MPE.VPAM: Příklady k 1. cvičení
Matematické
1. Pro následující funkci f(x) vyšetřete: Definiční obor, sudost/lichost, ohraničenost, monotónnost a vykreslete graf funkce.
f(x) = x(x2 + l)-1
• f(x) = (l-x2)(x2 + l)-1
f(x) = (í + x)(x2 + í)
-1
2. Rozložte polynom P na součin kořenových činitelů v reálném oboru a určete znaménko hodnot P na jednotlivých intervalech
P(x) =x4- 2x3 + 2x2 - 2x + 1
• P(x) = x4 — x2
• P(x) = x5 + 2x3 + x
3. Určete rozklad na parciální zlomky pro racionální lomenou funkci R
• R(x) = 9xx^
.   fí(T) - _x3-4x2+x-2_
R(x) =
+2x2-2x+l xi-x3+3x2-x+l
x5+2x3+x
4. Vypočtěte limity:
• lim ^+5+4, lim (x2-x3 + x-5), lim vWTě-4  lim *V1°a:+"i,
5. Vypočtěte derivace funkcí f(x), g(x) a h{x)
• f(x) = (2x2 + 4x+ 9), g(x) = J^, h(x) = sin Se2-'2
6. Vyšetřete průběh funkce f(x):
• f(x) = x4 — 6x2 + 5
• f(x) = x(x2 + I)"1
7. Napište Taylorův polynom stupně n pro následující funkce v bodě xq a určete maximální chybu aproximace:
• f(x) = x2 + 1 pro xq = 1 a n = 3
f(x) = arctg(x) pro xq = 1 a n = 2 f (x) = xln(x) pro xq = 1 a n = 4
1
Ekonomické
1. Mějme funkci celkových nákladů TC(y) = y2 + 10y + 25, ukažte že:
(a) MC je menší než AC, když AC klesá
(b) MC=AC v bodě, v minimu křivky AC
(c) MC je vyšší než AC, když AC roste
2. Předpokládejme lineární funkci poptávky monopolu zapsanou v inverzní podobě p(q) = 40 — 2q. Jak bude vypadat funkce mezního příjmu? Jaká bude cena a mezní příjem, pokud se firma rozhodne vyrábět 5 kusů svých výrobků? Zakreslete.
3. Nalezněte elasticitu poptávky pro funkci poptávky y = 50 — 2p a nastavenou cenu p = 5. Jakou musíme nastavit cenu, aby elasticita poptávky byla menší/větší než 1.
4. Nakladatelství platí autorovi knihy 15% z prodeje. Poptávka po knihách je vyjádřena rovnicí x = 200 — bp. Náklady na produkci popisuje rovnice C = 10 + 2x + x2. Najděte optimální množství prodaných knih tak aby byl spokojen nakladatel i autor.
5. Ukažte, že produkční funkce f(x) = — |x3 + 10x2 + 5x má konvexní i konkávni část.
6. Uvažme výstup y, který je získán zpracováním jediného vstupu x. Ukažte, že pokud máme produkční funkci y = x1/3, x > 0, pak je funkce nákladů C(y) konvexní když je produkční funkce konkávni.
2