Makroekonomické modelování -
cvičení 3
1 Teorie I
Uvažujte domácnost, která žije čtyři období a její užitková funkce je
ln(ci) + ln(c2) + ln(c3) + ln(c4)
Její důchod v těchto čtyřech obdobích je yi = 10, y2 = 40, j/3 = 20 a j/4 = 10. Předpokládejme, že úroková míra je dána exogénne a je konstatní a rovna 0.
(a) Napište mezičasové rozpočtové omezení.
(b) Vypočítejte optimální spotřebu (ci, 02,03 a C4).1
(c) Předpokládejte, že domácnost si nemůže půjčovat a ani nemůže spořit. Jaká bude optimální spotřeba nyní?
(d) Opět zavedeme možnost půjčování. Rozdělíme členy téže dynastie (rodinného klanu) na dva druhy - rodiče a děti. Každý žije dvě období. Děti mají užitkovou funkci
ln(c3) + ln(c4) a rodiče mají užitkovou funkci
ln(ci) +ln(c2) + v(b)
kde b je děditctví (bequest) zanechané dětem a v(b) je maximální užitek dětí, které mohou získat při daném dědictví b. Důchod rodičů je (yi, y2) = (10; 40) a důchod dětí je (y3,y4) = (20; 10)
Vyřešte maximalizační problém dětí, abyste získaly v (b), tj vyřešte v(b) = max{ln(c3) +ln(c4)}
vzhledem k
C3 + c4 = y3 + y4 + b.
(e) Použijte svou odpověď z předchozí otázky k vyřešení maximalizačního problému rodičů. (Dědictví může být i záporné).
(f) Nyní uvažujte, že vláda vybere daně v období 2 ve výši 30 a rozdělí je paušálně v období 3. Jaká je optimální výše dědictví a výše spotřeby nyní?
-'-Trocha přemýšlení ušetří mechanické počítání.
1
Teorie II
Předpokládejte, že sociální plánovač maximalizuje
oo
t=o
vzhledem k
ct = kf + kt-kt+1, t = 0,1,2...
kde kg = kg je dáno a kt > 0 pro ŕ = 0,1, 2.... Pro parametry platí: a G (0,1) a/3 e (0,1).
(a) Odvoďte podmínky první řádu pro optimum spotřebitele (Eulerovu rovnici) .
(b) Co určuje, zda spotřeba bude v čase růst nebo klesat? (Využijte pro názornost vztah f3 = yq—)
(c) Jak je určena steady-statová hodnota kapitálu k* a spotřeby c*? Jaká je míra úspor ve steady-statu?
(d) Předpokládejte že a = 0.3 a f3 = .96. Jaká je steady-statová úroveň k* a c*? Jak se bude steady-statová úroveň lišit, pokud bude sociální plánovač trpělivější, tedy f3 = .98?
2 Počítání
(viz předpřipravený m-ŕile seminar3.m a soubor priloha_cv3.pdf s obrázky)
Ekonomika se sociálním plánovačem, který vybírá nekonečnou sekvenci dvou proměnných: spotřeby a kapitálové zásoby {ct, &t+i}^o aby maximalizoval
oo
max     y /3*ií(ct)
vzhledem k
c* + fct+i = f (h) + (i - s)h
Ct, kt > 0     kg > 0 dáno Předpokládejte následující formu užitkové funkce
c1-0 - 1 u(ct) = ^—r, 9>0
Vt = lK , « G (0,1)
kde a = .35, /3 = .98, 5 = .025, 6» = 2 a 7 = 5.
Jak jsme měli na přednášce, můžeme tento optimalizační úkol přepsat rekurzivně jako problém dynamického programování. Bellmanova rovnice bude mít tvar
v(kt) = vciax{u(kt, kt+\) + 13 v(kt+i)}
Abychom vypočítali hodnotovou funkci použijeme metodu iterace hodnotové funkce. Kapitálová zásoba může nabývat tří diskrétnícho hodnot k G {k^, k^2\ k^ }' = {2.85, 3.00, 3.15}'. To znamená, že v(kt) a v(kt+i) jsou vektory rozměru (3x 1) a u(kt, fct+i) je matice 3x3 (viz obrázek v příloze).
2
(a) Sestavte matici spotřeby c(i,j) o rozměrech (3 x 3) s hodnotami spotřeby pro všechny kt a kt+\. Poté vypočítejte matici užitku ze spotřeby u(kt, &t+i) opět o rozměrech (3 x 3) pro všechny hodnoty kt a kt+\ (viz obrázek Figuře 2 v příloze).
(b) Předpokládejte
Před maximalizací {u(kt, kt+\)+j3E v(&t+i)} potřebujete vypočítat součet u(kt, fct+i) a j3v(kt+i). Ale jelikož u(kt, &t+i) má rozměry (3 x 3) a v(&t+i) je vektor (3 x 1), musíme transformovat vektor v(&t+i) do matice (3 x 3). Výsledná matice je znázorněna na obrázku Figuře 3 v příloze. (Pozor, nutnost transpozice vektoru).
(c) Nyní máte {u(kt, kt+i) + j3E t>(/ít+1)} a můžete vypočítat v{kt) pomocí maximalizace výrazu
Hint: nechte si zobrazit nápovědu k funkci max pomocí příkazu help max. Zajímá nás hledání maxima v řádcích (DIM = 2).
(d) Najděte rozhodovací pravidlo pro kapitál. Zjistěte, který prvek vektoru kt+\ dává optimální hodnotu. Tomuto prvku (pořadí vektoru) přiřadte hodnotu kapitálu. Najděte rozhodovací pravidlo pro spotřebu (jako funkci kapitálu kt).
(e) Proveďte krok (c) v cyklu (podobně jako v cvičení 2 - hledání hodnoty firmy).
v(kt+i)
167.6 168.1 168.6
max{u(kt, kt+1) + ß v(kt+1)}
3 Data
Termpaper č. 1. Viz speciální zadání.
3