MAMO podzim 2015 Přednáška 10 Lit: K-QM ch7 Kehoe, Prescott (2007)
RBC model s růstem populace a technologie
Původní model, populace v modelové ekonomice se nemění. Nyní zavedeme do modelu růst populace i růst technologického pokroku. Růst jako takový nás nezajímá, spíš hospodářské cykly, ale je dobré mít model konzistentní s dlouhodobými pozorováními v datech - GDP na hlavu vykazuje trvalý, kladný růst.
Populace roste konstatním tempem n, tedy
Nt = (l+ nfNo
zkráceně (1 + n)* = rf a Nq normujeme Nq = 1. Tedy Nt = rf Obdobně pro technologický pokrok (zlepšující práci)
At = {l+g)tA0
opět po úpravách (1 + gf = 7* a normování dostaneme At = 7*. Produkční funkce (v agregátních veličinách)
Yt = ztK?(>ytHt)1-a   nebo   Yt = ztK^{AtRt)1^a
vyjádření per capita (na hlavu)
yt=ztk?{1tht)1-a   nebo yt = ztk«{Athtf-a
Vyvážená růstová trajektorie (Balanced Growth Path, BGP), analogie ke steady-statu. Všechny proměnné (y, k, c) rostou konstantním tempem (tempem technologického pokroku), odpracované hodiny na pracovníka (h) jsou konstantní.
Příklad
Problém sociálního plánovače
00
max   E0 V/3*[ln(ct) + i/>ln(l-/it)]
vzhledem k
Kt+i + Ct = (1 - S)Kt + ztK^AtHt)1-*
„ — Ct   u   _ Ht „ u      _ Kt+i
Těžké najít rozhodovací pravidla v rostoucí ekonomice. Převedeme na stacionární problém (vyjádříme ve veličinách které nerostou, např. ct = ^t\t neboli ct = j^-.
Užitková funkce
lnct + -01n(l - ht) = ln čt + \nAt + tpln(í - ht) Agregátní rozpočtové omezení vydělíme NtAt a dostaneme
k+nv + čt = (i - s)h + ztkf{htf-a
Řešením tohoto problému jsou podmínky optimality
1
Intratemporální
1 - ht ct
Intertemporální (Eulerova)
Ct Cf+l
(l-S)+ztak?-1(ht)1-a
Na BGP jsou čt, kt, jjt a ht jsou konstantní. Tím pádem ct, kt a yt rostou tempem 7 (g). Jak to vypadá s cenama?
Reprezentativní firma najímá kapitál a práci.
max ztK?{AtHty-a - wtHt - RtKt
K t ,Ht
Podmínky prvního řádu
wt = zt(l-a)At i^-j =zť(l-a)7ť^j
Na BGP je nájemní cena kapitálu R (a tím pádem i reálná úroková míra r = R — S) konstantní a reálná mzda w roste konstantním tempem 7 (g).
Podmínky rovnováhy jsou v rostoucí ekonomice v zásadě stejné jako ve stacionární ekonomice (díky transformaci veličin).
Kalibrace
Rostoucí ekonomika - některé parametry (s časovým rozměrem) se budou lišit. Předpokládejme růst populace rj = 1.01 a růst technologického pokroku 7 = 1.02.
• Podíl odměn kapitálu na důchodu a = .33 (neovlivněn).
• Parametr ip v užitkové funkci nastavit tak, aby jednotlivec pracoval 1/3 svého disponibilního času (neovlivněn).
ip = (1 - a)---z-
např. pro C/Y = 0.75 je tp = 1.77.
• Míra depreciace S z rovnice pro vývoj kapitálu (na BGP)
ivh+i = (1 - 5)kt + it
r       1 ,
S = — + 1 - 777
S I/Y = 0.25 a K/Y = 2.6 je I/K = 0.0962 a ó = 0.066.
• Diskontní faktor j3 z Eulerovy rovnice.
777
p = p = 0.971.
al + 1 ~ 5
2
Aplikace
Studium Velké krize (krizí) pomocí RBC modelu. Růstové účetnictví
Nt
)
Po logaritmování
1
lnzt +
In — + t In 7 + ln ht Vt
1
1
Rozklad detrendovaného HDP na příspěvky jednotlivých faktorů. (Před krizí na trendu, = 100). Vývoj produktivity (TFP) převzatý z dat. Kalibrace modelu, simulace vývoje veličin během krize, porovnání s daty (TFP je exogénni).
Obrázek: Srovnání predikce modelu (čárkovaná čára) s daty (plná čára).
Nezodpovězené otázky: Co je za propadem TFP?, Proč se odpracované hodiny nevrátily na původní úroveň jak model předpovídá?
3