Číselné množiny a úvod do algebry Stepán Krehlŕk Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2018 Štěpán Křehlřk □ iS1 Číselné množiny a úvod do algebry Přirozená čísla Profesor Karel Absolon objevil v Dolních Věstonicích vlčí kost s 55 zářezy. Věstonická vrubovka Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Přirozená čísla 9 Pravěký člověk počítal: • Jeden a mnoho —> Měl jeden oštěp a nebo mnoho oštěpů. • Jeden, dva a mnoho • Jeden, dva, tři, čtyři, pět a mnoho • Pětková vs. desítková soustava • „Nepotřebnost" nuly o Značíme symbolem: N Značením Nq budeme rozumět množinu {0,1, 2, 3,4,...} Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Celá čísla o Záporná čísla vznikly v Číně kolem r. 300 p.n.l (červené a černé tyčinky na počítacích tabulkách) o První „opravdová" záporná čísla pravděpodobně využívali v Indii kolem r. 630 n.l., • Formální zavedení: • „<" přirozené uspořádání na množině N, • operace „+" „•", • pro dvě lib. čísla a,fcGN existuje c : a = b + c, • označíme-li c = a — b, pak v množině přirozených čísel nemusí existovat řešení, • zavádíme čísla opačná a 0, aby operace „ —11 byla vždy proveditelná. • Označením Z = N U {0} U {-1, -2, -3,...} Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Racionální čísla • Slovo „ratio" znamení poměr či podíl. • Vznik ve starověkém Egyptě kolem roku 1000 př.n.l -kmenové zlomky ^,kde n £ N. • Využití v geometrii při zeměměřičství. • Formální zavedení: • pro dvě lib. čísla a, b E Z, kde b 7^ 0, existuje c £ Z : a = b • c, • označíme-li c = |, pak v množině celých čísel nemusí existovat řešení, • zavádíme zlomky, aby operace „:" (resp.,,/") byla vždy proveditelná. • Značíme symbolem: Q. Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Racionální čísla Vlastnosti racionálních čísel: o každé číslo tvaru |, kde a, b £ Z, b ^ 0, • f > § G ^; ac = bc/' P°tom f = §■ • každé celé číslo lze vyjádřit zlomkem, • operace „+,—,•" jsou přípustné na celé množině • operace „:" číslem b je definována pro všechna racionální čísla mimo nulu, • každé racionální číslo lze zapsat ve formě: • desetinného konečného rozvoje - = 0,125 = 0 + 1 8 10 + 2 100 + 5 • nekonečného periodického rozvoje 1000 - = 0,3333... = 0,3 3 Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry racionální čísla o Pythagorejská představa ekvivalence čísla a tvarů. o Čtverec - jeden z nejjednodušších geometrických útvarů a přece skrývá cosi iracionálního (Hippasos). první nesouměřitelné číslo y/2; další 7r, e • Značení IQ Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Reálna čísla 9 Reálná čísla jsou sjednocením množiny racionálních a množiny iracionálních čísel. • Označení K. • V matematice je můžeme chápat jako čísla, kterým lze jednoznačně přiřadit body nekonečné přímky (reálné osy). Reálná osa 4x jednotková úsečka □ <3 Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Vlastnosti počítaní s reálnými čísly Pro všechna a, b, c G IR a operace „+", platí: • komutativní zákon a + b = b + a a • b = b • a « asociativní zákon a + (b + c) = (a + b) + c a • (b • c) = (a • b) • c • existuje neutrální prvek a + 0 = a, pro každéa G IR a • 1 = a, pro každéa G IR • existuje inverzní prvek 3(-a)eIR;a + (-a) = 0 3a"1 G IR; a • a"1 = 1 □ iS1 Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Vlastnosti počítaní s reálnými čísly Pro všechna a, b, c G IR a operace „+", platí: • distributivní zákon a - (b+ c) = a • b + a • c 9 lineární uspořádání a ^ b \ a < b\/ a > b o ani jedna operace „nerozhází" uspořádání a < b, pak a + c < b + c a < b, pak a • c < b • c Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Další číselné obory Uvědomme si, že existují i další číselné obory (nad rámec kurzu MATO). a) Komplexní čísla b) Kardinální čísla c) Ordinální čísla Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Mocnina reálného čísla Uvažujme libovolné číslo n 6 N reálné číslo a e ffi. pak je zřejmé, že platí: a" = a • a • a • v-v- n a a"" = Pozor! a^O (i) (2) Pravidla pro počítání s mocninami • a° = 1; Pozor! a ^ 0 • 0" = 0 as = ar+s as = ar~s • (ar)s = ars • (a • b)r = ar -b: \b) br Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Odmocnina Zavedení pojmu odmocniny: • odmocnina je „částečně" inverzní operací s mocnině, • zavádí se pro libovolné nezáporné reálné číslo a jako b" = a, b pak nazýváme r?-tou odmocninou a zapisujeme b = yfa • POZOR! Pro aGK0+ platí: a = ±Va • pro lichá n lze odmocňovat i záporná čísla. Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Odmocnina Pravidla pro počítání s odmocninami Pro výrazy a, b > 0 a m, r? £ N: m H - n/ä • \/an • b = a • Štěpán Křehlík Číselné množiny a úvod do algebry Absolutní hodnota Absolutní hodnota reálného čísla o je číslo, které je vždy nezáporné, 9 z kladného čísla je vždy kladné číslo, o ze záporného čísla je to vždy číslo opačné • Va^ = Formální zavedení: Pro všechna x e IR, položme x x, —x, x > 0 x < 0 Číslo x nazveme absolutní hodnotou Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Absolutní hodnota Pravidla pro absolutní hodnota Pro výrazy a,b,c,eGKa e > 0 > 0 a < a a a a — a b < 3 + b < a + b a-b\ Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Úprava algebraických výrazů Algebraickým výrazem myslíme zápis složený s čísel a neznámých spojených symboly matematických operací. Příklad výrazu /2x+l _ 2x-l\ 4x V2x-1 2x + iy ' 10x-5 U Obvyklé pořadí prováděných operací 1. krok umocnění a odmocnění (výcenásobné exponenty se vyhodnocují zprava doleva) 2. krok násobení a dělení 3. krok sčítání a odečítání Riziko omylu eliminujeme použitím závorek. Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Úprava algebraických výrazů Typy algebraických výrazů • Racionální celistvé výrazy - mnohočleny 5x2 - 4x + 12 • Racionální lomené výrazy Iracionální výrazy 2x- 1 2x + 1 i + Štěpán Křehlík Číselné množiny a úvod do algebry Úprava algebraických výrazů Pravidla pro úpravu mnohočlenů (a ± bf = a2 ± 2ab + b2 (a- b)(a + b) = a2 - b2 (a ± bf = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 a3 -b3 = (a - b){a2 + ab + /?2) a3 + 63 = (a+6)(a2-a6+62) Pravidla pro úpravu lomených výrazů f = a d -é b c ad a ~bď = ~b Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Úprava algebraických výrazů Pravidla pro úpravu lomených výrazů a _ , xmjn • dolní ohraničení M □ s Štěpán Křehlík Číselné množiny a úvod do algebry Speciální podmnožiny množiny reálných čísel • Supremum číselné množiny • značíme G = sup M, nebo G = sup x • Je-li x e M pak : x > G • nejmenší horní ohraničení M o POZOR G nemusí nutně patřit do M o Infimum číselné množiny • značíme g = inf M, nebo g = inf x • Je-li x E M pak : x < g • největší dolní ohraničení M • POZOR g nemusí nutně patřit do M □ iS1 Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Speciální podmnožiny množiny reálných čísel Zkuste ve skupince rozmyslet příklady! □ iS1 Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Speciální podmnožiny množiny reálných čísel M = {x6R:x = ^,nel AT W = {xGl:x<2Ax>0} □ iS1 Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry Interval Uvažujme čísla a, b £ IR kde a < b množinu všech x £ IR pro něž platí a < x < b. Zapisujemme (a, b). Typy intervalu • uzavřený o jednostraně otevřený • oboustraně otevřený Štěpán Křehlřk Číselné množiny a úvod do algebry