DXX.MAT2, Domácí úloha č.l
Termín odevzdání: 19.10.2017 Bodová hodnota: 5b z 35b
1.
f(x, y, z) = x4y2 — x3z3 + x2y2z2
a) Ukažte, že je funkce f(x, y, z) homogenní a určete stupeň homogenity.
b) Vypočítejte všechny 1. parciální derivace funkce f(x,y,z) a určete stupeň homogenity těchto funkcí.
c) Ukažte, že pro funkci f(x, y, z) platí Eulerův vzorec.
2.
h(x, y) = x6y + x14y7/3 + 3
a) Pro funkci h(x, y) ukážte, že je monotónní transformací homogenní funkce, tedy že jde o funkci homotetickou.
b) Když platí platí h{x\,y{) > h(x2,U2), co platí pro h{2x\,2y{) a h{2x2,2V2V-
3. S využitím Hessovy matice zjistěte, zda je funkce f(x,y) = —x2 + y2 — —xy konvexní nebo konkávni.
4.
f(x) = ^,xeR-
Je funkce f(x) konvexní nebo konkávni? Mějme x\,X2 G R~,A G (0,1), která z následujících nerovností platí?
f{\Xl + (1 - \)x2) > \f(Xl) + (1 - X)f(x2)
f{\Xl + (1 - \)x2) < \f(Xl) + (1 - X)f(x2)
1