8. seminář:
Vícekriteriální programování, úvod do nelineární optimalizace
Příklad 1: Najděte graficky dílčí optimální řešení pro úlohu VLP:
z\ = 2x\ — x2 —> max, z2 = %2 —> max,
na množině X určené podmínkami 2xi + x2 < 18, xi + 2x2 < 12, -x\ + x2 < 3,
X\,  X2 > 0
Uvažujte agregovanou účelovou funkci z = v\ ■ z\ + v2 • z2 pro váhy
^1,  V2 > 0,  V\+V2 = 1.
Popište řešení optimalizačních úloh z —> maxxex v závislosti na parametrech ^i, v2. Nalezněte "maximálně pravděpodobné kompromisní řešení".
Příklad 2: Uvažujme nutriční problém sestavení denního jídelníčku pro 100 osob, přičemž k dispozici máme 9 druhů základních potravin. Složení potravin z hlediska důležitých výživových komponent a jejich ceny (vše přepočteno na lOOg potraviny), viz tabulka:
	energ.	bflk.	Fe	vit. A	vit. C	chol	cena
	[kJ]	[g]	[mg]	[jed]	[mg]	[mg]	[Kč]
maso vepř.	1200	18,4	3,1	20	0	83	12
máslo	3000	0,6	0,2	2500	0	120	11,2
chleba	1160	7,2	0,8	0	0	1	1,5
brambory	300	1,6	0,6	40	10	0	1,2
jablka	240	0	0,5	60	2	0	1,5
eidam	1260	31,2	0,6	1100	0	71	10,6
kuře	650	20,2	1,5	0	0	57	6
jogurt	450	7	0,2	260	0	11	4,5
jahody	150	0	0,8	60	60	0	12
Nutriční odborníci stanovili, že denní dávka výživy pro dospělého by měla obsa-
hovat minimálně 80 g bílkovin, 15mg železa, 6000 jednotek vitamínu A a 200 mg vitamínu C. Pro zajištění celodenního stravování pro 100 osob máme sestavit optimální skladbu jídelníčku při respektování doporučení nutričních expertů a současně s co nejvyšší energetickou hodnotou, co nejmenším obsahem cholesterolu a za co nejméně peněz, přitom máme k dispozici maximálně 40 kg každé potraviny.
a) Najděte dílčí optimální řešení.
b) Převeďte postupně kritéria "cholesterol a energie"na omezení s připuštěním 10 procentní odchylky od optimální hodnoty
c) Převeďte současně kritéria "cholesterol a energie"na omezení s připuštěním 10 procentní odchylky od optimální hodnoty
Příklad 3:
Určete ručně globální extrémy funkce f(x,y) = x2 + 2xy + 2y2 — 3x — by na množině M, která je trojúhelníkem s vrcholy A[0; 2], B[3; 0], C[0; —1].
Příklad 4: Na parabole y2 = 4x nalezněte bod, který je nejblíže přímce x - y + 4 = 0.