MAMO podzim 2016 Přednáška 9 Lit: K-QM ch7 Kehoe, Prescott (2007)
RBC model s růstem populace a technologie
Původní model, populace v modelové ekonomice se nemění. Nyní zavedeme do modelu růst populace i růst technologického pokroku. Růst jako takový nás nezajímá, spíš hospodářské cykly, ale je dobré mít model konzistentní s dlouhodobými pozorováními v datech - GDP na hlavu vykazuje trvalý, kladný růst.
Populace roste konstatním tempem n, tedy
Nt = (l+ nfNo
zkráceně (1 + n)* = rf a Nq normujeme Nq = 1. Tedy Nt = rf Obdobně pro technologický pokrok (zlepšující práci)
At = (l+g)tA0
opět po úpravách (1 + g)f = 7* a normování dostaneme At = 7*. Produkční funkce (v agregátních veličinách)
Yt = ztK?(>ytHt)1-a   nebo   Yt = ztK^(AtRt)1^a
vyjádření per capita (na hlavu)
yt=ztk?{1tht)1-a   nebo yt = ztk*(Athtf-a
Vyvážená růstová trajektorie (Balanced Growth Path, BGP), analogie ke steady-statu. Všechny proměnné (y, k, c) rostou konstantním tempem (tempem technologického pokroku), odpracované hodiny na pracovníka (ti) jsou konstantní.
Příklad
Problém sociálního plánovače
00
max   E0 V/3t[ln(ct) + i/>ln(l-/lt)]
c+. h+. k+-\-1
vzhledem k
Kt+i + Cť = (1 - S)Kt + ztK^AtHt)1-01
„ _       Ct    u _        Ht      1 _ Kt+1
ct - jv7, rit - —t a       - Tš^T-
Těžké najít rozhodovací pravidla v rostoucí ekonomice. Převedeme na stacionární problém (vyjádříme veličinách které n
Užitková funkce
ve veličinách které nerostou, např. ct = ^t\t neboli ct = jf-
ln ct + ip ln(l - ht) = ln ct + ln A* + tp ln(l - ht) Agregátní rozpočtové omezení vydělíme NtAt a dostaneme
k+nv + čt = (i - S)h + ztkf(htf-a
Řešením tohoto problému jsou podmínky optimality
1
Intratemporální
l-ht ct
Intertemporální (Eulerova)
Ct Cf+l
(l-S)+ztak?-1(ht)1-a
Na BGP jsou čt, kt, ýt a ht jsou konstantní. Tím pádem ct, kt a yt rostou tempem 7 (g). Jak to vypadá s cenama?
Reprezentativní firma najímá kapitál a práci.
max ztK?{AtHty-a - wtHt - RtKt
Kt,Ht
Podmínky prvního řádu
wt = zt(l - a)At l^-j =zť(l-a)7ť^j
(_ a-l
Na BGP je nájemní cena kapitálu R (a tím pádem i reálná úroková míra r = R — S) konstantní a reálná mzda w roste konstantním tempem 7 (g).
Podmínky rovnováhy jsou v rostoucí ekonomice v zásadě stejné jako ve stacionární ekonomice (díky transformaci veličin).
Kalibrace
Rostoucí ekonomika - některé parametry (s časovým rozměrem) se budou lišit. Předpokládejme růst populace rj = 1.01 a růst technologického pokroku 7 = 1.02.
• Podíl odměn kapitálu na důchodu a = .33 (neovlivněn).
• Parametr ip v užitkové funkci nastavit tak, aby jednotlivec pracoval 1/3 svého disponibilního času (neovlivněn).
ip = (1 - a)---z-
např. pro C/Y = 0.75 je tp = 1.77.
• Míra depreciace S z rovnice pro vývoj kapitálu (na BGP)
ivh+i = (1 - $)kt + H
r       1 ,
S = — + 1 - 777
S I/Y = 0.25 a K/Y = 2.6 je I/K = 0.0962 a ó = 0.066.
• Diskontní faktor j3 z Eulerovy rovnice.
777
p = p = 0.971.
ak + 1 ~ 5
2
Aplikace
Studium Velké krize (krizí) pomocí RBC modelu. Růstové účetnictví
Nt
21
Nt
)
Po logaritmování
1
lnzt +
In — + t In 7 + ln ht Vt
1
1
Rozklad detrendovaného HDP na příspěvky jednotlivých faktorů. (Před krizí na trendu, = 100). Vývoj produktivity (TFP) převzatý z dat. Kalibrace modelu, simulace vývoje veličin během krize, porovnání s daty (TFP je exogénni).
Obrázek: Srovnání predikce modelu (čárkovaná čára) s daty (plná čára).
Nezodpovězené otázky: Co je za propadem TFP?, Proč se odpracované hodiny nevrátily na původní úroveň jak model předpovídá?
3