Makroekonomické modelování - cvičení 4
1 Teorie I
Uvažujte následující problém sociálního plánovače.
max Eq
vzhledem k
ct + H = Vt
kt+i = (1 - S)kt +it ht+it = í ct,kt, ht, £t>0
a ko > 0 a je dáno, a S e (0,1)
Konkrétní forma užitkové a produkční funkce je:
1 — <7
yt = ztf(kt,ht) = ztk?h1t-a
kde er > 0 a t> G (0,1) a šok zt je technologický šok, který je iid a může nabývat následujících hodnot
zt G Z= [.75,1.25]
s pravděpodobnostmi
7Ti = Pr{zt = z1} = .5
7T2 = Pr{zí = z2} = .5
V (deterministickém) steady státu je hodnota šoku rovna jeho střední hodnotě. Vypočítejte steady-statové hodnoty následujících endogenních proměnných (poměry proměnných) jako funkce strukturálních parametrů, tj. parametrů technologií a preferencí („řecká písmena").
(a) poměr investic a kapitálu (investment/capital ratio, i/k)1
(b) ceny výrobních faktorů (mpk = R, mpl = w)
(c) poměr kapitálu a práce (capital/labor ratio, k/K) 2
(d) poměr kapitálu a výstupu (capital/output ratio, k/y) 3
(e) podíl kapitálu a práce na národním důchodu (capital share a labor share)
(f) podíl investic a výstupu (investment/output ratio, i/y)
(g) podíl spotřeby a výstupu (constumption/output ratio, c/y) 1 Využijte rovnici pro vývoj kapitálu.
2Využijte mezičasovou podmínku optimality, Eulerovu rovnici. 3Využijte opět Eulerovu rovnici.
t=0
1
Teorie II
CRRA funkce a výběr spotřeby mezi dvěma obdobími. Mějme užitkovou funkci
„1-0 1
u(c)
i - e
kde 6 > 0. Pro 6 = 1 je w(c) = ln c.
1. Ukažte, že u'(c) > 0 a w"(c) < 0.
2. Co se stane s u'(c) , když c->0a když c —>• oo?
3. Předpokládejte, že spotřebitel žije jen dvě období (1 a 2). Jeho užitková funkce je
U = u(ci) + ——u(c2) 1 + p
kde u(c) je CRRA funkce a p > 0. Vysvětlete, co parametry pař? (nebo a = 1/0) znamenají pro spotřebitelovy preference mezi obdobími.
4. Předpokládejte, že spotřebitel pracuje pouze v prvním období, jinak nemá žádný příjem. Jeho rozpočtové omezení tedy je
1
Cl +--c2 = w
1 + r
kde w je mzdový příjem. Odvoďte podmínku prvního řádu pro maximalizaci užitku (Eulerovu rovnici).
5. Najděte explicitní řešení pro spotřebu v období 1 a 2, tedy c\ a c2 jako funkce parametrů a cen r a w. Vysvětlete, jak spotřeba závisí na mzdovém příjmu w a úrokové míře r. Jaká je zde role parametrů p a 6 (cr)?
2 Počítání I
(viz předpřipravený m-file seminar3.m a soubor priloha_cv3.pdf s obrázky)
Ekonomika se sociálním plánovačem, který vybírá nekonečnou sekvenci dvou proměnných: spotřeby a kapitálové zásoby {ct, /jt+i}^Q aby maximalizoval
oo
max ^^/3*?i(ct)
{ct,fet+1}^0 ^
vzhledem k
c* + fct+i = f(h) + (i - s)h
Ct, kt > 0     kg > 0 dáno Předpokládejte následující formu užitkové funkce
c1-0 - 1
u{ct) = AT^T> 9>0
Vt = iK        ,« e (0,1)
2
kde a = .35, /? = .98, ô = .025, 9 = 2 a 7 = 5.
Jak jsme měli na přednášce, můžeme tento optimalizační úkol přepsat rekurzivně jako problém dynamického programování. Bellmanova rovnice bude mít tvar
Abychom vypočítali hodnotovou funkci použijeme metodu iterace hodnotové funkce. Kapitálová zásoba může nabývat tří diskrétnícho hodnot k G {k^\ k^2\ k^ }' = {2.85, 3.00, 3.15}'. To znamená, že v(kt) a v(kt+i) jsou vektory rozměru (3x 1) a u(kt, kt+i) je matice 3x3 (viz obrázek v příloze).
(a) Sestavte matici spotřeby c(i,j) o rozměrech (3 x 3) s hodnotami spotřeby pro všechny kt a kt+\. Poté vypočítejte matici užitku ze spotřeby u(kt, &t+i) opět o rozměrech (3 x 3) pro všechny hodnoty kt a kt+i (viz obrázek Figuře 2 v příloze).
(b) Předpokládejte
Před maximalizací {u(kt, kt+i)+j3E v(kt+i)} potřebujete vypočítat součet u(kt, kt+i) a j3v{kt+i). Ale jelikož u(kt, &t+i) má rozměry (3 x 3) a v{kt+\) je vektor (3 x 1), musíme transformovat vektor v{kt+\) do matice (3 x 3). Výsledná matice je znázorněna na obrázku Figuře 3 v příloze. (Pozor, nutnost transpozice vektoru).
(c) Nyní máte {u(kt, kt+i) + j3E v(kt+i)} a můžete vypočítat v(kt) pomocí maximalizace výrazu
Hint: nechte si zobrazit nápovědu k funkci max pomocí příkazu help max. Zajímá nás hledání maxima v řádcích (DIM = 2).
(d) Najděte rozhodovací pravidlo pro kapitál. Zjistěte, který prvek vektoru kt+i dává optimální hodnotu. Tomuto prvku (pořadí vektoru) přiřadte hodnotu kapitálu. Najděte rozhodovací pravidlo pro spotřebu (jako funkci kapitálu kt).
(e) Proveďte krok (c) v cyklu (podobně jako v cvičení 2 - hledání hodnoty
2 Počítání II
Uvažujte modelovou ekonomiku, kde sociální plánovač vybírá nekonečnou sekvenci spotřeby a kapitálové zásoby {ct, &t+1}^0, aby maximalizoval
v(kt) = ma,x{u(kt, kt+1) + v(kt+1)}
v(kt+i)
167.6 168.1 168.6
ma,x{u(kt, kt+1) + 13 v(kt+1)}
firmy).
00
max
{ct,fet+1}
r=0
t=0
vzhledem k
ct + kt+i =yt + (í- S)kt
3
ct,kt,> O
a ko > O a je dáno, a S e (0,1).
Ekonomika je vystavena exogennímu stochastickému šoku 7, který je iid a může nabývat následujících hodnot
7t G r = [4.95, 5.05]
s pravděpodobnostmi
7Ti = Pr{7t = 71} = .5 7T2 = Pr{7t = 72} = .5 Uvažujte následující užitkovou a produkční funkci:
Vt = ltF(ku 1) = ltk*
Vypočítejte hodnotovou funkci (value function) a rozhodovací pravidlo (decision rule) pomocí metody iterace hodnotové funkce (value function iteration).
1. Napište Bellmanovu rovnici pro problém sociálního plánovače. Tj. refor-mulujte problém jako problém dynamického programování. Určete, které proměnné jsou statové (endogenní/exogénni) a které řídící.
2. Odvoďte deterministický steady state pro hodnotu kapitálu, k*, jako funkci strukturálních parametrů.
3. v Matlabu: m-file >> Definujte hodnoty parametrů, vypočítejte steady-state kapitálu. Uvažujte hodnoty: a = .35, /? = .98, S = .025, a = 2 a 7 = 5.
4. Diskretizujte stavovou proměnnou k, tj. vytvořte grid v okolí steady státu ki = 0.95&, kgk = í.05k, kde gk = 101 (počet bodů).
5. Vytvořte matici spotřeby (pro každý šok jeden plást (gk x gk), tedy (gk x gk x gg), kde g g = 2, dva stavy technologického šoku). Matice spotřeby je pro každou kombinaci k a k'. Vytvořte užitkovou matici.
6. Definujte počáteční odhad hodnotové funkce vq (gk x gg). Vypočítejte novou hodnotovou funkci řešením Bellmanovy rovnice.
vi(k, 7) = niax {u + j3 1 ir[v0(k', j')]T}
Řešte iterativně, do té doby, až dostanete blízkou aproximaci skutečné hodnotové funkce. Vypočítejte a vykreslete rozhodvací pravidla pro k' a c. Tj. pro poslední maximalizaci najděte index řádku, který dává maximální hodnotu pro každé k' (pro obě hodnotové funkce). Z indexu vypočítejte rozhodovací pravidlo pro kapitál k' = k (i). Rozhodovací pravidlo pro spotřebu vypočítejte residuálně.
7. Nasimulujte (100 krát) chování ekonomiky při reakci na stochastický šok 7t-
Pro tento příklad se podívejte na řešení na webu. M-file seminar4_det .m je řešením výše uvedeného problému pro deterministický případ (bez stochastického šoku). M-file seminar4_iid.m odpovídá výše uvedenému zadání. M-file seminar4_mc. m je modifikace, pokud je šok modelován jako Markovský řetězec.
4