Základy ekonometrie
XI. Vektorové autoregresní modely
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 1 / 28
Obsah tématu
1 Prognózování s VAR modely
2 Vektorové modely korekce chyb (VECM)
3 Impulzní odezvy a varianční dekompozice
4 Teorie prognózování
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 2 / 28
Úvod
Předpoklad stacionarity proměných.
Grangerovy kauzality v kontextu ADL(p, q):
Yt = α1 + δ1t + ρ11Yt−1 + . . . + ρ1pYt−p
+ β11Xt−1 + . . . + β1qXt−q + 1t,
Xt = α2 + δ2t + ρ21Yt−1 + . . . + ρ2pYt−p
+ β21Xt−1 + . . . + β2qXt−q + 2t,
Ukázka VAR modelu (rozšíření AR modelu).
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 3 / 28
VAR model
Standardní volba zpoždění × pro více proměnných „náročné“.
Obvyklá volba p = q ⇒ stejná zpoždění pro všechny proměnné.
VAR(p) model pro X, Y a Z:
Yt = α1 + δ1t + ρ11Yt−1 + . . . + ρ1pYt−p + β11Xt−1 + . . . + β1pXt−p
+ κ11Zt−1 + . . . + κ1pZt−p + 1t,
Yt = α2 + δ2t + ρ21Yt−1 + . . . + ρ2pYt−p + β21Xt−1 + . . . + β2pXt−p
+ κ21Zt−1 + . . . + κ2pZt−p + 2t,
Zt = α3 + δ3t + ρ31Yt−1 + . . . + ρ3pYt−p + β31Xt−1 + . . . + β3pXt−p
+ κ31Zt−1 + . . . + κ3pZt−p + 3t.
Analogicky VAR(p) pro více proměnných.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 4 / 28
Odhad VAR modelu
Stacionarita řad → odhad a testování standardní.
OLS odhad každé rovnice + t-statistiky resp. p-hodnoty.
Existují i jiné odhadové metody.
Neomezený VAR model → vydatný OLS odhad (pokud splněny
klasické předpoklady pro náhodnou složku).
Omezený VAR (např. β31 = β32 = 0): existence vydatnějších
estimátorů.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 5 / 28
Použití VAR modelů
Snadnost použití × proč používat?
Testování Grangerovských kauzalit.
Modely z ekonomické teorie → kauzalita (i v případě kointegrace
nemusí být kauzalita zřejmá).
VAR modely: minulost ovlivňuje současné hodnoty, ale ne naopak.
Kritika: „ateoretická“ podstata (nevycházejí z ekonomické teorie) ×
dokáží popsat chování.
Příklad: GDP, nabídka peněz, úroková sazba, cenová hladina →
IS-LM model.
VAR model: modelování závislosti proměnných na zpožděných
hodnotách (není vztah mezi empirickým VAR modelem a teoretickým
makroekonomickým modelem).
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 6 / 28
Výhoda VAR modelů
VAR modely pro prognostické účely.
Lepší predikční schopnosti než standardní makroekonomické modely
+ jednoduché použití → využití v praxi (centrální banky apod., i když
spíše jako podpůrné modely).
Po odhadu: problém s věcnou interpretací parametrů × analýza
chování (impulzní odezvy).
Optimální délka zpoždění: informační kritéria, F-statistiky, t-statistiky.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 7 / 28
Prognózování s VAR modely
Obsah tématu
1 Prognózování s VAR modely
2 Vektorové modely korekce chyb (VECM)
3 Impulzní odezvy a varianční dekompozice
4 Teorie prognózování
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 8 / 28
Prognózování s VAR modely
Úvod
Problém prognózování – samostatná oblast.
Jen úvod → ekonometrické programy provedou základní předpověď
jedním kliknutím.
Zaměření se na VAR modely × analogie platná i pro AR modely.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 9 / 28
Prognózování s VAR modely
Příklad VAR(1)
t = 1, . . . , T → předpověď T + 1, T + 2, atd.
VAR(1) pro X a Y :
Yt = α1 + δ1t + ρ11Yt−1 + β11Xt−1 + 1t,
Xt = α2 + δ2t + ρ21Yt−1 + β21Xt−1 + 2t.
YT+1 nepozorujeme → náš nejlepší odhad.
YT+1 = α1 + δ1(T + 1) + ρ11YT + β11XT + 1,T+1.
Neznáme 1,T+1 a koeficienty → očekávané hodnoty:
YT+1 = α1 + δ1(T + 1) + ρ11YT + β11XT .
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 10 / 28
Prognózování s VAR modely
Příklad VAR(1) (pokračování)
Předpověď na více období:
YT+2 = α1 + δ1(T + 2) + ρ11YT+1 + β11XT+1,
XT+2 = α2 + δ2(T + 2) + ρ21YT+1 + β21XT+1.
Bodová předpověď × intervalová předpověď.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 11 / 28
Prognózování s VAR modely
Typy předpovědí
Dva typy předpovědí.
Předpověď do budoucna (out-of-sample): data do 2006 → předpověď
pro 2007, 2008, . . .
Analýza předpovědní kvality modelu: data od 1950–2006 → odhad na
datech do roku 2005 a předpověď pro 2006 (porovnání předpovědi a
skutečnosti).
Obecně: data pro t = 1, . . . , T a VAR odhad pro t= 1, . . . , τ (τ < T)
(rekurzivní předpověď).
Odhad na celých datech a jednokrokové, dvoukrokové a více krokové
predikce → spočítání příslušných chyb predikcí.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 12 / 28
Vektorové modely korekce chyb (VECM)
Obsah tématu
1 Prognózování s VAR modely
2 Vektorové modely korekce chyb (VECM)
3 Impulzní odezvy a varianční dekompozice
4 Teorie prognózování
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 13 / 28
Vektorové modely korekce chyb (VECM)
Princip
Vektorová autoregrese s kointegrovanými proměnnými.
Vektorový model korekce chyb (VECM).
Pro X a Y :
∆Yt = ϕ1 + δ1t + λ1 t−1 + γ11∆Yt−1 + . . . + γ1p∆Yt−p
+ ω11∆Xt−1 + . . . + ω1q∆Xt−q + e1t,
∆Xt = ϕ2 + δ2t + λ2 t−1 + γ21∆Yt−1 + . . . + γ2p∆Yt−p
+ ω21∆Xt−1 + . . . + ω2q∆Xt−q + e2t.
t−1 = Yt−1 − α − βXt−1.
Možnost rozšíření pro více proměnných → možno více
kointegrovaných proměnných ⇒ více členů korekce chyb v každé
rovnici.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 14 / 28
Vektorové modely korekce chyb (VECM)
Další otázky
Odhad v rámci ekonometrických programů + možnost využití OLS
(regrese kointegrovaných proměnných a uložení reziduí → VECM).
Obvykle p = q, standardní volba optimálního řádu zpoždění.
Test jednotkových kořenů a kointegrace → Johansenův test (LR test
pro kointegraci).
Pokud M proměnných, možnost až M − 1 kointegračních vztahů (a
členů korekce chyb vpro VECM).
Počet kointegračních vztáhů = řád kointegrace.
Johansenův test: potřeba specifikace řádu zpoždění a otázka zahrnutí
deterministického trendu a úrovňové konstanty.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 15 / 28
Impulzní odezvy a varianční dekompozice
Obsah tématu
1 Prognózování s VAR modely
2 Vektorové modely korekce chyb (VECM)
3 Impulzní odezvy a varianční dekompozice
4 Teorie prognózování
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 16 / 28
Impulzní odezvy a varianční dekompozice
Úvod
Shrnutí informace z VAR modelu.
Analýza relativního významu jednotlivých šoků → varianční
dekompozice.
Analýza chování modelu → impulzní odezvy.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 17 / 28
Impulzní odezvy a varianční dekompozice
Varianční dekompozice – příklad
Populární v oblasti makroekonomie a financí.
Příklad: faktory ovlivňující trhy s akciemi a dluhopisy v dlouhém
období.
Zjednodušený model: neočekáváné pohyby v převisu výnosů akcií
závisí na změnách v očekávání budoucího vývoje toků dividend,
budoucích převisů výnosů akcií a budoucích úrokových mírách.
Otázka: Který z faktorů nejdůležitější pro vývoj na trzích akcií a
dluhopisů?
uer = newsd + newser,
uer = komponenta zachycující neočekávané pohyby v očekávaných
výnosech; newsd = komponenta reflektující novinky o budoucích
dividendách; newser = komponenta reflektující novinky o budoucích
očekávaných výnosech.
Lze vypočítat z dat a koeficientů VAR modelu.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 18 / 28
Impulzní odezvy a varianční dekompozice
Varianční dekompozice – příklad (pokračování)
Varianční dekompozice: podíl variability uer pocházející z newsd
(nebo newser).
Pokud newsd a newser navzájem nezávislé:
var(uer) = var(newsd) + var(newser).
Úpravou:
1 =
var(newsd)
var(ur)
+
var(newser)
var(uer)
.
Např. var(newsd)
var(ur) = variabilita neočekávaných výnosů vysvětlená
novinkami o budoucích dividendách (lze vypočíst z VAR modelu).
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 19 / 28
Impulzní odezvy a varianční dekompozice
Varianční dekompozice – další použití
Proč dynamický vývoj na akciových trzích neměl dopad na spotřebu?
VECM → varianční dekompozice: většina fluktuací na akciovém trhu
chápána domácnostmi jako přechodná ⇒ neovlivnění spotřeby.
Dekompozice na trvalé a přechodné šoky.
Proměnné s jednotkovým kořenem: dlouhá paměť → šok má trvalý
vliv × chyba kointegrace z definice stacionární → jen přechodný efekt
na proměnnou.
Ve VECM proměnné s jednotkovým kořenem a stacionárním členem
korekce chyb ⇒ některé šoky permanentní vliv a některé jen
přechodný → s využitím VECM odpovídající varianční dekompozice.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 20 / 28
Impulzní odezvy a varianční dekompozice
Varianční dekompozice – další použití (pokračování)
Jednoduchá verze modelu:
a = permanent + transitory
Permanentní a transitorní komponenta aktiva (a) → analýza variance:
1 =
var(permanent)
var(a)
+
var(transitory)
var(a)
.
Příklady pro ilustraci → speciální literatura (oblast ekonometrie
časových řad).
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 21 / 28
Impulzní odezvy a varianční dekompozice
Impulzní odezvy
Vliv neočekávaného šoku na současnou a budoucí hodnotu proměnné
(časové řady).
Např. centrální banka neočekávaně zvedne úrokové sazby (nebo
nabídku peněz) → vliv na makroveličiny (např. HDP, inflace).
Analýza velikosti vlivu a jeho odeznívání.
Neočekávaný šok = prostřednictvím chybového členu.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 22 / 28
Impulzní odezvy a varianční dekompozice
Impulzní odezvy – AR(1)
Definice funkce impulzní odezvy snadná:
Yt = ρYt−1 + t
Po přepsání:
Yt =
∞
i=0
ρi
t−i .
Např. šok t−2 = 1 → vliv na Yt = ρ2.
Výpočet odezvy pro každý čas s, s = 0, 1, . . .
Pro AR(1) vliv šoku před s obdobími na Yt je ρs.
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 23 / 28
Impulzní odezvy a varianční dekompozice
Impulzní odezvy – VAR
Analogický výpočet × několik různých šoků.
Příklad dvě proměnné s 1t a 2t: čtyři různé impulzní odezvy →
1,t−s na Yt, 1,t−s na Xt, 2,t−s na Yt, 2,t−s na Xt.
Problém interpretace: např. vliv šoku do nabídky peněz na výstup →
RMPY VAR model → vliv šoku v rovnici pro M (nebo ∆M) na Y
(nebo ∆Y )?
Chyby v různých rovnicích navzájem korelovány ⇒ šok v rovnici
nabídky peněz = šok do nabídky peněz.
Práce s tzv. SVAR modely = strukturální VAR modely (odhad
strukturálních šoků – např. Blanchardova-Quahova dekompozice).
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 24 / 28
Teorie prognózování
Obsah tématu
1 Prognózování s VAR modely
2 Vektorové modely korekce chyb (VECM)
3 Impulzní odezvy a varianční dekompozice
4 Teorie prognózování
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 25 / 28
Teorie prognózování
Úvod
Pro jednoduchý regresní model:
Yi = βXi + i
i ∼ N(0, σ2); i = 1, . . . , N.
Zájem o YN+1 pokud známe XN+1.
Doposud in-sample odhad na základě β a s2.
Out-sample předpověď, za předpokladu platnosti modelu (otázka
správnosti předpokladu):
YN+1 = βXN+1 + N+1
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 26 / 28
Teorie prognózování
Předpověď jako očekávaná hodnota
Očekávaná hodnota (podmíněná pozorováním):
E (YN+1) = E (βXN+1 + N+1) = βXN+1 + E ( N+1) = βXN+1
Nahrazení odhady β:
YN+1 = βXN+1.
Rozptyl estimátoru předpovědi:
var YN+1 = var βXN+1 = X2
N+1var β .
Za předpokladu normality:
YN+1 ∼ N YN+1,
X2
N+1σ2
X2
i
.
Obvykle jen s2 ⇒ t-rozdělení (tN−1) → interval spolehlivosti
předpovědi.
Vícenásobná regrese: maticové vyjádření; tN−k (k vysvětlujících
proměnných včetně úrovňové konstanty).
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 27 / 28
Teorie prognózování
Předpověď v AR modelu
Data t = 1, . . . , T; AR(1) model:
Yt = ρYt−1 + t
YT+1 = ρYT jako nestranná predikce; pokud |ρ| < 1, potom
YT+1 ∼ N YT+1,
Y 2
T σ2
Y 2
t−1
.
V případě jednotkového kořene jiný vztah.
Předpověď na h období:
YT+h = ρh
YT .
Analogicky pro modely ADL, VAR a ECM (viz ekonometrické
programy – pro časové řady JMulTi).
Základy ekonometrie (ZAEK) XI. VAR modely Podzim 2015 28 / 28