MAMO podzim 2016 Přednáška 5 Lit: W-MT, s 3.2.1, 5.2 Krueger web McC-ABC ch 4, 5
Analytické vs. numerické řešení
Porovnání analytického řešení a aproximativního řešení (z iterace hodnotové funkce).
Model z minulé přednášky. C-D produkční funkce, logaritmická užitková funkce, stoprocentní depre-ciace. Produkční funkce F(k,n) = kfn\~a, kde a G (0,1), u(ct) = ln(ct) a depreciace kapitálu ó = 1. Produkční funkci můžeme přepsat jako f(k) = ka.
Bellmanova rovnice
v(k) = max {ln(ka - k') + Pv{k')}
Analytické řešení
Řešíme pomocí Guess & Verify. Náš odhad je:
v(k) = a + bia k
kde a, b jsou koeficienty, které musíme určit. Bellmanova rovnice po dosazení
a + bin k = max {ln(ka - k') + P (a + bin k')} (1)
Postup:
1. Řešíme maximalizační problém na pravé straně rovnice (1). Výsledkem je
, _ (3bka ~ 1+/3&
2. Dosadíme do (1) za k' a zjistíme koeficienty a + b\nk = \n[ka-^-\ + 0 (a + bhi f ^
1 + fib      r \ \ 1 + fib
ka   \        / / Bbkc
a + blnk = 1n[--— ) +/3 [ a + bin 1
1+/3W    ' \ \l + fib
a + blnk = /3a + /3bln/3b - [1 + /3b] ln(l + /3b) + a(l + /3b)lnk
1   [/3Ďln(/3Ď) - (1 + j3b) ln(l + j3b)]
1-/3
1 - aP
3. Dosadíme do rozhodavacího pravidla za b. Rozhodovací pravidlo pro kapitál k' = aj3ka, pro spotřebu c = (1 — a/3)ka Steady state je k* = (a/3) .
1
Iterace hodnotové funkce
Iterativní schéma
Vi+i(k) = max [u(k, k') + j3vi{k')\
Můžeme zkusit řešit příklad analyticky (maximalizace, dosazení a tak dále) - náročné. Radši numericky. Určíme si, že kapitál (k a k') může nabýt pěti hodnot k e {0.04,0.08,0.12,0.16,0.20} Hodnotová funkce se skládá z 5 hodnot t>„(0.04), t>„(0.08), ... Paramtery, a = 0.3, /? = 0.6.
1. Počáteční odhad vo(k) = 0 pro všechna k E k
2. Vyřešíme v±(k) = maxfe/{ln(/j0,3 — k') + 0.6 * 0}. Hledáme maximum pravé strany. Která hodnota k' (z 5 možných) maximalizuje RHS BE? Řešením je k' = gi(k) = 0.04 pro všechna k.
3. Vypočítáme hodnotovou funkci v\{k) pro všech 5 hodnot k s k' = 0.04.
4. Opakujeme první krok, s již vypočítanou (maximální) hodnotovou funkcí v\{k) na pravé straně. Opět hledáme, které k' (z 5 možných) maximalizuje výraz na pravé straně f 2 (A;) = maxfe/{ln(/j0,3 — k') + 0.6 * vi(k')}. Řešením je k' = g2(k) = 0.08, pro k = 0.04. Další viz tabulka.
Obrázek. Aproximace hodnotové funkce. Již po 20 iteracích jsme hodně blízko. Rozhodovací pravidlo nekonverguje ke skutečnému, ani více iterací nepomáhá. Proč? Analytické rozhodovací pravidlo může nabývat kterékoliv hodnoty, zatímco při numerické aproximaci jsme se omezili na pět hodnot k G k. (gio je nejlepší aproximace). Hodnotová funkce vypadá lépe, protože užitková a produkční funkce modelu přenáší do hodnotové funkce zakřivenost. Pozn. Skutečná hodnotová funkce a rozhodovací pravidlo jsou jen body. (Na obrázku vypadají spojitě, matlab mezi nimi udělal interpolaci).
Stochastický neoklasický model (RBC)
Stochastické dynamické programování. Do hry vstupují očekávání.
Reprezentativní spotřebitel maximalizuje očekávanou užitkovou funkci
00
t=o
kde Eq je operátor očekávání, podmíněných informacemi dostupnými v čase t = 0. ct je zde náhodná proměnná. (Spotřebitel má 1 jednotku práce, kterou (neelasticky) každé období nabízí na trhu práce).
Produkční funkce
yt = ztF(kt,nt)
kde zt je náhodný technologický šok. Může být modelován jako iid proměnná nebo Markovský řetězec (nebo AR proces). Předpokládejme, že {zt}^L0 bude iid proměnná - nezávisle a rovnoměrně rozdělená (každé období vybrána z pravděpodobnostního rozložení G (z)). Na začátku každého období se agent dozví, co se událo za šok, a teprve poté dělá svoje rozhodnutí. Další rovnice jsou stejné, jak předtím, kapitál se vyvíjí dle rovnice
kt+i = (1 - S)kt +it a výstup je buď investován nebo spotřebován.
Vt = H + ct
Organizace trhů Arrow-Debreu
Kontrakty se uzavřou v čase t = 0 na konkurenčním trhu pro každou možnou realizaci šoků. Podmíněné smlouvy: slib dodat množství práce/kapitálu v čase T. Pak se to rozběhne a kontrakty se uskutečňují. (Konkurenční rovnováha je Pareto optimální).
2
Sekvenční trhy
Spotový trh s racionálními očekáváními. Strany se každý den potkávají a uskutečňují obchody na základě svých očekávání o budoucích cenách. V rovnováze se trhy čistí každé období pro každou realizaci šoku. Očekávání jsou racionální v tom smyslu, že očekávání o pravděpodobnostním rozdělení budoucích cen je stejné jako skutečné pravděpodobnostní rozdělení. Mohou být překvapeni, ale ne systematicky oklamáváni, využívají informace efektivně. V našem modelu je tato rovnováha stejná jako rovnováha AD.
Problém sociálního plánovače
Konkurenční rovnováha je Pareto optimální. Můžeme přejít na řešení problému sociálního plánovače.
oo
max y _Eo/3*ií(ct)
vzhledem k
ct + h+i = ztf(kt) + (1 - 6)kt
protože f(kt) = F(kt, 1).
Stavová proměnná kt az(.
• kt je určeno minulým rozhodnutím (endogenní stavová proměnná)
• zt je dáno náhodou (exogénni stavová proměnná)
Bellmanova rovnice
v(kt,zt) = max[w(ct) + l3Etv(kt+1, zt+1)]
vzhledem k ct = ztf(kt) + (1 — S)kt — kt+\. Naše řídící proměnná je jen kt+\, za ct dosadíme z omezení ekonomiky.
Proměnná zt je zdrojem nejistoty (agenti vědí jen pravděpodobnostní rozdělení), proto očekávaný užitek (očekávaná hodnotová funkce), je tam to Et. Et je operátor očekávání podmíněných informacemi v čase t. Řešení pomocí iterace hodnotové funkce. Předpokládejme, že jsou možné jen dvě realizace šoků z1 a z2 (např. 0.75 a 1.75) a k tomu dvě pravděpodobnosti p\ a p2- Předpokládáme, že proměnná z je modelována jako iid. Jsme v čase 0, vybíráme kapitál k\
Použijeme teorii očekávaného užitku, pro každou hodnotu kapitálu k\ dostaneme
E0v(k1,z1) = p1v(k1,z1) + p2v(k1,z2)
Nebo obecněji pro jakýkoliv čas
Etv(kt+1, zt+1) = p1v(kt+1, z1) + p2v(kt+1, z2)
Bellmanova rovnice se nám rozpadne na dva případy
v(kt,z1) = ma,x[u(z1f(kt) + (1 - 5)kt - kt+1) + /3[pi?;(fct+i, z1) + P2v{kt+1, z2)]
v(kt,z2) = ma,x[u(z2f(kt) + (1 - S)kt - kt+1) + Plp^k^, z1) + p2v(kt+1, z2)}
[očekávání v Bellmanově rovnici Etv{kt+\, zt+\) je rovno: diskontovaný užitek (hodnotová funkce), když si náhoda vybere z1 krát pravděpodobnost p\ + diskontovaný užitek, když si náhoda vybere z2 krát pravděpodobnost p2]
Hledání hodnotové funkce iterativně, např. pro z1
vxikt^z1) = ma,x[u(z1f(kt) + (1 - 5)kt - kt+1) + P\piv0(kt+i, z1) +p2v0(kt+1, z2)]
kt + 1
3
maximalizujeme a dosazujeme v cyklu dokud to nezkonverguje. Obdobně pro z2. Dostaneme aproximaci hodnotové funkce a rozhodovací pravidlo: v tomto případě 2 hodnotové funkce a 2 rozhodovací pravidla (pro z1 a z2).
Obrázek: přechodová množina (transition set) množina hodnot kapitálu, která nenastane v dlouhém období, ergodická množina (ergodic set) množina, kterou kapitál nikdy neopustí, když se tam dostane.
Ekonomika nyní nekonverguje do steady státu, protože disturbance (technologické šoky) způsobí neustálé fluktuace ve výstupu, spotřebě, investicích. Ekonomika konverguje ke stochastickému steady-statu, což je nějaká sdružená hustota pravděpodobnosti výstupu, spotřeby a investic.
Lze vypočítat deterministický steady-state. Soky nastavíme na svou střední hodnotu. Steady state spočítáme analyticky z podmínek prvního řádu (Eulerovka), kt = kt+\ = k*, ct = ct+i = c*.
Konečně už tu máme stochastiku. Model můžeme nasimulovat (vybereme konkrétní produkční a užitkové funkce a nakalibrujeme parametry) a pak stačí výchozí hodnota kapitálu kg a sekvence šoků {z}t=0 generovaná nějakým náhodným generátorem a podle rozhodovacích pravidel pro k a ca dopočítáním dalších proměnných dostaneme časové řady z modelu. Tyto řady připomínají detrendované časové řady dat (pro U.S.). Výstup ze simulace modelu porovnáme se skutečnými daty z hlediska statistických momentů - (střední hodnota, rozptyl, autokorelace, křížové korelace). Pokud chování základního modelu neodpovídá datům, můžeme ho nějakým způsobem modifikovat a tak dále. Případně se dá model použít pro analýzu efektů hospodářské politiky.
Poznámka: pokud je šok modelován jako Markovský proces, pak Bellmanova rovnice bude vypadat následovně
v(kt,zt) = maxkt(ct) + l3Etv(kt+1, zt+1 \zt)] konkrétně s pravděpodobnostní maticí
v(kt,zt) = max[w(ct) +/? V" P{zt+1\zt)v(kt+1,zt+1)]
kt+i
zt+i
a rozepsané
v(kt,z1) = max[u(z1f(kt) + (1 - 5)kt - kt+1) + l3[pnv(kt+i, z1) + pi2v(kt+i, z2)}
kt+i
v(kt,z2) = max[u(z2f(kt) + (1 - 5)kt - kt+1) + l3[p2iv(kt+i, z1) + P22v{kt+1,z2)]
Řešení pomocí diferenciace Bellmanovy rovnice, případně pomocí Lagrangiánu vede na podmínku optimality - stochastická Eulerova rovnice.
u'(ct) = pEt[u'(ct+1)(l + f'(kt+1) - S)}
(nelineární stochastická rovnice, řešení pomocí log-linearizace a pak numericky)
Vlastnosti řešení
• Uhádni a ověr (guess and verify) analytické řešení (+), funguje jen v pár případech (—)
• Iterace hodnotové funkce (value function iteration) uchovává „zakřivení modelu" (rozhodovacího pravidla), dobré druhé momenty (+), funguje i když ekonomika dále od steady-statu (+), výpočetně náročné pro složitější modely (když je hodně stavových proměnných, hodně stavů např. šoků, větší diskretizace) (—)
• Lineráně kvadratické dynamické programování (Kvadratická aproximace cílové funkce, li-nearizace rozpočtového omezení, (reformulace problému, hodně derivací)
• Log-linearizace podmínek prvního řádu a rozpočtového omezení. Poměrně jednoduché a také nejpoužívanější. Softwarové nástroje na řešení (+), lineární rozhodovací pravidlo (—).
4