Posloupnosti Štěpán Křehlík Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2018 Štěpán Křehlík Posloupnosti Co je posloupnost Posloupnost je určité pravidlo, podle kterého přiřazujeme přirozeným číslům jiná čísla, která nemusí nutně být přirozená. Tématický příklad. Vezměme si posloupnost čísel {1,3,5,7,...}. Snadno rozpoznáme pravidlo, které stanovuje členy posloupnosti a podle tohoto pravidla můžeme sestavit tabulku 1 2 3 4 —>► —>► —>► —>► 1 3 5 7 Štěpán Křehlřk Posloupnosti Co je posloupnost Zůstaneme-li u zobrazení, pak můžeme říci, že posloupnost a je zobrazení přirozených čísel do množiny čísel reálných, tj. a : N —^ IR. Důležitá poznámka Posloupnost je každé zobrazení a, jehož definičním oborem jsou přirozená čísla a oborem hodnot je část množiny reálných čísel. Tedy V(a) = N a H(a) C IR. Stejně jako u přirozených čísel je přesně stanoveno, jak jdou po sobě, tak i posloupnost má pevně stanovené pořadí. Štěpán Křehlřk Posloupnosti Značení posloupnosti Výše jsme si řekli, že posloupnost je druhem zobrazení, která obvykle značíme f(n). Přesto se u těchto speciálních zobrazení dělá „výjimka" a posloupnosti značíme 3n. V různé literatuře, či na internetu, se můžeme setkat i se značením jiným, jako je například: • Štěpán Křehlřk Posloupnosti Zadání posloupnosti Posloupnosti, stejně jako mnohá jiná zobrazení, mohou být zadány více způsoby: • Výčtem členů, např.jl, 2,1, 2,... } 9 Rekurentním vzorcem, např. an+i = an + 2, a± = 1 nebo an+2 = + a„, ai = a2 = 1 • Explicitním vzorcem pro n-tý člen, např. an = 4,, a„ = n!, a„ = (-1)" V předešlých příkladech jsme se již setkali se zadáním posloupnosti. Uvedenému způsobu říkáme pomocí výčtu členů. Správně bychom měli říci, že jsme zadali posloupnosti pomocí výčtu prvních několika členů. Štěpán Křehlík Posloupnosti Posloupnosti zadané rekurentně a explicitně Ukol: Zadejte posloupnost lichých čísel {1, 3, 5, 7,...} O rekurentním vzorcem, O explicitním vzorcem. Určete n-tý člen posloupnosti {|, g, 33? ? • • •} □ s Štěpán Křehlřk Posloupnosti Vlastnosti posloupností Již jsme řekli, že posloupnost je speciálním druhem zobrazení jehož definičním oborem jsou přirozená čísla (nebo jejich část). Proto vlastnosti posloupností budou podobné jako vlastnosti funkcí Monotonie - tendence chování posloupnosti s každým dalším členem 9 rostoucí, • klesající, • nerostoucí, • neklesající. Štěpán Křehlřk Posloupnosti Monotonie Rostoucí posloupnost 0 První čtyři členy posloupnosti an Klesající posloupnost: = 2 • n. 4. f 3. --2. --1. -- 3\ 32 33 34 0 1. 2. 3. 4. První čtyři členy posloupnosti an+\ — ^. B\ =_4. ] Štěpán Křehlřk Posloupnosti >0 0,0 Momotonie Neklesající Prvních šest členů posloupnosti an = {1,1,2,3,3,4. Nerostoucí posloupnost: 5. |...........rf-1-.........#.........43 4. --.......... 3. --........... 2. ------------- 1. -- 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. Prvních šest členů posloupnosti an = {5,5,5,4,3,2,1 Štěpán Křehlřk Posloupnosti Omezenost Ohraničenost nám u posloupností udává informaci o tom, zda má posloupnost nějakou mez. Například posloupnost, která pro žádný člen nenabývá hodnoty menší než nula. Pak o takové posloupnosti řekneme, že je zdola ohraničená. Rozlišujeme tyto případy ohraničenosti: • shora ohraničená, • zdola ohraničená, o ohraničená (současně zdola i shora), • neohraničená. Štěpán Křehlřk Posloupnosti Omezenost Shora ohraničená: Horní mez Shora ohraničená posloupnost an — 1 — n. Zdola ohraničená: 5. 4- 31 4. --3. - 2.-------- j------- 32 34 33 Dolnf mez 0 1. -+-2. 3. 4. 5. Zdola ohraničená posloupnost an — {n — 3)2 + 1 = Štěpán Křehlřk Posloupnosti Speciální posloupnosti Existuje více druhů posloupností. V této přednášce se více zaměříme na první dvě: O aritmetická posloupnost, O geometrická posloupnost, O Fibonacciho posloupnost, O harmonická posloupnost, O aritmeticko-geometrická posloupnost. Štěpán Křehlřk Posloupnosti □ ÚP ► < -S ► Fibonacciho posloupnost - jen jako zajímavost Jako Fibonacciho posloupnost je v matematice označována nekonečná posloupnost přirozených čísel, začínající 1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21,... (čísla nacházející se ve Fibonacciho posloupnosti jsou někdy nazývána Fibonacciho čísla), kde každé číslo je součtem dvou předchozích. Zlatý řez Štěpán Křehlřk Posloupnosti Aritmetická posloupnost Aritmetická posloupnost je druhem matematické posloupnosti, která se vyznačuje stálým rozdílem mezi libovolnými dvěma sousedními členy. Tento stálý rozdíl se nazývá diference a značí se písmenem d. Pozor, číslo d může mít i zápornou hodnotu nebo může být rovno nule! Štěpán Křehlřk Posloupnosti Aritmetická posloupnost Označíme-li první člen posloupnosti {an} jako a\ potom k určení druhého člene 32 stačí k prvnímu přičíst hodnotu diference c/, tj. a2 — a\ + d. Pro určení člene 33 přičteme ke druhému členu 32 znovu hodnotu diference a získame člen 33 33 = ^2 + d atd. Je tedy jasně vidět to, co bylo řečeno výše. Libovolné dva sousední členy aritmetické posloupnosti mají stálý rozdíl. Kdybychom chtěli znát n + 1-ní člen, pak bychom podle této skutečnosti mohli napsat, že än+i — an + d a tento vzorec nazýváme rekurentní zadání aritmetické posloupnosti. Q == Štěpán Křehlřk Posloupnosti Aritmetická posloupnost Často u posloupností známe první člen a\ a zajímáme se o členy, které jsou například až na sté pozici nebo i vyšší. Tématický příklad: Máme rekurentně zadánu posloupnost {an} jako an+i = an + 3, kde a\ — 0. Zajímá nás hodnota dvacátého člene této posloupnosti a2o- Pro jeho určení můžeme postupně určovat všechny členy až do hledaného dvacátého nebo zde nalézt zákonitost, která naše počítání urychlí. Štěpán Křehlřk Posloupnosti Aritmetická posloupnost Sestavme tabulku několika prvních členů ai = 0 32 = 3i + 3 =3 ^3 = ^2 + 3 =6 a4 = 33 + 3 =9 35 = 34 + 3 = 12 ^6 = 35 + 3 =15 Při bližším prohlédnutí tabulky si lze všimnout, že mezi prvním a třetím členem je rozdíl 6, který odpovídá dvojnásobku diference. Mezi prvním a čtvrtým členem je rozdíl 9, což odpovídá trojnásobku diference. Mezi prvním a pátým je rozdíl čtyřnásobek diference atd. Všimněme si, že mezi prvním a libovolným dalším členem je vždy rozdíl, který odpovídá součinu diference • (pořadí hledaného prvku — pořadí gp/ního pr^vku). Štěpán Křehlík Posloupnosti Aritmetická posloupnost Vzoreček Vzorec pro n-tý člen Přičteme-li k tomuto součinu navíc hodnotu prvního člene, získáváme hodnotu člene, který nás zajímá. Tuto skutečnost zapíšeme do vzorce, který se nazývá vzorec pro n-tý člen 3n = 3i + (r? - 1) • d. Nyní je už snadné určit hodnotu a2o pouze dosadíme do vzorce hodnoty za r?, a\ a d. Štěpán Křehlřk Posloupnosti Aritmetická posloupnost Setkáváme se i s případy, kdy nás zajímá hodnota nějakého členu posloupnosti, ale namísto prvního členu a\ známe hodnotu jiného. Vzoreček Vzorec r-tého členu z s-tého Jedná se o vzorec, který se označuje jako vzorec r-tého členu z s-tého a zní ar = as + (r — s) • d. Zde je ar hledaný člen a as člen, který známe. Pokud bychom položili r — n a s = 1, pak obdržíme 3n = 3i + (r? - 1) • d. Štěpán Křehlřk Posloupnosti Aritmetická posloupnost Úkol: Sečtěte čísla od 1 do sta. Tady víc než kde jinde platí, že matematika není o počítaní, ale o tom jak se počítaní vyhnout. Štěpán Křehlík Posloupnosti Aritmetická posloupnost Seřadíme za sebe všechna čísla od 1 do 100 a utvoříme dvojice: první číslo s poledním, druhé s předposledním, atd. Součet v každé dvojici bude přesně 101. Dále takovýchto párů vznikne přesně 50, což je polovina z čísla 100. Pak nám už zbývá jen obě čísla vynásobit a výsledek 5050 je na světě. Tímto způsobem můžeme každou dvojici přepsat jako a± + an a těchto dvojic bude polovina z celkového počtu sčítaných členů. Protože je počet členů r?, potom počet všech dvojic (součtů) je ÍJ. Nyní, když vynásobíme obě čísla, získáme součet sn prvních n členů a odpovídající vzorec je tvaru Sn — ô (al + an) ' Štěpán Křehlřk Posloupnosti Geometrická posloupnost Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího. Štěpán Křehlřk Posloupnosti Geometrická posloupnost Označíme-li první člen posloupnosti {an} jako a± potom k určení druhého člene 32 stačí k první vynásobit kvocientem q, tj. 32 = 3i • q. Pro určení člene 33 máme 33 = 32 • q atd. Je tedy jasně vidět to, co bylo řečeno výše. Libovolné dva sousední členy geometrické posloupnosti mají stálý podíl. Kdybychom chtěli znát n + 1-ní člen, pak bychom podle této skutečnosti mohli napsat, že 3n+i — an - q a tento vzorec nazýváme rekurentní zadání geometrické posloupnosti. Štěpán Křehlřk Posloupnosti Geometrická posloupnost Často u posloupností známe první člen a± a zajímáme se o členy, které jsou například až na sté pozici nebo i vyšší. Tématický příklad: Máme rekurentně zadánu posloupnost {an} jako an+i = an • 3, kde a± = 1. Zajímá nás hodnota dvacátého člene této posloupnosti a2o- Pro jeho určení můžeme postupně určovat všechny členy až do hledaného dvacátého nebo zde nalézt zákonitost, která naše počítání urychlí. Štěpán Křehlřk Posloupnosti Geometrická posloupnost Sestavme tabulku několika prvních členů 3l = 1 32 = ai ■ 3 = 3 33 = 32 ■ 3 = 9 34 = 33 ■3 = 27 35 = a4 ■ 3 = 81 36 = a5 ■3 = 243 Jestliže chceme určit ag potřebujeme znát a$, když známe a$ můžeme dosadit. a6 = (a4 • 3) • 3 pro a4 dosadíme a-$ a6 = ((a3 • 3) • 3) • 3 atd. až dostaneme a6 = ((((a1-3)-3)-3)-3)-3 = a;-3f. Štěpán Křehlřk Posloupnosti Geometrická posloupnost Vzoreček r-tého členu z s-tého Jedná se o vzorec, který se označuje jako vzorec r-tého členu z s-tého a zní ar = as • qr~s. Zde je ar hledaný člen a as člen, který známe. Pokud bychom položili r — n a s = 1, pak obdržíme 3n — 3i • q Štěpán Křehlřk Posloupnosti Geometrická posloupnost Pří hře ruleta existuje schéma, které by mělo zaručovat v ideálním případě po několika hrách jistý zisk (pravděpodobně po několika opakování je to zakázané). Sázíme pouze na barvu (červená/černá) první vklad je 10 Kč pokud uhádneme je výhra je 20 Kč, jestliže neuhádneme vsadíme 20 Kč. Uhádneme-li máme 40, neuhádneme vsadíme v další hře 40. Určete: a) kolik utratíme jestliže uspějeme až v šesté hře b) v kolikáté hře musíme uspět, abychom měli zisk právě 10 Kč? Štěpán Křehlík Posloupnosti Geometrická posloupnost Z řešení předchozího příkladu máme součet prvních 6 členů, lze vyvodit, že 10(2° + 21 + 22 + 23 + 24 + 25) = 10 • (26 - 1). Kdybychom sázeli trojnásobek změnil by se předchozí zápis 10(3° + 31 + 32 + 33 + 34 + 35) = 10 • (36 - l)/2. Vzoreček Součet prvních n členů geometrické posloupnosti sn = 3i qn - 1 q-1 Štěpán Křehlřk Posloupnosti Limita posloupnosti Posloupnost {an £ R}^Li má vlastní limitu A (konverguje k limitě A G IR, je konvergentní) jestliže ke každému e > 0 existuje r?o G N takové, že pro všechna n > r?o platí an — A < e. Štěpán Křehlřk Posloupnosti Limita posloupnosti Nevlastní limita K n ♦ o o o 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 --♦ o * " * ° Neexistence limity "n ♦ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v 1 1 1 1 1 :" ♦ H o o ^iur -Š Q, O Štěpán Křehlřk Posloupnosti Základní vlastnosti Posloupnost se nazývá konvergentní, pokud má vlastní (reálnou) limitu A. Posloupnost se nazývá divergentní, pokud není konvergentní. Nechť (an) a (bn) jsou konvergentní posloupnosti a nechť lim an = A, lim bn = B a c je libovolné reálné číslo. Potom jsou konvergentní posloupnosti (an + bn), (an — (anbn), (c • an) a platí lim(an + bn) = lim an + lim bn = /4 + B lim(an — bn) = lim an lim bn = A — B lim(anbn) = lim an lim bn = AB lim(c • an) = c • lim an = c • >A Štěpán Křehlřk Posloupnosti