Analytická geometrie v rovině Štěpán Křehlík Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2018 Štěpán Křehlík Analytická geometrie v rovině Parametrické vyjadrení přímky Víme, že každé dva různé body A, B určují přímku, kterou označujeme AB, prípadne p apod. Úloha: Bod /\[1,2] a bod 6[5,4] jednoznačně určují přímku p. Najděte body C, D, E na přímce p, tak aby: • bod bod B byl středem úsečky AC • bod bod C byl středem úsečky AD • bod bod D byl středem úsečky AE rj_ v I xj_ I |v/ v I /l f) I j_ I y 1 i V *^ * i i i v v i h" I I I Xw X^ III I XX^ I I X^ X^ V w I I X^ x^ Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině Parametrické vyjadrení přímky Víme, že každé dva různé body A, B určují přímku, kterou označujeme AB, prípadne p apod. Úloha: Bod /\[1,2] a bod 6[5,4] jednoznačně určují přímku p. Najděte body C, D, E na přímce p, tak aby: • bod bod B byl středem úsečky AC • bod bod C byl středem úsečky AD • bod bod D byl středem úsečky AE Při nalezení bodu C je úsečka \AC\ dvakrát delší než AB , a AD čtyřikrát delší než \AB\, atd. Vymyslete obecný vzoreček pro nalezení koncového bodu úsečky B', tak abychom úsečku AB mohli zvětšit r?-krát a náležela přímce P- □ [S1 ► < -E ► < = Štěpán Křehlík Analytická geometrie v rovině Parametrické vyjádření přímky Jestliže pomocí navrženého vzorečku umíme najít takto speciální body, které leží na přímce p. Můžeme potom nějakou modifikací nalézt všechny body ležící na přímce p? Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině Parametrické vyjadrení přímky Jestliže pomocí navrženého vzorečku umíme najít takto speciální body, které leží na přímce p. Můžeme potom nějakou modifikací nalézt všechny body ležící na přímce p? Rovnice X = A + tu, ŕ £ IR. se nazývá parametrická rovnice nebo také parametrické vyjádření přímky určené bodem A a vektorem u. Proměnná t se nazývá parametr. Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině Parametrické vyjádření přímky Otázky k zamyšlení: • Je přímka určena jen jedinou dvojicí bodů? « Má přímka jeden, nebo více směrových vektorů? Jestliže jich má víc, jak spolu souvisí? • Je nulový vektor směrnicovým vektorem nějaké přímky? Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině Parametrické vyjadrení přímky Příklad: Zjistěte zda body P[l,2], (?[3,1] leží na přímce p, která má parametrické vyjádření x = 2 - ř, y = 3 + 2t, t e R. Štěpán Křehlík Analytická geometrie v rovině Parametrické vyjadrení přímky Příklad: Zjistěte zda body P[l,2], Q[3,1] leží na přímce p, která má parametrické vyjádření x = 2 - t, y = 3 + 2ř, tel. Řešení: Aby bod P ležel na přímce p, muselo by existovat takové ŕ G IR, že 1 = 2-ŕ, 2 = 3 + 2ŕ, t e R. Tedy neexistuje ŕ pro které by byly obě rovnice splněny. Tedy bod P neleží na přímce p. Pro Q máme rovnice 3 = 2-ŕ, l = 3 + 2t, t e R. Z obou rovnic dostaneme t = —1, tedy Q náleží přímce_p. = t Štěpán Křehlík Analytická geometrie v rovině Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi Dvě přímky v rovině mohou mít tyto vzájemné polohy: • rovnoběžné: O X • ruzne 9 totožné • různoběžné Dvě přímky p(P, u) a g((?,v) jsou spolu rovnoběžné právě tehdy, když vektor v je násobkem vektoru u. Pro dvě přímky p(P, u) a qř(Q,v) platí: Je-li vektor v násobkem vektoru u a bod Q náleží zároveň přímce p, jsou přímky rovnoběžné totožné. Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině = >0 0,0 Obecná rovnice přímky Vektor který je kolmý ke směrovému vektoru přímky se nazýva normálový vektor. Úkol: Najděte normálový vektor k vektoru u = (3,2). Zakreslete obrázek a obecně určete pravidlo a ověřte pomocí skalárního součinu jeho platnost. Štěpán Křehlík Analytická geometrie v rovině Obecná rovnice přímky U kol: Najděte podmínku, kterou musí splňovat souřadnice bodů X[x,y], aby tento bod ležel na přímce p která obsahuje bod P[3, —1] a má normálový vektor n = (1,2). Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině f >0 0,0 Obecná rovnice přímky U kol: Najděte podmínku, kterou musí splňovat souřadnice bodů X[x,y], aby tento bod ležel na přímce p která obsahuje bod P[3, —1] a má normálový vektor n = (1,2). Nápověda: Bod X leží na přímce když vektory n a X — P jsou navzájem kolmé. Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině Obecná rovnice přímky U kol: Najděte podmínku, kterou musí splňovat souřadnice bodů X[x,y], aby tento bod ležel na přímce p která obsahuje bod P[3, —1] a má normálový vektor n = (1,2). Nápověda: Bod X leží na přímce když vektory n a X — P jsou navzájem kolmé. Hledaná podmínka tedy je: (l,2)-(x-3,y + l) = 0 x-3 + 2y + 2 = 0 x + 2y - 1 = 0 <<□► ^[S1^ •0°nO Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině Obecná rovnice přímky Obecně: Označíme n = (a, b), P[pi,P2]- Potom bod X[x,y] leží na přímce p, která obsahuje normálový vektor n a bod P právě tehdy, když n(X - P) = 0 □ [S1 ► < -E ► < = Štěpán Křehlík Analytická geometrie v rovině Obecná rovnice přímky Obecně: Označíme n = (a, b), P[pi,P2]. Potom bod X[x,y] leží na přímce p, která obsahuje normálový vektor n a bod P právě tehdy, když n (X - P) = 0 (a,b)-(x-pi,y-p2) = 0 ax — api + by — bp2 = 0 ax + by — api — bp2 = 0 Položme -api - bp2 = c a dostaneme výsledný vztah ve tvaru ax + by + c = 0 Štěpán Křehlík Analytická geometrie v rovině Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi Dvě přímky v rovině mohou mít tyto vzájemné polohy: • rovnoběžné: • různé • totožné o různoběžné Dvě rovnice přímky určují stejnou přímku je-li jedna rovnice násobkem druhé. Dvě přímky které mají rovnice ax + by + c = 0 a'x + bfy + c = 0 jsou rovnoběžné právě tehdy, když vektor n = (a, b) je násobkem vektoru n; = (a;, b'). Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině Polohové úlohy v rovině Napište obecnou rovnici přímky p p : x =1 — ŕ, Y =3 + 2ŕ, t e R Štěpán Křehlík Analytická geometrie v rovině Polohové úlohy v rovině Napište parametrické vyjadrení přímky q : 3x — 2y + 1 = 0 Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině Polohové úlohy v rovině Určete vzájemnou polohu p, q p : x = 3 — 2t y = -l + t. t e R q:Ax-y + 5 = 0 Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině Metrické úlohy v rovině Určeme vzdálenost bodu /4[1, 5] od přímky q : 2x — y — 2 = 0 Postup řešení: O Bodem A vedeme kolmici p k přímce q O Najdeme průsečík Q přímek q a p. O Určíme vzdálenost bodů A a Q. Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině Metrické úlohy v rovině Odchylka dvou přímek p, q se směrnicovými vektory u,v je číslo cp G (0, |), Pro které platí u • v COS (f — U Ukol: Vypočítejte odchylku dvou přímek p, q p : x = 1 + ŕ y = 2 + 3ŕ, q \2x + y -1 = 0 Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině Směrnicový tvar přímky Uvažujme přímku p : ax + by + c = 0. V případě, že koeficient b = 0, obecná rovnice přímky nabývá tvaru ax + c = 0, kde a ^ 0, takže všechny body přímky p mají konstantní x-ovou souřadnici, můžeme psát x = — |. Přímka p je tedy rovnoběžná s osou y. V případě b ^ 0, můžeme obecnou rovnici tímto koeficientem vydělit a osamostatnit y, takže dostaneme tvar y = kx + q, kde /c = Q — Tomuto vyjádření říkáme směrnicová rovnice přímky p, číslu /c určujícímu sklon přímky p vzhledem k ose x říkáme směrnice přímky. Číslo q je hodnota na ose y, ve které přímka p osu protíná. Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině Směrnicový tvar přímky V různých aplikacích se často hledá rovnice přímky, která prochází dvěma body Pi[xi,yi] a /^[^J^]- Pokud je x\ ^ X2, pak směrnice takové přímky je k = y^n x2 - xi Při určování tečny ke grafu funkce se zase řeší úloha nalezení přímky, která prochází daným bodem 7~[xt,yt] a má směrnici k. Takovou přímku lze analyticky vyjádřit rovnicí y = k(x-xt) +yt. Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině = >0 0,0 Směrnicový tvar přímky Uveďme ještě návod k určení směrnice přímky kolmé k dané přímce p : y = /cx + g, k ^ 0 (tato podmínka vyjadřuje, že přímka p není rovnoběžná s osou x). Vyjádříme si tuto přímku v obecném tvaru, — kx + y — q = 0, její normálový vektor je n = (—/c, 1). Kolmý vektor n; k vektoru n musí splňovat podmínku n • n; = 0. Této rovnici vyhovuje například vektor n; = (1, /c), neboť n n7 = —k • 1 + 1 • k = 0. Obecná rovnice přímky kolmé k p je tedy x + ky + qf = 0 pro nějaké q'. Ve směrnicovém vyjádření bychom dostali směrnici k' - =i Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v rovině