = 0, ρ = 0.8 a ρ = 1 (podchycení různých typů chování).
Y je stacionární, pokud |ρ| < 1; nestacionární pro ρ = 1 (jednotkový
kořen) a |ρ| > 1 (nestacionární explozivní vývoj).
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 22 / 72
Autoregresní model AR(1) model
AR(1) časová řada s ρ = 0
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0 20 40 60 80 100
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 23 / 72
Autoregresní model AR(1) model
AR(1) časová řada s ρ = 0.8
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 24 / 72
Autoregresní model AR(1) model
AR(1) časová řada s ρ = 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 20 40 60 80 100
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 25 / 72
Autoregresní model AR(1) model
AR(1) časová řada s ρ = 1
V AR(1) modelu: ρ = 1 → Y nestacionární; |ρ| < 1 → Y stacionární.
Y s jednotkovým kořenem: autokorelace blízko jedné a příliš neklesají.
Y s jednotkovým kořenem: dlouhá paměť.
Y s jednotkovým kořenem: trendové chování (hlavně pro nenulové α).
Y s jednotkovým kořenem: ∆Y stacionární → diferenčně stacionární.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 26 / 72
Autoregresní model AR(1) model
Diferencování AR(1) s jednotkovým kořenem
Odečtění Yt−1 z obou stran rovnice:
Yt − Yt−1 = α + ρYt−1 − Yt−1 + t.
Jiný zápis:
∆Yt = α + φYt−1 + t.
φ = ρ − 1 (pro ρ = 1 je φ = 0).
Test φ = 0 ⇒ test jednotkového kořene časové řady.
Stacionarity pro −1 < ρ < 1 ⇒ −2 < φ < 0 podmínka stacionarity.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 27 / 72
Autoregresní model AR(1) model
Model náhodné procházky
Pro ρ = 1 (φ = 0):
Yt = α + Yt−1 + t.
Náhodná procházka (random walk) pro α = 0 × náhodná procházka
s driftem (random walk with drift) pro α = 0.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 28 / 72
Autoregresní model Rozšíření AR(1) modelu
Obsah tématu
1 Trendy v časových řadách
2 Autokorelační funkce
3 Autoregresní model
AR(1) model
Rozšíření AR(1) modelu
Testování v AR(p) modelu s trendem
4 Definice stacionarity
5 Modelování volatility
Volatilita v cenách aktiv (úvod)
ARCH modely
6 MA a ARMA modely
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 29 / 72
Autoregresní model Rozšíření AR(1) modelu
Úvod
Autoregresní model řádu p (pro t = p + 1, . . . , T):
Yt = α + ρ1Yt−1 + . . . + ρpYt−p + t.
Obvyklé odečtení Yt−1:
∆Yt = α + φYt−1 + γ1∆Yt−1 + . . . + γp−1∆Yt−p+1 + t.
Koeficienty sklonu, φ, γ1, . . . , γp−1, jsou funkce ρ1, . . . , ρp z
původního AR(p) modelu.
φ = 0 → AR(p) model Y obsahuje jednotkový kořen.
−2 < φ < 0 → stacionarita.
Obvyklá stacionarizace řady s jednotkovým kořenem na základě
prvních diferencí.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 30 / 72
Autoregresní model Rozšíření AR(1) modelu
Trendy
V regresních modelech nechceme řady s trendy (kromě případu tzv.
kointegrace).
Deterministický trend:
Yt = α + δt + t.
Stochastický trend = řada s jednotkovým kořenem.
Kombinace: Yt = α + ρYt−1 + δt + t.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 31 / 72
Autoregresní model Rozšíření AR(1) modelu
Trendově stacionární AR(1) časová řada (α = 0, ρ = 0.2)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 20 40 60 80 100
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 32 / 72
Autoregresní model Rozšíření AR(1) modelu
Shrnutí
Nestacionární časové řady obsahující jednotkový kořen (stochastický
trend); diferenčně stacionární.
Stacionární časové řady s −2 < φ < 0 v rámci AR(p) modelu;
možnost trendového chování (deterministický trend) → trendově
stacionární.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 33 / 72
Autoregresní model Rozšíření AR(1) modelu
AR(p) model s deterministickým trendem
Obecný model:
∆Yt = α + φYt−1 + γ1∆Yt−1 + . . . + γp−1∆Yt−p+1 + δt + t.
Proč ne původní specifikace?
1 Snadné testování jednotkového kořene (parametr φ = 0).
2 Problém multikolinearity Yt−1, . . . , Yt−p.
Testování v rámci modelu.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 34 / 72
Autoregresní model Rozšíření AR(1) modelu
Příklad – osobní důchod v USA
Tabulka: AR(4) model s deterministickým trendem.
Proměnná OLS odhad t-statistika p-hodnota
Konstanta 0.138 1.279 0.203
Yt−1 -0.018 -1.190 0.236
∆Yt−1 -0.017 -0.217 0.829
∆Yt−2 0.014 0.172 0.863
∆Yt−3 0.130 1.627 0.106
t 0.0001 0.955 0.341
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 35 / 72
Autoregresní model Testování v AR(p) modelu s trendem
Obsah tématu
1 Trendy v časových řadách
2 Autokorelační funkce
3 Autoregresní model
AR(1) model
Rozšíření AR(1) modelu
Testování v AR(p) modelu s trendem
4 Definice stacionarity
5 Modelování volatility
Volatilita v cenách aktiv (úvod)
ARCH modely
6 MA a ARMA modely
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 36 / 72
Autoregresní model Testování v AR(p) modelu s trendem
Testy zahrnující α, γ1, . . . , γp−1 a δ
Určení optimální délky zpoždění.
Krok 1. Volba maximální délky zpoždění, pmax.
Krok 2. Odhad (s využitím OLS) modelu AR(pmax) s deterministickým
trendem; test γpmax−1 = 0.
Krok 3. Odhad AR(pmax − 1) modelu. Test významnosti parametru u
nejvyššího zpoždění.
Krok 4. Opakovaný odhad AR modelů nižšího řádu → AR(p) model, pro který
je γp−1 statisticky významné (nebo „dojdou“ zpoždění).
Krok 5. Test zanedbání deterministického trendu: H0 : δ = 0.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 37 / 72
Autoregresní model Testování v AR(p) modelu s trendem
Příklad – osobní důchod v USA
Tabulka: AR(1) model.
Proměnná OLS odhad t-statistika p-hodnota
Konstanta 0.039 2.682 0.008
Yt−1 -0.004 -2.130 0.035
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 38 / 72
Autoregresní model Testování v AR(p) modelu s trendem
Výběr modelu vs. průměrování modelů
Kritika postupu sekvenčního výběru.
Možnost zamítnutí „lepšího modelu“.
Prezentace výsledků jen jediného modelu?
Průměrování modelů (hlavně bayesovský přístup); různé váhy dle
kvality vyrovnání dat.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 39 / 72
Autoregresní model Testování v AR(p) modelu s trendem
Informační kritéria a výběr modelu
Použitelné pro jakýkoli model, hlavně model časových řad (i
korigovaný koeficient determinace jako informační kritérium).
Typická podoba:
IC(θ) = 2 ln[L(θ)] − g(p).
p je počet koeficientů modelu a g(p) je rostoucí funkce p.
θ: odhady OLS nebo ML.
Hodnota věrohodnostní funkce podobný vývoj jako R2 (z hlediska
přidávání dalších proměnných).
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 40 / 72
Autoregresní model Testování v AR(p) modelu s trendem
Typická informační kritéria
Bayesovské informační kritérium (BIC) resp. Schwarzovo kritérium:
BIC(θ) = 2 ln[L(θ)] − p ln(T).
Akaikeho informační kritérium (AIC):
AIC(θ) = 2 ln[L(θ) − 2p].
Hannanovo-Quinnovo kritérium (HQ):
HQ(θ) = 2 ln[L(θ)] − pcHQ ln[ln(N)],
cHQ je konstanta (doporučené různé volby); HQ je konzistentní
kritérium volby modelu pro cHQ > 2 (s pravděpodobností jedna
vybere korektní model pro nekonečně velký vzorek).
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 41 / 72
Autoregresní model Testování v AR(p) modelu s trendem
Informační kritéria – alternativní vyjádření
Pozor při interpretaci, někdy IC jako:
IC(θ) = −2 ln[L(θ)] + g(p).
Analogicky BIC, AIC a HQ
V tomto případě ideální model s minimální hodnotou IC!
Viz dokumentace ekonometrického programu nebo porovnání hodnot
(a znamének) logaritmu věrohodnostní funkce a hodnoty kritérií
(znamének).
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 42 / 72
Autoregresní model Testování v AR(p) modelu s trendem
Testy zahrnující φ: testy jednotkového kořene
Test φ = 0 → t-statistika × nekorektní použití tabulek t-rozdělení
(statistika nemá t-rozdělení).
Intuitivní vysvětlení:
β ∼ N β,
σ2
TE(X2)
.
AR model (náhodná vysvětlující proměnná):
φ ∼ N φ,
σ2
TE(Y 2
t−1)
.
E(Y 2
t−1) = var(Yt−1) + [E(Yt−1)]2 → rozptyl proměnné s
jednotkovým kořenem je nekonečno.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 43 / 72
Autoregresní model Testování v AR(p) modelu s trendem
Dickeyho-Fullerův test
t-statistika + využití Dickeyho-Fullerova rozdělení (není standardní
rozdělení, hodnoty tabelovány).
Kritické hodnoty závisí na přítomnosti nebo nepřítomnosti
deterministického trendu.
„Dickeyho-Fullerův test“ pro φ = 0 v AR(1) modelu.
„Augmented Dickeyho-Fullerův test“ pro φ = 0 v AR(p) modelu.
Prakticky:
∆Yt = α + φYt−1 + γ1∆Yt−1 + . . . + γp−1∆Yt−p+1 + t.
Volba optimálního řádu zpoždění a rozhodnutí o zahrnutí trendu →
optimální model + t-statistika → porovnání s kritickými hodnotami.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 44 / 72
Autoregresní model Testování v AR(p) modelu s trendem
Kritické hodnoty DF testu
Tabulka: Kritické hodnoty Dickeyho-Fullerova testu.
T = 25 T = 50 T = 100 t = ∞
AR model bez deterministického trendu
1% kritická hodnota -3.75 -3.59 -3.50 -3.42
5% kritická hodnota -2.99 -2.93 -2.90 -2.80
AR model s deterministickým trendem
1% kritická hodnota -4.38 -4.15 -4.04 -3.96
5% kritická hodnota -3.60 -3.50 -3.45 -3.41
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 45 / 72
Autoregresní model Testování v AR(p) modelu s trendem
Problémy a další testy
„Nízká síla testu“: nalezení jednotkového kořene, i když neexistuje
(strukturální zlomy, náhlé výkyvy).
Implementován v ekonometrických programech.
Další testy: Phillipsův-Perronův test (stejná nulová hypotéza), KPSS
testy (nulová hypotéza o stacionaritě řady kolem deterministického
trendu).
KPSS: Denis Kwiatkowski, Peter C.B. Phillips, Peter Schmidt and
Yongcheol Shin (1992).
Příklad s osobním důchodem v USA.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 46 / 72
Definice stacionarity
Obsah tématu
1 Trendy v časových řadách
2 Autokorelační funkce
3 Autoregresní model
AR(1) model
Rozšíření AR(1) modelu
Testování v AR(p) modelu s trendem
4 Definice stacionarity
5 Modelování volatility
Volatilita v cenách aktiv (úvod)
ARCH modely
6 MA a ARMA modely
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 47 / 72
Definice stacionarity
Formální definice:
Slabá (kovarianční) stacionarita Y :
1 E(Yt) je stejné pro všechna t.
2 var(Yt) je konečný a stejný pro všechny hodnoty t.
3 cov(Yt, Yt−s) závisí pouze na s, nikoli na t.
Silná stacionarity: Yt má rozdělení konstantní v čase.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 48 / 72
Definice stacionarity
AR(1) model
Model:
Yt = α + ρYt−1 + t,
Stacionarita pro |ρ| < 1:
E(Yt) =
α
1 − ρ
,
var(Yt) =
σ2
1 − ρ2
,
cov(Yt, Yt−s) =
ρsσ2
1 − ρ2
,
kde σ2 = var( t).
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 49 / 72
Definice stacionarity
Model s deterministickým trendem
Model:
Yt = α + δt + t.
Lze ukázat:
E(Yt) = α + δt,
var(Yt) = σ2
,
cov(Yt, Yt−s) = 0.
E(Yt) závisí na t → model nestacionární.
Stacionární po odstranění trendu → trendově stacionární řada.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 50 / 72
Modelování volatility
Obsah tématu
1 Trendy v časových řadách
2 Autokorelační funkce
3 Autoregresní model
AR(1) model
Rozšíření AR(1) modelu
Testování v AR(p) modelu s trendem
4 Definice stacionarity
5 Modelování volatility
Volatilita v cenách aktiv (úvod)
ARCH modely
6 MA a ARMA modely
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 51 / 72
Modelování volatility
Úvod
Zájem o volatilitu proměnné.
Volatilita v modelech z oblasti financí: CAPM, Blackův-Sholesův
model oceňování finančních derivátů apod.
ARCH a GARCH modely: snadná implementace (náročnější teorie v
pozadí).
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 52 / 72
Modelování volatility Volatilita v cenách aktiv (úvod)
Obsah tématu
1 Trendy v časových řadách
2 Autokorelační funkce
3 Autoregresní model
AR(1) model
Rozšíření AR(1) modelu
Testování v AR(p) modelu s trendem
4 Definice stacionarity
5 Modelování volatility
Volatilita v cenách aktiv (úvod)
ARCH modely
6 MA a ARMA modely
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 53 / 72
Modelování volatility Volatilita v cenách aktiv (úvod)
Úvod
Model náhodné procházky s driftem:
Yt = α + Yt−1 + t
∆Yt = α + t
Model náhodné procházky pro cenu aktiva zcela korektní.
∆yt = ∆Yt − ∆Y , kde ∆Y =
∆Yt
T .
∆yt = t.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 54 / 72
Modelování volatility Volatilita v cenách aktiv (úvod)
Jednoduché modelování volatility
∆y2
t jako odhad volatility v čase t.
Měřítko volatility malé ve stabilních časech a velké v časech
bouřlivých.
Alternativní důvod: ze vztahu pro odhad rozptylu ∆Yt s využitím
jediného pozorování.
Volatilita proměnlivá v čase, lze snadno spočítat.
Modelování shluků ve volatilitě (clustering in volatility): autoregresní
modely.
Např. AR(1) model:
∆y2
t = α + ρ∆y2
t−1 + t.
Predikovatelná volatilita, ne samotný výnos! (standardní aplikace
technik, rozšíření na AR(p))
Příklad: vývoj směnného kurzu libry vzhledem k dolaru.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 55 / 72
Modelování volatility Volatilita v cenách aktiv (úvod)
Ilustrace
100
150
200
250
300
350
400
450
1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Směnnýkurz(£/$)
Rok
Obrázek: Časová řada vývoje směnného kurzu GBP vzhledem k USD.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 56 / 72
Modelování volatility Volatilita v cenách aktiv (úvod)
Příklad – cena akcie (1/5)
Vývoj ceny akcie: 208 týdnů (stock.gdt).
Konstrukce ∆y2
t .
AR(1) model na základě standardního postupu volby optimální délky
zpoždění.
Možnosti predikce vývoje volatility.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 57 / 72
Modelování volatility Volatilita v cenách aktiv (úvod)
Příklad – cena akcie (2/5)
Tabulka: AR(1) model pro ∆y2
t .
Proměnná OLS odhad t-statistika p-hodnota
Konstanta 0.024 1.624 0.106
∆y2
t−1 0.737 15.552 0.000
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 58 / 72
Modelování volatility Volatilita v cenách aktiv (úvod)
Příklad – cena akcie (3/5)
3.15
3.2
3.25
3.3
3.35
3.4
3.45
0 50 100 150 200
týden
Obrázek: Graf časové řady logaritmu ceny akcie.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 59 / 72
Modelování volatility Volatilita v cenách aktiv (úvod)
Příklad – cena akcie (4/5)
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0 50 100 150 200
týden
Obrázek: Graf časové řady změny logaritmu ceny akcie.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 60 / 72
Modelování volatility Volatilita v cenách aktiv (úvod)
Příklad – cena akcie (5/5)
0
5e-005
0.0001
0.00015
0.0002
0.00025
0.0003
0 50 100 150 200
týden
Obrázek: Graf časové řady volatility akcie.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 61 / 72
Modelování volatility ARCH modely
Obsah tématu
1 Trendy v časových řadách
2 Autokorelační funkce
3 Autoregresní model
AR(1) model
Rozšíření AR(1) modelu
Testování v AR(p) modelu s trendem
4 Definice stacionarity
5 Modelování volatility
Volatilita v cenách aktiv (úvod)
ARCH modely
6 MA a ARMA modely
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 62 / 72
Modelování volatility ARCH modely
Úvod
Obecně (včetně rozšíření) v kontextu
Yt = α + β1X1t + . . . + βkXkt + t.
Modely s α = β1 = . . . = βk = 0.
ARCH model se týká rozptylu (volatilitě) náhodných složek, t, pro
jednoduchost:
σ2
t = var( t).
ARCH model s p zpožděními (označovaný jako ARCH(p)):
σ2
t = γ0 + γ1
2
t−1 + . . . + γp
2
t−p.
Koeficienty odhadovány např. metodou ML.
Pokud jen centrovaný výnos akcie, ∆yt:
σ2
t = γ0 + γ1∆y2
t−1 + . . . + γp∆y2
t−p
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 63 / 72
Modelování volatility ARCH modely
Pokračování příkladu – cena akcie (1/3)
Možno pracovat přímo s ∆Yt.
Standardní interpretace.
Odhady volatility (a predikce).
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 64 / 72
Modelování volatility ARCH modely
Pokračování příkladu – cena akcie (2/3)
Tabulka: ARCH(1) model pro data výnosnosti akcií.
Proměnná Odhad koeficientu p-hodnota 95% int. spolehlivosti
Regresení rovnice s vysvětlovanou proměnnou ∆Y
Konstanta 0.105 0.000 [0.081;0.129]
ARCH rovnice
Konstanta 0.024 0.000 [0.016;0.032]
∆ε2
t−1 0.660 0.000 [0.302;1.018]
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 65 / 72
Modelování volatility ARCH modely
Pokračování příkladu – cena akcie (3/3)
Tabulka: ARCH(2) model pro data výnosnosti akcií.
Proměnná Odhad koeficientu p-hodnota 95% int. spolehlivosti
Regresení rovnice s vysvětlovanou proměnnou ∆Y
Konstanta 0.109 0.000 [0.087;0.131]
ARCH rovnice
Konstanta 0.025 0.000 [0.016;0.033]
∆ε2
t−1 0.717 0.000 [0.328;1.107]
∆ε2
t−2 -0.043 0.487 [-0.165;0.079]
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 66 / 72
Modelování volatility ARCH modely
Rozšíření ARCH modelu
GARCH, SAARCH, TARCH. AARCH, NARCH nebo NARCHK.
Modely stochastické volatility (ne třída ARCH modelů).
Zobecněný (generalized) ARCH: GARCH.
Přidání zpožděných hodnot míry volatility, např. GARCH(p, q):
σ2
t = γ0 + γ1
2
t−1 + . . . + γp
2
t−p + λ1σ2
t−1 + . . . + λqσ2
t−q.
Možnost popsat širší paletu chování časových řad.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 67 / 72
Modelování volatility ARCH modely
Pokračování příkladu – cena akcie (GARCH)
Tabulka: GARCH(1,1) model pro data výnosnosti akcií.
Proměnná Odhad koeficientu p-hodnota 95% int. spolehlivosti
Regresení rovnice s vysvětlovanou proměnnou ∆Y
Konstanta 0.109 0.000 [0.087;0.131]
GARCH rovnice
Konstanta 0.026 0.000 [0.015;0.038]
∆ε2
t−1 0.714 0.000 [0.327;1.101]
σ2
t−1 -0.063 0.457 [-0.231;0.104]
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 68 / 72
MA a ARMA modely
Obsah tématu
1 Trendy v časových řadách
2 Autokorelační funkce
3 Autoregresní model
AR(1) model
Rozšíření AR(1) modelu
Testování v AR(p) modelu s trendem
4 Definice stacionarity
5 Modelování volatility
Volatilita v cenách aktiv (úvod)
ARCH modely
6 MA a ARMA modely
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 69 / 72
MA a ARMA modely
MA modely
MA(q):
Yt = t − θ t−1.
t (inovace) v čase vzájemně nekorelovány (vlastnosti bílého šumu).
Vlastnosti MA(1):
E(Yt) = 0
var(Yt) = σ2
(1 + θ2
)
cov(Yt, Yt−1) = −θ
cov(Yt, Yt−1) = 0 pro s ≥ 2.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 70 / 72
MA a ARMA modely
MA(q) modely
MA(q):
Yt = t − θ1 t−1 − . . . − θq t−q.
Specifické vlastnosti autokorelační funkce (nulová pro q + 1).
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 71 / 72
MA a ARMA modely
Vztah AR a MA
Stacionární AR → MA(∞).
Invertibilní MA → AR(∞).
Autoregresní model klouzavých součtů, ARMA(p, q):
Yt = α + ρ1Yt−1 + . . . + ρpYt−p + t − θ1 t−1 − . . . − θq t−q.
Kombinace vlastností AR a MA, velmi flexibilní, možnost
deterministického trendu.
Yt s jednotkovým kořenem → práce s ∆Yt.
Autoregresní integrovaný model klouzavých součtů (ARIMA):
∆Yt = α + ρ1∆Yt−1 + . . . + ρp∆Yt−p + t − θ1 t−1 − . . . − θq t−q.
Základy ekonometrie (ZAEK) IX. Jednorozměrné časové řady Podzim 2015 72 / 72