Teorie her a oligopol
Varian: Mikroekonomie: moderní přístup, oddíly 26.1-9, 27.1-3 a 27.7-8
Varian: Intermediate Microeconomics, Sections 27.1-9, 28.1-3, 28.7-8
() 1 / 36
Obsah přednášky
V této přednášce se dozvíte,
• co je to oligopol,
• co je to simultánní a sekvenční hra,
• co je to Nashova rovnováha a dokonalá
rovnováha vzhledem k podhrám,
• jak fungují Cournotův, Bertrandův, Stackelbergův
model a model cenového vůdcovství.
() 2 / 36
Oligopol
Oligopol – struktura odvětví s několika firmami na trhu.
Firmy v oligopolu věří, že jejich chování (volba množství nebo ceny)
ovlivní chování ostatních firem na trhu.
Příklady oligopolních odvětví:
• procesory (Intel vs. AMD)
• kolové nápoje (Coke vs. Pepsi)
• mobilní telefony
• automobily
• . . .
() 3 / 36
Oligopol
Mezi firmami v oligopolu dochází ke strategickým interakcím.
Při zkoumání strategických interakcí používáme teorii her.
Hra = aktivita, při které spolu hráči soutěží podle daných pravidel.
V této přednášce se budeme zabývat dvěma typy her:
• simultánní hra – hráči se rozhodují zároveň,
• sekvenční hra – hráči se rozhodují v daném pořadí.
() 4 / 36
Simultánní hra
Simultánní hra obsahuje
• množinu hráčů,
• množinu akcí (strategií) pro každého hráče,
• u každého hráče preference nad množinou profilů akcí
(profil akcí = jedna možná kombinace akcí všech hráčů).
() 5 / 36
Příklad simultánní hry
Máme simultánní hru, která obsahuje
• hráče A a B
• množinu akcí pro
• hráče A (nahoru T, dolů B),
• hráče B (doleva L, doprava R).
• preference hráčů dané výplatami pro všechny profily akcí, kde
• hráč A má preference BL TL ∼ BR TR,
• hráč B má preference TL BL ∼ TR BR.
Tato hra má následující výplatní matici:
() 6 / 36
Rovnováha v dominantních strategiích
Rovnováha v dominantních strategiích je profil akcí,
ve kterém každý hráč hraje svou dominantní strategii.
Dominantní strategie je taková akce hráče, která je
optimální při jakékoliv akci ostatních hráčů.
V této tabulce je dominantní strategie hráče A dolů a hráče B
doleva. Rovnováha v dominantních strategiích je BL.
() 7 / 36
Nashova rovnováha
Nashova rovnováha je profil akcí, ve kterém každý hráč hraje
optimální akci při akcích ostatních hráčů.
Reakční funkce hráče ukazuje optimální akci tohoto hráče
pro všechny kombinace akcí ostatních hráčů. Ve hře znázorněné
v tabulce dole je reakční funkce hráče A fA(L) = T a fA(R) = B.
Tato hra má dvě Nashovy rovnováhy TL a BR:
• TL, protože fA(L) = T a fB(T) = L,
• BR, protože fA(R) = B a fB(B) = R.
() 8 / 36
Nashova rovnováha (pokračování)
Každá hra nemá Nashovu rovnováhu v čistých strategiích.
Čistá strategie je akce, kterou si hráč volí s jistotou.
Smíšená strategie je pravděpodobnostní rozdělení nad strategiemi
hráče. Např. když si hráč A zvolí T na 75 % a B na 25 %,
jeho smíšená strategie je (αA(T), αA(B)) = (3/4, 1/4).
Každá hra má Nashovu rovnováhu ve smíšených strategiích.
U této hry je to (3/4, 1/4) pro hráče A a (1/2, 1/2) pro hráče B.
() 9 / 36
Cournotův model
Cournotův model je simultánní hra, ve které
• hráči jsou firmy,
• akce jsou množství, které firmy vyrábí,
• preference hráčů jsou dané zisky firem.
Firmy maximalizující zisk si zároveň volí množství produkce.
Nashova (Cournotova) rovnováha je kombinace produkce firem,
při které každá firma reaguje optimálně na produkci ostatních firem.
Cournotova rovnováha: Při množstvích produkce, které zvolily ostatní
firmy, volí každá firma množství produkce, které maximalizuje její zisk.
() 10 / 36
Cournotova rovnováha se 2 firmami
Základní verze Cournotova modelu:
• dvě firmy – firma 1 a firma 2 vyrábí množství y1 a y2,
• nulové náklady – c1(y1) = 0 a c2(y2) = 0,
• identický produkt – inverzní tržní poptávka je p = a − b(y1 + y2).
Firmy řeší maximalizační problém
max
y1
π1(y1, y2) a max
y2
π2(y1, y2),
kde zisky firem 1 a 2 jsou
π1(y1, y2) = r(y1, y2)−c(y1) = [a −b(y1 +y2)]y1 = ay1 −by2
1 −by1y2,
π2(y1, y2) = r(y1, y2)−c(y2) = [a −b(y1 +y2)]y2 = ay2 −by2
2 −by1y2.
() 11 / 36
Cournotova rovnováha se 2 firmami (pokračování)
Izoziskové funkce firem 1 a 2 jsou
¯π1 = ay1 − by2
1 − by1y2 a ¯π2 = ay2 − by2
2 − by1y2.
() 12 / 36
Cournotova rovnováha se 2 firmami (pokračování)
Derivací obou ziskových funkcí získáme podmínky prvního řádu
a − 2by∗
1 − by2 = 0 a a − 2by∗
2 − by1 = 0.
Z podmínek prvního řádu vyjádříme reakční funkci firmy 1 a 2
f1(y2) = y∗
1 =
a − by2
2b
a f2(y1) = y∗
2 =
a − by1
2b
. (1)
Cournotova rovnováha je kombinace výstupů (y∗
1 , y∗
2 ), pro které platí
y∗
1 = f1(y∗
2 ) a y∗
2 = f2(y∗
1 ).
Dosazením y∗
2 za y2 a y∗
1 za y1 v rovnicích (1) dostaneme dvě rovnice
o dvou neznámých, jejímž řešením získáme Cournotovu rovnováhu
(y∗
1 , y∗
2 ) =
a
3b
,
a
3b
.
() 13 / 36
Cournotova rovnováha se 2 firmami (pokračování)
() 14 / 36
Cournotova rovnováha s n firmami
Celkový výstup odvětví je Y = y1 + · · · + yn, kde n je počet firem
v odvětví. Firma i řeší maximalizační problém
max
yi
πi = p(Y )yi − c(yi ).
Podmínka prvního řádu je
p(Y ) +
dp(Y )
dY
yi = MC(yi ).
Vynásobením druhého členu vlevo Y /Y a vytknutím p(Y ) získáme
p(Y ) 1 +
dp(Y )
dY
Y
p(Y )
yi
Y
= MC(yi ).
() 15 / 36
Cournotova rovnováha s n firmami (pokračování)
Když použijeme definici elasticity agregátní poptávkové křivky (Y )
a dosadíme si = yi /Y , získáme
p(Y ) 1 −
si
| (Y )|
= MC(yi ).
Tento výraz můžeme napsat také jako
p(Y ) 1 −
1
| (Y )|/si
= MC(yi ).
Výraz | (Y )|/si můžeme chápat jako elasticitu poptávky po produkci
firmy i. Když je na trhu
• 1 firma, máme monopol, který čelí tržní poptávce,
• mnoho firem, poptávka po produkci jedné firmy je velmi elastická
a situace na trhu se blíží dokonalé konkurenci s p(Y ) = MC(yi ).
() 16 / 36
Bertrandův model
Bertrandův model je simultánní hra, ve které
• hráči jsou firmy,
• akce jsou ceny produkce,
• preference hráčů jsou dané zisky firem.
Firmy maximalizující zisk si zároveň volí ceny produkce.
Nashova (Bertrandova) rovnováha je taková kombinace cen firem,
při které každá firma reaguje optimálně na ceny ostatních firem.
Bertrandova rovnováha: Při cenách produkce, které zvolily ostatní
firmy, volí každá firma cenu produkce, která maximalizuje její zisk.
() 17 / 36
Bertrandova rovnováha se 2 firmami
Základní verze Bertrandova modelu:
• dvě firmy,
• stejné konstantní mezní náklady MC1(y1) = MC2(y2) = c,
• identický produkt – inverzní tržní poptávka p = a − b(y1 + y2).
Poptávka po produkci firmy i = 1, 2 pro i = j a p1, p2 < a je
yi =



0 když pi > pj ,
a−pi
2b
když pi = pj ,
a−pi
b
když pi < pj ,
Nashova (Bertrandova) rovnováha je (p∗
1, p∗
2), kde p∗
1 = p∗
2 = c.
Kdyby při ceně firmy j p∗
j = c firma i
• zvýšila cenu, neprodala by nic (nepolepší si),
• snížila cenu, byla by ve ztrátě (pohorší si).
() 18 / 36
Sekvenční hra
Sekvenční hra obsahuje
• množinu hráčů,
• množinu konečných historií,
• hráčskou funkci, která určuje, kdo je kdy na tahu,
• preference nad množinou konečných historií u každého hráče.
() 19 / 36
Příklad sekvenční hry
Máme sekvenční hru, která obsahuje
• hráče A a B,
• množinu konečných historií (TL, TR, BL, BR),
• hráčskou funkci: první na tahu je hráč A, pak hráč B,
• preference hráčů jsou dané výplatami pro všechny historie:
• hráč A má preference
BR TL ∼ TR BL,
• hráč B má preference
TL ∼ TR BR BL.
() 20 / 36
Dokonalá rovnováha vzhledem k podhrám (SPE)
Tato hra má dvě Nashovy rovnováhy TL a BR, pouze BR je
dokonalá rovnováha vzhledem k podhrám (SPE).
SPE (Subgame Perfect Equilibrium) je profil akcí, ve kterém každý
hráč v každé podhře (t.j. v každém okamžiku, kdy je na tahu) hraje
optimální akci při akcích ostatních hráčů.
Hru řešíme zpětnou indukcí:
• Hráč B volí podle své reakční
funkce: fB(T) = L, R
a fB(B) = R.
• Hráč A si zvolí B, protože
BR TL ∼ TR.
() 21 / 36
Příklad – zabraňování vstupu
Hra se stejnou strukturou jako předchozí příklad. Jiná motivace.
Kdyby byly výplaty stejné jako v předchozí hře (obrázek vlevo),
entrant vstoupí a incumbent se rozhodne nebojovat.
Incumbent si ale může vybudovat výrobní kapacity, které jako
monopol nebude využívat, ale vyplatí se mu bojovat, když entrant
vstoupí, protože preferuje (Enter, Fight) před (Enter, Don’t fight).
() 22 / 36
Stackelbergův model
Stackelbergův model (množstevní vůdcovství) je sekvenční hra, kde
• hráči jsou firmy – vůdce a následovník,
• vůdce si volí množství produkce první a následovník druhý,
• preference hráčů jsou dané zisky firem.
Příklady:
• v odvětví je jedna dominantní firma, která si buduje kapacity
• modely se vstupem a budováním kapacit (přístavy)
Stackelbergova rovnováha je (SPE) – vůdce si volí optimální
množství při známé reakční funkci následovníka.
() 23 / 36
Stackelbergova rovnováha
Základní verze Stackelbergova modelu:
• firma 1 je vůdce a firma 2 je následovník,
• nulové náklady – c1(y1) = 0 a c2(y2) = 0,
• identický produkt – inverzní tržní poptávka je p = a − b(y1 + y2).
Zpětná indukce:
• Pro každý možný výstup vůdce si následovník volí množství
produkce, které maximalizuje jeho zisk (reakční funkce firmy 2).
• Vůdce si zvolí takové množství produkce, které maximalizuje jeho
zisk při známé reakci následovníka.
() 24 / 36
Stackelbergova rovnováha (pokračování)
Následovník maximalizuje zisk π2(y1, y2). Z podmínky prvního řádu
a − 2by∗
2 − by1 = 0 vypočítáme reakční funkci firmy 2
f2(y1) = y∗
2 =
a − by1
2b
.
() 25 / 36
Stackelbergova rovnováha (pokračování)
Vůdce pak řeší maximalizační problém
max
y1
p(y1 + y2)y1 − c1(y1) při omezení y2 = f2(y1).
Substitucí získáme neomezenou maximalizační úlohu
max
y1
p(y1 + f2(y1))y1 − c1(y1).
Dosazením do rovnice zisku vůdce dostaneme
π1 = a − b y1 +
a − by1
2b
y1 =
a
2
y1 −
b
2
y2
1 .
Z podmínky prvního řádu a/2 − by1 = 0 získáme optimální množství
vůdce y∗
1 = a
2b
a z reakční funkce následovníka vypočítáme optimální
množství následovníka
y∗
2 =
a − b a
2b
2b
=
a
4b
.
Stackelbergova rovnováha je tedy (y∗
1 , y∗
2 ) = (a/(2b), a/(4b)).() 26 / 36
Stackelbergova rovnováha (pokračování)
Vůdce si nevolí množství produkce na své reakční křivce, musí tedy
nějak udělat závazek o svém množství produkce.
() 27 / 36
Cenové vůdcovství
Cenové vůdcovství je sekvenční hra, ve které
• hráči jsou firmy,
• nejdřív si volí cenu vůdce a pak následovník(ci),
• preference hráčů jsou dané zisky firem.
Příklad: V odvětví je jedna dominantní firma, která rozesílá katalogy.
Způsob řešení: dokonalá rovnováha vzhledem k podhrám (SPE) –
vůdce si volí optimální cenu při známé reakční funkci následovníka.
() 28 / 36
Cenové vůdcovství s identickým produktem
Základní verze modelu cenového vůdcovství:
• firma 1 je vůdce a firma 2 je následovník,
• vůdce má konstantní mezní náklady c
a následovník má rostoucí funkci mezních nákladů,
• identický produkt.
Zpětná indukce:
• Následovník bude prodávat za cenu vůdce p2 = p1 a bude chtít
nabízet takové množství produkce, aby maximalizoval svůj zisk.
• Vůdce si zvolí cenu produkce, která maximalizuje jeho zisk při
známém nabízeném množství produkce následovníka.
() 29 / 36
Cenové vůdcovství s identickým produktem (pokračování)
Následovník přijme cenu vůdce p1 a zvolí množství produkce, aby
max
y2
p2y2 − c2(y2).
Z podmínky prvního řádu odvodíme stejnou podmínku jako
u dokonale konkurenční firmy
p2 = MC2(y2).
Reakční funkce následovníka je y2 = S2(p1), kde S2(p1) je dokonale
konkurenční nabídka následovníka.
Proč následovník zvolí cenu p2 = p1?
• Kdyby zvolil cenu p2 > p1, neprodal by nic.
• Kdyby zvolil cenu p2 < p1, měl by nižší zisk.
() 30 / 36
Cenové vůdcovství s identickým produktem (pokračování)
Vůdce čelí reziduální křivce poptávky R(p1) = D(p1) − S2(p1).
Vůdce si zvolí takovou cenu p1 = p∗
, při které bude maximalizovat
zisk π1(p1) = (p1 − c)R(p1), tedy při které MC(y∗
1 ) = MR(y∗
1 ).
() 31 / 36
Příklad – cenové vůdcovství s identickým produktem
Poptávková křivka: D(p) = a − bp
Nákladová funkce vůdce: c1(y1) = cy1
Nákladová funkce následovníka: c2(y2) = y2
2 /2
Mezní náklady následovníka jsou MC2(y2) = y2. Následovník volí
množství y2, že p1 = MC2(y2). Nabídková funkce je y2 = S2(p1) = p1.
Reziduální poptávka po produkci vůdce je
R(p1) = D(p1) − S2(p1) = a − bp1 − p1 = a − (b + 1)p1.
Inverzní poptáva po produkci vůdce je
p1 =
a
b + 1
−
1
b + 1
y1.
() 32 / 36
Příklad – cenové vůdcovství s identickým produktem
Dál řešíme jako maximalizaci zisku monopolu, tedy
max
y1
a
b + 1
−
1
b + 1
y1 y1 − cy1 při omezení y1 ≥ 0.
Podmínka prvního řádu MR1 = MC1 je
a
b + 1
−
2
b + 1
y1 = c.
Optimální množství vůdce je
y∗
1 =
a − c(b + 1)
2
.
Rovnovážná cena a optimální množství následovníka je
p∗
= y∗
2 =
a
b + 1
−
1
b + 1
y∗
1 =
a + c(b + 1)
2(b + 1)
.
() 33 / 36
APLIKACE: Konkurence a inovace
Aghion et al., „Competition, Imitation and Growth with Step-by-Step
Innovation , 2001, používají Bertrandův model se
• 2 firmami, které mohou používat různé technologie (různé MC),
• diferencovaným produktem – α měří míru substituovatelnosti,
• výdaji na RD, které souvisí s pravděpodobností inovace.
Step-by-step innovation: Když firma inovuje, její mezní náklady se
vynásobí γ−1
, kde γ > 1 je parametr určující velikost inovace.
Firma 1, která je před firmou 2 náskok n technologických kroků,
má relativní náklady c1/c2 = γ−n
. Např. pro γ = 1, 135 a
• n = 5 je c1/c2 = 0,5,
• n = 30 je c1/c2 = 0,022.
() 34 / 36
APLIKACE: Konkurence a inovace (pokračování)
() 35 / 36
Shrnutí
• V Nashově rovnováze každý hráč reaguje optimálně
na akce ostatních hráčů.
• Cournotova rovnováha je Nashova rovnováha hry,
ve které firmy volí simultánně množství produkce.
• Bertrandova rovnováha je Nashova rovnováha hry,
ve které firmy volí simultánně cenu produkce.
• U sekvenčních her můžeme zpětnou indukcí zjistit,
které Nashovy rovnováhy jsou dokonalé rovnováhy
vzhledem k podhrám (SPE).
• Stackelbergova rovnováha je SPE hry, ve které
firmy volí sekvenčně množství produkce.
• Rovnováha v cenovém vůdcovství je SPE hry,
ve které firmy volí sekvenčně cenu produkce.
() 36 / 36