Bayesiánská analýza - cvičení 1
Toto cvičení je založeno přílohách A a B z učebnice Koop (2003): Bayesian econometrics, případně na odpovídajících přílohách podkladového učebního textu Bayesiánská analýza.
Co bude náplní cvičení?
Připomenutí základů maticové algebry. Připomenutí základů matematické statistiky. Seznámení se s Matlabem:
- spuštění a nastavení cest k dodatečným toolboxům, příkazové okno skripty a funkce;
- základní operace s maticemi;
- cykly;
- generování náhodných čísel.
Princip Monte Carlo integrace a numerická standardní chyba (NSE).
Zadání příkladů
1. {Monte Carlo simulace) Proveďte Monte Carlo simulaci pro zjištění podílu šancí v příkladu prezentovaného v článku Eddy, Sean R. (2004) - What is Bayesian statistics?, který je dostupný i ve Studijních materiálech ISu (a diskutován na první přednášce).
2. (NSE Monte Carlo odhad) Monte Carlo integraci lze využít k odhadu E[9\y] jako 9 = Yfs=i /S. Pro konečné S nám tento postup nabízí odhad posteriorní střední hodnoty parametru 9. Využijte centrální limitní větu k odvození standardní chyby (známé jako numerical standard error, NSE) spojené s odhadem, která může být využita pro zhodnocení přesnosti odhadu pro zvolené S.
3. {Monte Carlo integrace) Předpokládejme, že posteriorní hustota pro parametr 9 je z normálního standardizovaného rozdělení jV(0,1):
(a) Vytvořte program, který provede Monte Carlo integraci k odhadu posteriorní střední hodnoty a posterior-nflio rozptylu parametru 9.
(b) Kolik replikací je třeba, aby bylo zajištěno, že Monte Carlo odhady střední hodnoty a rozptylu budou rovny svým skutečným hodnotám s přesností na tři desetinná místa?
(c) Ke svému programu doplňte část, která umožní počítat numerickou standardní chybu. Zkuste počítat posteriorní střední hodnotu, rozptyl a NSE pro různě velké velikosti vzorku (10,100,1000,10000,...). Je NSE dobrým indikátorem přesnosti aproximace odhadů pomocí Monte Carlo integrace?
1
4. {Další standardní rozdělení) V rámci posteriorních simulací bude třeba vytvářet náhodné vzorky i z jiných rozdělení než je standardizované normální. Vytvořte náhodné výběry o velikosti 10, 100 a 100000 (popř. i jiné velikosti např 1000) pro níže uvedená rozdělení (značení je dle přílohy B z Koop (2003)). Spočítejte výběrový průměr a směrodatnéu odchylku a porovnejte je se skutečnými hodnotami. Nezapomeňte si ověřit, jak je dané rozdělení definováno v MATLABU.
(a) Normální rozdělení N (1, 4)
(b) Uniformní rozdělení U (2, 5)
(c) Gamma rozdělení G(2,10)
(d) Exponenciálního rozdělení se střední hodnotou 5
(e) Chí-kvadrát rozdělení x2(5)
(f) Studentovo í-rozdělení í(0,1,10) popř. í(10)
(g) Beta rozdělení B(3, 2)