Základy ekonometrie
XII. Modely panelových dat
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 1 / 32
Obsah tématu
1 Souhrnný model
2 Modely individuálních vlivů
Model fixních vlivů
Model náhodných vlivů
Rozšíření modelů individuálních vlivů
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 2 / 32
Úvod a značení
Panelová data = časová i průřezová dimenze (státy, firmy, domácnosti
→ jednotlivci resp. jednotky – individuals).
Yit = pozorování závisle proměnné pro i-tého jednotlivce v čase t.
Xit = pozorování vysvětlující proměnné pro i-tého jednotlivce v čase t.
i = 1, . . . , N
t = 1, . . . , T
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 3 / 32
Souhrnný model
Obsah tématu
1 Souhrnný model
2 Modely individuálních vlivů
Model fixních vlivů
Model náhodných vlivů
Rozšíření modelů individuálních vlivů
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 4 / 32
Souhrnný model
Úvod
Pooled model.
Všechna pozorování jako jeden model:
Yit = α + βXit + it
Při splnění klasických předpokladů OLS je BLUE.
V případě heteroskedasticity metody GLS.
Nic nového × souhrnný model nevhodný pro většinu aplikací.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 5 / 32
Modely individuálních vlivů
Obsah tématu
1 Souhrnný model
2 Modely individuálních vlivů
Model fixních vlivů
Model náhodných vlivů
Rozšíření modelů individuálních vlivů
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 6 / 32
Modely individuálních vlivů
Úvod
Individual effects models: fixed effects model a random effects model.
Příklad z ekonomie práce (pro motivaci): Y = příjem; X = roky
vzdělání.
Data z průzkumu v průběhu několika let.
Model:
Yit = α + βXit + it.
Stejný vztah pro všechny jednotlivce (α = predikovaný příjem
nevzdělaného člověka).
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 7 / 32
Modely individuálních vlivů
Ilustrace problému souhrnného modelu I
10 12 14 16 18 20
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Pocet let vzdelani
Prijem
Regresni primka pro zvyhodnene jednotlivce
Regresni primka pro znevyhodnene jednotlivce
Obrázek: Vztah mezi příjmem a vzděláním pro dva jednotlivce.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 8 / 32
Modely individuálních vlivů
Ilustrace problému souhrnného modelu II
10 12 14 16 18 20
7
8
9
10
11
12
13
14
Pocet let vzdelani
Prijem Regresni primka pro zvyhodnene jednotlivce
Regresni primka vyrovnani pro souhrnny model
Regresni primka pro znevyhodnene jednotlivce
Obrázek: Vztah mezi příjmem a vzděláním pro dva jednotlivce.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 9 / 32
Modely individuálních vlivů
Další ilustrace problému souhrnného modelu
15 20 25 30
30
40
50
60
70
80
90
Cena
Mesicnipoptavka(vtis.) Regresni primka prvni znacky napoju
Primka vyrovnani pro souhrnny model
Regresni primka druhe znacky napoju
Obrázek: Vztah mezi cenou a poptávkou po dvou druzích nápojů.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 10 / 32
Modely individuálních vlivů
Model individuálních vlivů
Jediná vysvětlující proměnná:
Yit = αi + βXit + it.
αi = individuální vliv (individual effect).
Panelová data = bohatší datová báze a možnost práce s
heterogenitou analyzovaných subjektů.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 11 / 32
Modely individuálních vlivů Model fixních vlivů
Obsah tématu
1 Souhrnný model
2 Modely individuálních vlivů
Model fixních vlivů
Model náhodných vlivů
Rozšíření modelů individuálních vlivů
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 12 / 32
Modely individuálních vlivů Model fixních vlivů
Úvod
Využití umělých proměnných.
Konstrukce N umělých proměnných, D(j) pro j = 1, . . . , N.
D
(j)
it = 1 pro j-tého jednotlivce a 0 jinak (TN rozměrný vektor).
Příklad: N = 4 a T = 2
D(3)
=














0
0
0
0
1
1
0
0














.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 13 / 32
Modely individuálních vlivů Model fixních vlivů
Odhad
Regrese:
Yit = α1D
(1)
it + α2D
(2)
it + . . . + αND
(N)
Nt + βXit + it.
Lineární regresní model (hodně vysvětlujících proměnných) –
zobecnění i pro „vícenásobnou“ regresi.
Standardní analýza a odhad.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 14 / 32
Modely individuálních vlivů Model fixních vlivů
Interpretace
Standardní.
Regresní přímka pro i-tého jednotlivce:
Yit = αi + βXit + it
Specifikace individuálního vlivu.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 15 / 32
Modely individuálních vlivů Model fixních vlivů
Problém
Regrese s obrovskýým množstvím vysvětlujících proměnných.
Např. data z průzkumu N = 5000 osob v průběhu T = 5 let.
Vícenásobná regrese: odhad N + k koeficientů.
V regresním modelu při dané informaci v datech: růst počtu
parametrů → snížení přesnosti odhadu.
Přesný odhad pro N = 100 a k = 2 × N = 10 a k = 2; nemožné pro
k ≥ N.
V modelu fixních vlivů: pokud T malé → stejný problém s přesností
odhadu.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 16 / 32
Modely individuálních vlivů Model fixních vlivů
Možné řešení
Práce s diferencemi: ∆Yit = Yit − Yi,t−1.
∆Yit = β∆Xit + ∆ it.
Jen jeden resp. k koeficientů k odhadu.
Pokud ∆ it splňují klasické předpoklady → OLS je BLUE.
Pokud it splňuje klasické předpoklady → ∆ it nesplňuje →
cov(∆ it, ∆ i,t−1) = 0.
Autokorelaci konzistentní estimátor: Neweyho-Westův estimátor
(Whitney K. Newey a Kenneth D. West).
Newey, West (1987): A Simple, Positive Semi-definite,
Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix,
Econometrica, vol. 55(3), 703–708.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 17 / 32
Modely individuálních vlivů Model fixních vlivů
Další problémy s diferencováním
Počáteční podmínky.
Hlavně však koeficienty proměnných neměnících se v čase (příklad
výnosů ze vzdělání: počet let studia rodičů, umělé proměnné
vyjadřující rasu či pohlaví apod.).
Pokud Zi v čase neměnná vysvětlující proměnná:
Yit = αi + β1Zi + β2Xit + it
Diferencování:
∆Yit = ∆β2Xit + ∆ it.
Neexistuje způsob odhadu β1.
V programech obvyklý estimátor pracující s centrovanými hodnotami
pro každou jednotku (stejný problém s odhadem vlivů v čase
neměnných proměnných).
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 18 / 32
Modely individuálních vlivů Model fixních vlivů
Testování hypotéz
Regresní model → jakýkoliv test hypotéz.
Pokud klasické předpoklady: t-statistiky, F-statistiky pro sdružené
hypotézy.
H0 : α1 = . . . = αN
N − 1 restrikcí!
F =
(R2
UR − R2
R)/(N − 1)
(1 − R2
UR)/(TN − N − k)
.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 19 / 32
Modely individuálních vlivů Model náhodných vlivů
Obsah tématu
1 Souhrnný model
2 Modely individuálních vlivů
Model fixních vlivů
Model náhodných vlivů
Rozšíření modelů individuálních vlivů
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 20 / 32
Modely individuálních vlivů Model náhodných vlivů
Úvod
Nepoužívá umělé proměnné → předpoklad, že individuální vliv je
náhodná veličina (random effects model).
Yit = αi + βXit + uit
αi = α + υi (náhodná veličina).
Alternativně:
Yit = α + βXit + it
it = υi + uit.
Netřeba N umělých proměnných!
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 21 / 32
Modely individuálních vlivů Model náhodných vlivů
Předpoklady
Obvykle: uit splňuje klasické předpoklady → N(0, σ2
u) (idiosyncratický
rozptyl).
Obvyklý předpoklad: υit ∼ N(0, σ2
υ) (průřezový rozptyl).
Vlastnosti it:
E( it) = 0,
var( it) = σ2
u + σ2
υ,
cov( it, jt) = 0 i = j,
cov( it, js) = 0 i = j, s = t,
cov( it, is) = σ2
υ s = t,
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 22 / 32
Modely individuálních vlivů Model náhodných vlivů
Analýza
Pro téhož jednotlivce jsou náhodné složky korelovány v čase.
OLS není BLUE → GLS.
Při OLS chybné použití var(β) → nekorektní použití t-testů apod.
Dobré ekonometrické programy spočítají korektní směrodatnou
odchylku (různé GLS estimátory).
Možnost OLS odhadu s panel-corrected standard errors.
Při nesplnění klasických předpokladů pro uit (heteroskedasticita a
autokorelace) → použití GLS estimátorů kombinujících myšlenky z
částí věnovaných daným problémům.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 23 / 32
Modely individuálních vlivů Model náhodných vlivů
Testování hypotéz
Standardní přístup (při korektních odhadech rozptylu GLS
estimátoru).
Test použití souhrnného modelu nebo modelu náhodných vlivů.
Test H0 : σ2
u = 0 vhodnosti souhrnného modelu (Breuschův-Paganův
LM test).
Test věrohodnostního poměru; obvykleji test Lagrangeových
multiplikátorů (nutný jen odhad souhrnného modelu).
Pokud ekonometrický software tyto testy neumí, možno OLS odhad
souhrnného modelu a statistika:
LM =
TN
2(T − 1)
N
i=1[ T
t=1 it]2
N
i=1
T
t=1
2
it
− 1
2
it pro i = 1, . . . , N a t = 1, . . . , T; OLS rezidua ze souhrnného
modelu.
χ2
1 rozdělení.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 24 / 32
Modely individuálních vlivů Model náhodných vlivů
Další problémy
Model náhodných vlivů: možnost korelace it a vysvětlujících
proměnných → potřeba metody instrumentálních proměnných.
Např.: výnosy ze vzdělání a nepozorovaný talent (korelován s příjmem
i roky vzdělání).
V modelu panelových dat: nepozorovaný talent skrze αi (výhoda
panelových dat – analýza heterogenity).
Model náhodných vlivů: individuální vliv skrze chybu regrese!
(mnohdy automatická korelace s vysvětlující proměnnou)
Neplatí pro model fixních vlivů.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 25 / 32
Modely individuálních vlivů Model náhodných vlivů
Hausmanův test
RE model pokud individuální vliv nekorelován s náhodnou složkou,
jinak FE model nebo IV estimátor pro model náhodných vlivů.
Hausmanův test vhodnosti RE modelu.
H0: individuální vliv nekorelován s žádnou z vysvětlujících
proměnných.
Myšlenka: pokud H0 pravdivá, jsou RE i FE estimátory konzistentní.
Pokud H0 neplatí: RE nekonzistentní → odlišný od FE.
Přesný vztah komplikovaný × přibližná podoba pracuje s
(βRE − βFE )2; χ2
k−1 rozdělení (k vysvětlujících proměnných
nezahrnujících úrovňovou konstantu ani umělé proměnné v rámci FE
estimátoru).
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 26 / 32
Modely individuálních vlivů Model náhodných vlivů
IV odhad v modelu náhodných vlivů
Komplikované.
Populární Hausmanův-Taylorův estimátor a Arellanův-Bondův
estimátor (estimátor metody zobecněných momentů, aplikovaný v
dynamických panelech).
Možnost jejich použití v praxi (ekonometrické programy a snadnost
použití).
Intuice: viz např. Koop (2008).
Rozdělení proměnných: v čase proměnné a nekorelované X
(1)
it ; v čase
proměnné a korelované X
(2)
it ; v čase neměnné a nekorelované Z
(1)
i ; v
čase neměnné a korelované Z
(2)
i
Počet těchto proměnných: K1, K2, L1, L2; potřeba K2 + L2
instrumentálních proměnných.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 27 / 32
Modely individuálních vlivů Rozšíření modelů individuálních vlivů
Obsah tématu
1 Souhrnný model
2 Modely individuálních vlivů
Model fixních vlivů
Model náhodných vlivů
Rozšíření modelů individuálních vlivů
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 28 / 32
Modely individuálních vlivů Rozšíření modelů individuálních vlivů
Časový vliv
Zachycení odlišností v každém čase (např. hospodářský cyklu):
Yit = αi + γt + βXit + uit
Model fixních vlivů: zavedení umělých proměnných pro každý časový
okamžik.
Model náhodných vlivů: γt = γ + ωt
Yit = (α + γ) + βXit + it
kde it = υi + ωt + uit.
Analogické problémy → specifická podoba GLS estimátoru pro
korelované náhodné složky.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 29 / 32
Modely individuálních vlivů Rozšíření modelů individuálních vlivů
Metody časových řad pro panelová data
Metody testů panelových jednotkových kořenů a panelových
kointegračních testů.
Např.
Yit = α + ρYi,t−1 + β1X
(1)
it + β2X
(2)
it + β3Z
(1)
i + β4Z
(2)
i + it
Yi,t−1 velmi pravděpodobně korelováno s náhodnou složkou (obsahuje
individuální vliv υi → obsažen v it i i,t−1 – obsaženo ve výrazu pro
Yi,t−1).
Potřeba IV estimátoru (zmíněné dříve).
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 30 / 32
Modely individuálních vlivů Rozšíření modelů individuálních vlivů
Model náhodných koeficientů
Příklad pro jedinou vysvětlující proměnnou:
Yit = αi + βi Xit + it
Možnost různých mezních vlivů → další rozměr heterogenity.
Např. v marketingu: spotřebitelé reagují různě na reklamní akce
(někteří loajální své značce ⇒ nulová reakce na speciální nabídku pro
nový produkt; nektěři ochotni více experimentovat s novými produkty
⇒ promo akce na nový produkt vede z jejich strany ke koupi tohoto
produktu).
Různá βs v aplikacích z marketingu.
Příklad výnosů ze vzdělání: různý stupeň výhod z dodatečného
školního vzdělávání.
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 31 / 32
Modely individuálních vlivů Rozšíření modelů individuálních vlivů
Model náhodných koeficientů – pokračování
Různé koeficienty pro různé jednotlivce.
Proč ne samostatné regrese?
Pokud není velké T → N regresí nemusí dát přesné odhady.
Vícenásobná regrese: odhad N(k + 1) koeficientů (k je počet
vysvětlujících proměnných).
Model náhodných koeficientů: různé koeficienty × dodává určitou
společnou strukturu pro všechny jednotlivce, kdy βs je ze společného
rozdělení.
Řada možných rozdělení (např. normální rozdělení); příklad z
marketingu pro dva různé typy spotřebitelů → rozdělení umožňující
dvě možné hodnoty koeficientu sklonu.
Odhad v rámci některých programů; v současnosti velký zájem o tyto
modely a jejich technickou analýzu (populární bayesovské metody a
tzv. hierarchické modely).
Základy ekonometrie (ZAEK) XII. Panelová data Podzim 2015 32 / 32