Základy ekonometrie X. Regrese s časovými řadami Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 1 / 47 Obsah tématu 1 ADL model 2 Regrese se stacionárními řadami 3 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Kointegrace Testování kointegrace Model korekce chyb 4 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem 5 Grangerova kauzalita 6 Grangerova kauzalita v ADL modelu 7 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 2 / 47 ADL model Obsah tématu 1 ADL model 2 Regrese se stacionárními řadami 3 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Kointegrace Testování kointegrace Model korekce chyb 4 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem 5 Grangerova kauzalita 6 Grangerova kauzalita v ADL modelu 7 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 3 / 47 ADL model Úvod Práce s časovými řadami – vliv zpožděných vysvětlujících proměnných → modely rozložených zpoždění (distributed lag models). Korelace závisle proměnné se svými zpožděnými hodnotami → model autoregresních rozložených zpoždění (autoregressive distributed lag = ADL). Yt = α+δt+ρ1Yt−1+. . .+ρpYt−p +β0Xt +β1Xt−1+. . .+βqXt−q + t ADL(p, q) (s jedinou vysvětlující proměnnou × v praxi lze zobecnit). Model rozložených zpoždění: ρ1 = ρ2 = · · · = ρp = 0. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 4 / 47 ADL model Analýza ADL modelu Odhad a interpretace v závislosti na stacionaritě X a Y . Předpokládáme stejné vlastnosti stacionarity pro X a Y (při více vysvětlujících proměnných lze uvolnit). Intuice: obtížné vysvětlit stochastický trend v řadě s jednotkovým kořenem pomocí stacionární proměnné. Před regresí s časovými řadami vhodné analyzovat vlastnosti jednotlivých proměnných. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 5 / 47 Regrese se stacionárními řadami Obsah tématu 1 ADL model 2 Regrese se stacionárními řadami 3 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Kointegrace Testování kointegrace Model korekce chyb 4 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem 5 Grangerova kauzalita 6 Grangerova kauzalita v ADL modelu 7 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 6 / 47 Regrese se stacionárními řadami Úvod Lze standardní OLS odhad. t-testy, F-statistiky. Volba optimálního p a q na základě informačních kritérií. Zahrnutí nebo nezahrnutí časového trendu. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 7 / 47 Regrese se stacionárními řadami Úvod Obvyklá práce s ∆Y (analogicky k AR(p)). ∆Yt = α + δt + φYt−1 + γ1∆Yt−1 + . . . + γp−1∆Yt−p+1 + θXt + ω1∆Xt−1 + . . . + ωq−1∆Xt−q+1 + t Stejný ADL(p, q) model! (v rámci odhadu obvykle odpadá problém s multikolinearitou) Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 8 / 47 Regrese se stacionárními řadami Interpretace koeficientů Lze standardně jako vliv změny vysvětlující proměnné o jednotku za podmínky ceteris paribus (ostatní proměnné se nemění). Interpretace na základě konceptu multiplikátorů. Dlouhodobý (celkový) multipikátor. Motivace: X a Y v ustáleném stavu → změna X o jednotku → Y přechází do nového rovnovážného stavu → rozdíl oproti původnímu stavu = dlouhodobý multiplikátor. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 9 / 47 Regrese se stacionárními řadami Dlouhodobý multiplikátor Vliv permanentní změny X. Pokud zájem o dočasnou změnu X → standardní „mezní vliv“. Dlouhodobý multiplikátor v ADL(p, q): − θ φ Význam stacionarity → φ = 0 a jednotkový kořen řady ⇒ dlouhodobý multiplikátor nekonečno. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 10 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Obsah tématu 1 ADL model 2 Regrese se stacionárními řadami 3 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Kointegrace Testování kointegrace Model korekce chyb 4 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem 5 Grangerova kauzalita 6 Grangerova kauzalita v ADL modelu 7 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 11 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Obsah tématu 1 ADL model 2 Regrese se stacionárními řadami 3 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Kointegrace Testování kointegrace Model korekce chyb 4 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem 5 Grangerova kauzalita 6 Grangerova kauzalita v ADL modelu 7 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 12 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Motivace Příklad: Yt = α + βXt + t Pokud Y a X mají jednotkový kořen → OLS odhady mohou být zavádějící. Např. β = 0 ⇒ β může být významně odlišné od nuly. Pokud β = 0 potom R2 = 0 × ve skutečnosti R2 velké. Problém zdánlivé regrese! V praxi: nepoužívat regresi Y na X pokud proměnné mají jednotkový kořen. Řešení: pracovat se stacionárními řadami (např. zahrnout trend, detrendovat, použít diference, tempa růstu). Výjimka: kointegrované řady. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 13 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Kointegrace Obsah tématu 1 ADL model 2 Regrese se stacionárními řadami 3 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Kointegrace Testování kointegrace Model korekce chyb 4 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem 5 Grangerova kauzalita 6 Grangerova kauzalita v ADL modelu 7 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 14 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Kointegrace Úvod Náhodné složky s předchozí regrese: t = Yt − α − βXt Lineární kombinace Y a X → pokud nestacionární, očekáváme nestacionaritu t. Zdánlivá regrese v důsledku jednotkového kořene t. Případ kointegrace: zdánlivá regrese odpadá v důsledku vyrušení se jednotkových kořenů Y a X. Pokud Y a X mají jednotkový kořen, ale nějaká jejich lineární kombinace je stacionární, potom Y a X jsou kointegrované. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 15 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Kointegrace Interpretace Případ α = 0 a β = 1. 1 Kointegrované Y a X mají společný trend → náhodné složka nemá stochastický trend → Y a X nebudou od sebe divergovat. 2 jako rovnovážná chyba → v případě kointegrace je malá × pokud X a Y nekointegrovány → rostoucí odchylky od „rovnováhy“. 3 Pokud Y a X kointegrovány → existuje mezi nimi rovnovážný vztah. 4 Odchylky od rovnováhy nejsou velké a existuje tendence k návratu do rovnováhy → rovnovážný vztah mezi Y a X vede k pozorované kointegraci Y a X. 5 Pokud Y a X kointegrovány → jejich trendy se vzájemně vyruší. Práce s kointegrovanými nestacionárními řadami přináší důležitou informaci o rovnovážném vztahu! Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 16 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Kointegrace Příklady Kointegrace mezi cenami dvou statků. Krátkodobé a dlouhodobé úrokové sazby. Parita kupní síly. Hypotéza o permanentním důchodu. Teorie poptávky po penězích. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 17 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Kointegrace Ilustrace 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Cenazalibru[vpencích] Měsíc Bio pomeranče Normální pomeranče Obrázek: Vývoj cen normálních a bio pomerančů. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 18 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Testování kointegrace Obsah tématu 1 ADL model 2 Regrese se stacionárními řadami 3 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Kointegrace Testování kointegrace Model korekce chyb 4 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem 5 Grangerova kauzalita 6 Grangerova kauzalita v ADL modelu 7 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 19 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Testování kointegrace Úvod Koeficient z regrese kointegrovaných veličin = dlouhodobý multiplikátor. V případě kointegrace existuje stacionarita náhodných složek. Test kointegrace důležitý (vzhledem ke zdánlivé regresi). Jen vizuální pohled na vývoj řad nedostačující. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 20 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Testování kointegrace Engleův-Grangerův test Založený na regresi Y na X Analýza stacionarity výsledných reziduí. 1 Test jednotkového kořene Y a X. 2 Regrese Y na úrovňovou konstantu a X a uchování reziduí. 3 Test jednotkového kořene reziduí (bez deterministického trendu). 4 Při zamítnutí hypotézy o jednotkovém kořenu závěr o kointegraci Y a X (jinak zamítnutí kointegračního vztahu). Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 21 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Testování kointegrace Engleův-Grangerův test (poznámky) Pro test jednotkového kořene odlišné kritické hodnoty než Dickeyho-Fullerův test. Test kointegrace mezi dvěma veličinami × možnost více kointegračních vztahů; citlivý na specifikaci výchozí regrese Y na X (kointegrace mezi více veličinami – Johansenův test). Mnohdy v regresi reziduí není úrovňová konstanta (+volba optimálního řádu zpoždění): ∆ t = φ t−1 + γ1∆ t−1 + . . . + γp−1∆ t−p+1 + ut Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 22 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Testování kointegrace Kointegrace více proměnných Možno provést vícenásobnou regresi × možno více kointegrovaných proměnných. Příklad: důchod (Y ), spotřeba (C) a investice (I). Hypotéza C Y a I Y stabilní v dlouhém období. ln(C) − ln(Y ) ≈ konstanta ln(I) − ln(Y ) ≈ konstanta ln(C), ln(Y ) a ln(I) obsahují obvykle jednotkový kořen → dvě lineární kombinace proměnných stacionární → dva kointegrační vztahy. E-G test → vícenásobná regrese → nalezení kointegračního vztahu × neřekne kolik! Řešení: Johansenův test nebo více E-G testů. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 23 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Testování kointegrace Kointegrace více proměnných (pokračování) Příklad: využití ln(C), ln(Y ) a ln(I) → nalezení kointegrace. Provedení tří dalších E-G testů: ln(C) a ln(Y ); ln(I) a ln(Y ); ln(C) a ln(I). Indikace pokud více než jeden kointegrační vztah. Pokud máme K proměnných, existuje nejvýše K − 1 kointegračních vztahů. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 24 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Testování kointegrace Kointegrace více proměnných (dokončení) Mnohdy předpoklad jaký kointegrační vztah by měl být. ln(C) = α + β ln(Y ) + Předpoklad β = 1 → netřeba odhadovat v regresi β → nastavení β = 1: Z = ln(C) − ln(Y ) Test jednotkového kořene Z → stacionarita ⇒ kointegrační vztah. Nezapomenout před kointegračním testem provést testy jednotkového kořene pro všechny proměnné! Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 25 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Model korekce chyb Obsah tématu 1 ADL model 2 Regrese se stacionárními řadami 3 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Kointegrace Testování kointegrace Model korekce chyb 4 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem 5 Grangerova kauzalita 6 Grangerova kauzalita v ADL modelu 7 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 26 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Model korekce chyb Úvod Kointegrační vztah = dlouhodobé rovnovážné chování. Krátkodobá dynamika: model korekce chyb (Error Correction Model – ECM). Grangerův reprezentační teorém: pokud Y a X kointegrovány, potom lze vztah mezi nimi vyjádřit v podobě ECM. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 27 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Model korekce chyb Model korekce chyb – příklad Jednoduchý model: ∆Yt = ϕ + λ t−1 + ω0∆Xt + et t−1 je náhodná chyba z kointegrační regrese (tzn. t−1 = Yt−1 − α − βXt−1); et náhodná chyba v ECM. Regrese zmen ve vysvětlované a vysvětlujících veličinách + t−1 = člen korekce chyb. λ < 0. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 28 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Model korekce chyb Model korekce chyb – interpretace jako rovnovážná chyba, pokud nenulová, potom model mimo rovnováhu. Příklad: ∆Xt = 0 a et = 0. Pokud t−1 > 0 → Yt−1 příliš vysoké, než odpovídá rovnováze → s λ < 0 je λ t−1 < 0 → ∆Yt < 0. Korekce chyby v dalších obdobích. Analogicky t−1 < 0. λ > 0 je nekonzistentní s kointegračním vztahem. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 29 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Model korekce chyb Model korekce chyb – vlastnosti Dlouhodobé vlastnosti zahrnuty v t−1 (β je dlouhodobý multiplikátor a t je chyba z kointegrační regrese). Krátkodobé vlastnosti skrze vliv rovnovážné chyby na ∆Yt a zahrnutí ∆Xt. Stacionarita všech členů v ECM → OLS odhady. Potřeba odhadu t−1. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 30 / 47 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Model korekce chyb Odhad členu korekce chyb Sofistikovanější metody v ekonometrických programech. Snadno i použití t−1. 1 Regrese Y na X a uložení reziduí. 2 Regrese ∆Y na úrovňovou konstantu, ∆X a zpožděná rezidua o jedno období z předchozího kroku. Nutné ověření kointegrační závislosti! Obecný ECM model (standardně optimální volba p a q): ∆Yt = ϕ + δt + λ t−1 + γ1∆Yt−1 + . . . + γp∆Yt−p + ω0∆Xt + . . . + ωq∆Xt−q + et Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 31 / 47 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem Obsah tématu 1 ADL model 2 Regrese se stacionárními řadami 3 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Kointegrace Testování kointegrace Model korekce chyb 4 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem 5 Grangerova kauzalita 6 Grangerova kauzalita v ADL modelu 7 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 32 / 47 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem Úvod Řady Y a X s jednotkovým kořenem ale nekointegrované. Problém zdánlivé regrese. Jiná specifikace modelu: např. diference apod. Odhad ADL modelu: ∆Yt = α + δt + γ1∆Yt−1 + . . . + γp−1∆Yt−p+1 + ω0∆Xt + ω1∆Xt−1 + . . . + ωq−1∆Xt−q+1 + t Stacionární proměnné a OLS. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 33 / 47 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem Interpretace Odhad dlouhodobých vlivů změn diferencí proměnných. Např. Y = logaritmus mezd a X = logaritmus cen. Jednotkové kořeny × nekointegrovány → ∆Y a ∆X. Mzdová a cenová inflace. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 34 / 47 Grangerova kauzalita Obsah tématu 1 ADL model 2 Regrese se stacionárními řadami 3 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Kointegrace Testování kointegrace Model korekce chyb 4 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem 5 Grangerova kauzalita 6 Grangerova kauzalita v ADL modelu 7 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 35 / 47 Grangerova kauzalita Úvod Grangerova kauzalita = další možnost analýzy časových řad. V úvodu předmětu varování: korelace a regrese nereflektují vždy kauzalitu. Regrese: vztah většinou z ekonomické teorie × v případě opomenutí důležité vysvětlující proměnné zavádějící výsledky týkající se kauzality. Někdy problém: kauzalita mzdová inflace → cenová inflace nebo cenová inflace → mzdová inflace (popř. oboustranná kauzalita). Časové řady: možnost silnějšího tvrzení o směru kauzality. Využití skutěčnosti, že průběh času je nevratný: Pokud se A stane před B, je možné, že A způsobuje B; není však možné aby B způsobovalo A. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 36 / 47 Grangerova kauzalita Grangerova kauzalita Minulost může ovlivnit budoucnost, ale ne naopak → lze analyzovat skrze regresní model. Proměnná X kauzálně působí (v grangerovském smyslu) na Y pokud minulé hodnoty X dokáží pomoci vysvětlit Y . Není zaručeno, že X způsobuje Y ⇒ Grangerova kauzalita (× možnost této kauzality). Jen pro časové řady – stacionární nebo kointegrované. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 37 / 47 Grangerova kauzalita v ADL modelu Obsah tématu 1 ADL model 2 Regrese se stacionárními řadami 3 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Kointegrace Testování kointegrace Model korekce chyb 4 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem 5 Grangerova kauzalita 6 Grangerova kauzalita v ADL modelu 7 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 38 / 47 Grangerova kauzalita v ADL modelu Úvod X a Y stacionární → ADL model: Yt = α + ρYt−1 + βXt−1 + t Pokud β = 0 minulé hodnoty X nemají vliv na Y ⇒ X grangerovsky kauzálně nepůsobí na Y . Standardní t-test pro H0 : β = 0 (v podstatě testování nekauzality). Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 39 / 47 Grangerova kauzalita v ADL modelu Obecný přístup ADL(p, q) model: Yt = α + δt + ρ1Yt−1 + . . . + ρpYt−p + β1Xt−1 + . . . + βqXt−q + t Popř. alternativní podoba s diferencemi. Nezahrnuta současná hodnota X kvůli možnosti kauzality ve stejném čase (je možno rovněž dodat). X grangerovsky působí na Y pokud β1, . . . , βq statisticky významné. H0 : β1 = 0, . . . , βq = 0 (F-test). Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 40 / 47 Grangerova kauzalita v ADL modelu Oboustranná kauzalita Provední opačné regrese X na své zpožděné hodnoty a zpožděné hodnoty Y . Možnost nalezení jen jednosměrné kauzality nebo i oboustranné kauzality. Např. úrokové sazby a směnný kurz → z ekonomické úvahy úrokové sazby (stanovené centrální bankou) ovliňují směnný kurz × opačný směr kauzality směnný kurz působí na stanovení úrokových sazeb. Příklad: mzdová a cenová inflace. Rozšíření i na více proměnných (gretl automaticky v rámci VAR modelu). Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 41 / 47 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Obsah tématu 1 ADL model 2 Regrese se stacionárními řadami 3 Regrese s řadami s jednotkovým kořenem Zdánlivá regrese (spurious regression) Kointegrace Testování kointegrace Model korekce chyb 4 Regrese s nekointegrovanými řadami s jednotkovým kořenem 5 Grangerova kauzalita 6 Grangerova kauzalita v ADL modelu 7 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 42 / 47 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Princip Obvykle v rámci ECM: ∆Yt = ϕ + δt + λ t−1 + γ1∆Yt−1 + . . . + γp∆Yt−p + ω1∆Xt−1 + . . . + ωq∆Xt−q + et Vynechání Xt → minulé hodnoty v ∆Xt−1, . . . , ∆Xt−p a t−1! H0 : λ = 0, ω1 = 0, . . . , ωq = 0 (F-test, test věrohodnostního poměru). Testování v opačném pořadí → Grangerův reprezentační teorém říká, že pro kointegrované X a Y musí existovat nějaká z forem kauzality (jednosměrná nebo obousměrná). Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 43 / 47 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Empirická ilustrace Walter N. Thurman, Mark E. Fisher (1988) – Chickens, Eggs and Causality, or Which Came First? American Journal of Agricultural Economics, Vol. 70, No. 2. (May, 1988), pp. 237-238. Otázka: „Co bylo dříve, slepice nebo vejce?“ Roční data 1930–1983 týkající se produkce vajec a populace slepic (pro Spojené státy). Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 44 / 47 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Thurman, Fisher (1988) – tabulka 1 Obrázek: Test kauzality – první část. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 45 / 47 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Thurman, Fisher (1988) – tabulka 2 Obrázek: Test kauzality – druhá část. Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 46 / 47 Grangerova kauzalita s kointegrovanými proměnnými Thurman, Fisher (1988) – závěry Ověřeno na datech, že první bylo vejce. Další možnosti výzkumu v rámci ověření hypotéz: „Kdo se směje naposled, ten se směje nejlépe.“ „Pýcha předchází pád.“ Základy ekonometrie (ZAEK) X. Regrese s časovými řadami Podzim 2015 47 / 47