DXX.MAT2, Domácí úloha č.l
Termín odevzdání: Bodová hodnota: 5b z 35b
Varianta: A
1.
f(x, y, z) = x4y2 — x3z3 + x2y2z2
a) Ukažte, že je funkce f(x, y, z) homogenní a určete stupeň homogenity.
b) Vypočítejte všechny 1. parciální derivace funkce f(x,y,z) a určete stupeň homogenity těchto funkcí.
c) Ukažte, že pro funkci f(x, y, z) platí Eulerův vzorec.
2.
h(x, y) = x6y + x14y7/3 + 3
a) Pro funkci h(x, y) ukážte, že je monotónní transformací homogenní funkce, tedy že jde o funkci homotetickou.
b) Když platí platí h{x\,y\) > h(x2,y2), co platí pro /i(2x1,2y1) a h{2x2,2V2V-
3. S využitím Hessovy matice zjistěte, zda je funkce f(x,y) = —x2 + y2 — —xy konvexní nebo konkávni.
4.
f(x) = ^,xeR~
Je funkcie f (x) konvexní nebo konkávni? Mějme x\,X2 G MT, A G (0,1), která z následujících nerovností platí?
f{\Xl + (1 - \)x2) > \f(Xl) + (1 - X)f(x2)
f{\Xl + (1 - \)x2) < \f(Xl) + (1 - X)f(x2)
Varianta: B 1.
f (x, y, z) = 2x3y~2 - 7x2y2z~3 + 3x2y~2z
a) Ukažte, že je funkce f (x, y, z) homogenní a určete stupeň homogenity.
b) Vypočítejte všechny 1. parciální derivace funkce f (x,y, z) a určete stupeň homogenity těchto funkcí.
c) Ukažte, že pro funkci f (x, y, z) platí Eulerův vzorec.
1
h(x, y) = x9y3/2 + x3y1/3 + 6
a) Pro funkci h(x, y) ukážte, že je monotónní transformací homogenní funkce, tedy že jde o funkci homotetickou.
b) Když platí platí h{x\,y{) > h(x2,y2), co platí pro h{2x\,2y{) a h(2x2,2y2)7
3. S využitím Hessovy matice zjistěte, zda je funkce f(x, y) = x2 + y2 + e6 konvexní nebo konkávni.
4.
f(x) = ^-,xeR+
Je funkcie f (x) konvexní nebo konkávni? Mějme x\,x2 G K+, A G (0,1), která z následujících nerovností platí?
f{\Xl + (1 - \)x2) > \f(Xl) + (1 - X)f(x2)
f{\Xl + (1 - \)x2) < \f(Xl) + (1 - X)f(x2)
Varianta: C
3x2z    7x2y2 2x3 }{x,y,z) = —5---3--1--T
Za
a) Ukažte, že je funkce f(x, y, z) homogenní a určete stupeň homogenity.
b) Vypočítejte všechny 1. parciální derivace funkce f(x,y,z) a určete stupeň homogenity těchto funkcí.
c) Ukažte, že pro funkci f(x, y, z) platí Eulerův vzorec.
h(x, y) = xy° + xbyM + 7
a) Pro funkci h(x, y) ukážte, že je monotónní transformací homogenní funkce, tedy že jde o funkci homotetickou.
b) Když platí platí h{x\,y{) > h(x2,y2), co platí pro h{2x\,2y{) a
^(2X2,2^)?
3. S využitím Hessovy matice zjistěte, zda je funkce f(x,y) = 2(x2 + y2) — —xy konvexní nebo konkávni.
4.
f (x) = -,x eR~
2
Je funkcie f (x) konvexní nebo konkávni? Mějme ii,^ € K , A G (0,1), která z následujících nerovností platí?
f{\Xl + (1 - \)x2) > \f(Xl) + (1 - X)f(x2)
f{\Xl + (1 - \)x2) < \f(Xl) + (1 - X)f(x2)
Varianta: D
1.
f (x, y, z) = 2x4y~1 - 7x2y2Z-1 + 3x2y-2z3
a) Ukažte, že je funkce f (x, y, z) homogenní a určete stupeň homogenity.
b) Vypočítejte všechny 1. parciální derivace funkce f (x,y, z) a určete stupeň homogenity těchto funkcí.
c) Ukažte, že pro funkci f (x, y, z) platí Euleruv vzorec.
2.
h(x, y) = Ax2y + 2x6y3 + 7x10y5 + 15
a) Pro funkci h(x, y) ukážte, že je monotónní transformací homogenní funkce, tedy že jde o funkci homotetickou.
b) Když platí platí h{x\,y{) > h(x2,y2), co platí pro h{2x\,2y{) a
^(2X2,2^)?
3. S využitím Hessovy matice zjistěte, zda je funkce f(x,y) = —2x2 — y2 + +2xy konvexní nebo konkávni.
4.
f (x) = -,x e R+ x
Je funkcie f (x) konvexní nebo konkávni? Mějme x\,x2 G M+, A G (0,1), která z následujících nerovností platí?
f{\Xl + (1 - \)x2) > \f(Xl) + (1 - X)f(x2)
f{\Xl + (1 - \)x2) < \f(Xl) + (1 - X)f(x2)
Varianta: E 1.
ii ^        -1  á,   ž 3   i i
j(x,y,zj=x y3z3+bx2y3z6
a) Ukažte, že funkce f (x, y, z) je homogenní a určete stupeň homogenity.
b) Vypočítejte všechny 1. parciální derivace funkce f (x,y, z) a určete stupeň homogenity těchto funkcí.
3
c) Ukažte, že pro funkci f (x, y, z) platí Eulerův vzorec.
h(x,y) = x6y + x10y5/3 + 3
a) Pro funkci h(x, y) ukážte, že je monotónní transformací homogenní funkce, tedy že jde o funkci homotetickou.
b) Když platí platí h{x\,y{) > h(x2,y2), co platí pro h{2x\,2y{) a h{2x2,2V2V-
S využitím Hessovy matice zjistěte, zda je funkce f{x,y) = 3x2 + 4y2 — —6xy + x konvexní nebo konkávni.
f (x) = ex
Je funkcie f (x) konvexní nebo konkávni? Mějme x\,X2 G M, A G (0,1), která z následujících nerovností platí?
f{\Xl + (1 - \)x2) > \f(Xl) + (1 - X)f(x2)
f{\Xl + (1 - \)x2) < \f(Xl) + (1 - X)f(x2)