Bayesiánská analýza - cvičení 5
Toto cvičení je založeno na znalosti páté kapitoly z učebnice Koop (2003): Bayesian econometrice, případně na odpovídající kapitole podkladového učebního textu Bayesiánská analýza.
Co bude náplní cvičení?
^ Odhad a posteriorní analýza normálního nelineárního regresního modelu.
^ Osvojení si techniky Metropolis-Hastings algoritmu (v jeho základních variantách).
^ Odhad a posteriorní analýza na příkladech s využitím reálných dat.
Zadání příkladů
1. M-H algoritmus Cílem tohoto úkolu je osvojení si technik Metropolis-Hastings algoritmů a analýza jejich vlastností. Předpokládejme, že nás zajímá bayesiánská analýza parametru 6, jehož posteriorní hustota je dána jako
pro —oo < 9 < oo. Jedná se o speciální případ Laplaceova rozdělení. Pro naše účely ovšem nepotřebujeme znát integrační konstantu. Toto Laplaceovo rozdělení má střední hodnotu 0 a rozptyl 8. Předpokládejme, že nedokážeme přímým způsobem získat vzorky z p(0\y) a chceme tedy využít M-H algoritmus.
(a) Odvoďte a vytvořte program pro independence chain M-H algoritmus s využitím ÍV(0, d2) jakožto kandidáty generující hustoty (pro různé hodnoty ď).
(b) Odvoďte a vytvořte program pro random walk chain M-H algoritmus s využitím normálně rozdělené přírůstkové veličiny s rozptylem, c2 (pro různé hodnoty c).
(c) Porovnejte výkonnost předchozích dvou algoritmů.
2. Soubor mexico . m obsahuje makroekonomická data pro Mexiko z let 1955-1974. Máme k dispozici tři specifikace produkčních funkcí této ekonomiky, Cobb-Douglasovu funkci
CES produkční funkci (obvyklý je požadavek @2 + Pz = 1> coz můžete provést v rámci rozšíření modelu)
Proměnná Yi odpovídá HDP dané ekonomiky, kdy výrobními faktory jsou práce, X2i a kapitál X^. V rámci odhadu budeme pracovat s proměnnými vyjádřenými jako odchylky od svých průměrných hodnot (tedy s pomocí indexů, kde průměr dané veličiny je roven jedné). Výraz 1/(1 — fii) v CES produkční funkci pak odpovídá elasticitě substituce.
(a) Odhadněte produkční funkce mexické ekonomiky s využitím Random Walk Metropolis-Hastings algoritmu. Uvažujeme apriorní hustotu pro parametry odpovídající normálnímu rozdělení a pro přesnost chyby odpovídající gama rozdělení). Náhodná složka pochází z normálního rozdělení (s přepokladem nezávislosti pozorování).
(b) Která ze specifikací lépe odpovídá datům? (využijte pro konstrukci bayesova faktoru metodu Gelfanda a Deye a poksute se rovněž simulovat na zákaldě modelů vybrané momenty v pozorovaných datech, tedy střední hodnotu a rozptyl resp. směrodatnou odchylku)
Y = aiXgXg + ex
a lineární produkční funkci
Yi = 7i + y2X2i + jaXai + q.
1