DXX-MAT2, Domácí úloha č.6 Termín odevzdání: 27.11.2015 Bodová hodnota: 7b z 35b
Varianta: A
1. Mějme funkci f(x, y, q) = —(—qxy + y — x2), kde q je parameter.
a) Pokud x*(q) a y*(q) odpovídají stacionárním bodům funkce f(x,y,q) pro danú hodnotu parametru q, vypočítejte
df(x*(q),y*(q),q) dq
b) Najděte stacionární body funkce f(x, y, q) v závislosti na parametru q. Vypočítejte funkční hodnoty v stacionárních bodech a zjistěte derivaci těchto funkčních hodnot dle q.
c) Pokud q = 1, o kolik se přibližně změní funkční hodnota v stacionárních bodech, když hodnota parametru q vzroste o 0.01?
2. Mějme optimalizační problém max ojí/ za podmínek x + y < q, x > 0, y > 0.
a) Pokud x* (q) a y* (q) odpovídají stacionárním bodům úlohy a L(x,y, A, q) je Lagrangeova funkce, vypočítejte
dL(x*(q),y*(q),\,q) dq
b) Najděte obecné řešení úlohy pro q > 0, vypočítejte funkční hodnoty v závislosti na q a určete jejich derivaci podia q.
c) Pokud q = 1, o kolik se přibližně změní funkční hodnota v stacionárních bodech, když hodnota parametru q vzroste o 0.01?
3. Mějme tři prosté loterie L i = (1/3,1/2,1/6), L2 = (1/2,1/4,1/4), La = (5/8,1/4,1/8), v kterých můžou nastat tři různé stavy si, 52,^3 s danou pravděpodobností. Každému stavu odpovídá výplata v(si) = 120, «(«2) = 80, «(.§3) = 100. Loterie Li,Ľ2,Lz jsou volené náhodně v rámci složené loterie A = (1/6, 2/3,1/6).
a) Jaké jsou pravděpodobnosti jednotlivých stavů p{s\),p{s'2),p{sz) v složené loterii A? Jaké jsou očekávané výplaty loterií L\, L2, L3, A? (ozn. E(v(Li)),..., E(v(A)))
b) Mějme danou úžitkovou funkci u{x) = x2. Je funkce konvexní nebo konkávni? Určete hodnoty očekávaných užitků loterií L\, L2, £3, A (ozn. E(u(Li),..., E(u(A))) a porovnejte je s užitky z očekávaných výplat těchto loterií. Je spotřebitel rizikově averzní, neutrální, alebo vyhledává riziko? Kterou loteri z L\, L2, £3, A by si spotřebitel vybral?
Varianta: B
1. Mějme funkci f(x, y,q) = x■ — xy + ^— qx, kde q je parameter.
a) Pokud x* (q) a y*(q) odpovídají stacionárním bodům funkce f(x,y,q) pro danů hodnotu parametru q, vypočítejte
df(x*(q),y*(q),q) dq
1
b) Najděte stacionární body funkce f{x, y, q) v závislosti na parametru q. Vypočítejte funkční hodnoty v stacionárních bodech a zjistěte derivaci těchto funkčních hodnot dle q.
c) Pokud q = 1, o kolik se přibližně změní funkční hodnota v stacionárních bodech, když hodnota parametru q vzroste o 0.01?
2
2. Mějme optimalizační problém maxqx + \ za podmínek x + y < 2, x > 0, y > 0.
*,y
a) Pokud x* (q) a y* (q) odpovídají stacionárním bodům úlohy a L{x,y, A, q) je Lagrangeova funkce, vypočítejte
dL{x*{q),y*{q),X,q) dq
b) Najděte obecné řešení úlohy pro q > 0, vypočítejte funkční hodnoty v závislosti na q a určete jejich derivaci podia q.
c) Pokud q = 1, o kolik se přibližně změní funkční hodnota v stacionárních bodech, když hodnota parametru q vzroste o 0.01?
3. Mějme tři prosté loterie Lx = (4/5,1/5,0), L2 = (2/5,2/5,1/5), La = (1/6,1/3,1/2), v kterých můžou nastat tři různé stavy si,si,S3 s danou pravděpodobností. Každému stavu odpovídá výplata v(si) = 100, «(«2) = 150, «(53) = 40. Loterie L\,L'2.,Ľ,i, jsou volené náhodně v rámci složené loterie A = (3/8,1/2,1/8).
a) Jaké jsou pravděpodobnosti jednotlivých stavů p{si), p{si), p{ss) v složené loterii A? Jaké jsou očekávané výplaty loterií L\, L2, L3, A? (ozn. E {v {Lij),..., E {v {A)))
b) Mějme danou úžitkovou funkci u{x) = sjx. Je funkce konvexní nebo konkávni? Určete hodnoty očekávaných užitků loterií L\, Li, L3, A (ozn. E{u{L\),..., E{u{A))) a porovnejte je s užitky z očekávaných výplat těchto loterií. Je spotřebitel rizikově averzní, neutrální, alebo vyhledává riziko? Kterou loteri z L\, Li, L3, A by si spotřebitel vybral?
Varianta: C
1. Mějme funkci f{x, y, q) = x2 + y2 — qxy, kde q je parameter.
a) Pokud x*{q) a y*{q) odpovídají stacionárním bodům funkce f{x,y,q) pro danů hodnotu parametru q, vypočítejte
df{x*{q),y*{q),q) dq
b) Najděte stacionární body funkce f{x, y, q) v závislosti na parametru q. Vypočítejte funkční hodnoty v stacionárních bodech a zjistěte derivaci těchto funkčních hodnot dle q.
c) Pokud q = 1, o kolik se přibližně změní funkční hodnota v stacionárních bodech, když hodnota parametru q vzroste o 0.01?
2
2. Mějme optimalizační problém max ^|—h y za podmínek x + y < 1, x > 0, y > 0.
x,y
a) Pokud x* {q) a y* {q) odpovídají stacionárním bodům úlohy a L{x,y,\,q) je Lagrangeova funkce, vypočítejte
dL{x*{q),y*{q),X,q) dq
2
b) Najděte obecné řešení úlohy pro q > 0, vypočítejte funkční hodnoty v závislosti na q a určete jejich derivaci podia q.
c) Pokud q = 1, o kolik se približne změní funkční hodnota v stacionárních bodech, když hodnota parametru q vzroste o 0.01?
3. Mějme tři prosté loterie Lx = (1/4,1/4,1/2), L2 = (0,1/2,1/2), La = (2/3,1/6,1/6), v kterých můžou nastat tři různé stavy si, 52,^3 s danou pravděpodobností. Každému stavu odpovídá výplata v(si) = 240, «(«2) = 480, «(53) = 360. Loterie Li,Ľ2,Lz jsou volené náhodně v rámci složené loterie A = (1/3,1/3,1/3).
a) Jaké jsou pravděpodobnosti jednotlivých stavů p{s\),p{s'2),p{sz) v složené loterii A? Jaké jsou očekávané výplaty loterií L\, L2, £3, A? (ozn. E(v(Li)),..., E(v(A)))
b) Mějme danou úžitkovou funkci u(x) = 2x. Je funkce konvexní nebo konkávni? Určete hodnoty očekávaných užitků loterií L\, L2, £3, A (ozn. E(u(Li),..., E(u(A))) a porovnejte je s užitky z očekávaných výplat těchto loterií. Je spotřebitel rizikově averzní, neutrální, alebo vyhledává riziko? Kterou loteri z L\, L2, £3, A by si spotřebitel vybral?
3