MPE_VPAM: Příklady k 11. cvičení
Intertemporální (mezičasová) optimalizace domácností
Uvažujte kouzelnickou domácnost Nicolase Flamela, která žije dvě období a její
užitková funkce je
ln(c1) + ln(c2)
Její důchod v těchto dvou obdobích je y1 = 10 a y2 = 30. Předpokládejme, že
úroková míra je dána exogenně a je konstatní a rovna 0.
1. Napište mezičasové rozpočtové omezení
2. Vypočítejte optimální spotřebu (c1, c2)
3. Předpokládejte, že domácnost si nemůže půjčovat a ani nemůže spořit.
Jaká bude optimální spotřeba nyní?
4. Uvažujme, že mají Flamelovi děti, které začnou spotřebovávat až po smrti
rodičů. Každý žije dvě období. Děti mají užitkovou funkci
ln(c3) + ln(c4)
a rodiče mají užitkovou funkci
ln(c1) + ln(c2) + v(b)
kde b je děditctví (bequest) zanechané dětem a v(b) je maximální užitek
dětí, které mohou získat při daném dědictví b. Důchod rodičů je (y1, y2) =
(10; 40) a důchod dětí je (y3, y4) = (20; 10)
Vyřeště maximalizační problém dětí, abyste získaly v(b), tj vyřešte
v(b) = max {ln(c3) + ln(c4)}
vzhledem k
c3 + c4 = y3 + y4 + b.
5. Použijte svou odpověď z předchozí otázky k vyřešení maximalizačního
problému rodičů. (Dědictví může být i záporné).
6. Nyní uvažujte, že vláda vybere daně v období 2 ve výši 30 a rozdělí je
paušálně v období 3. Jaká je optimální výše dědictví a výše spotřeby nyní?
7. Opět předpokládáme možnost půjčování. Nyní předpokládejme, že Nicolas
vymyslí lektvar dlouhověkosti, což jeho domácnosti umožní žít o dvě období
déle (děti neuvažujeme). Důchod v těchto dvou obdobích je y1 = 10,
y2 = 40, y3 = 20 a y4 = 10. Jak budou nyní vypadat odpovědi na (1)-(3).
8. Jak by se změnilo rozhodování Nicolasovy domácnosti, pokud by vynalezl
kámen mudrců. Uvažujte, že Nikolas až pozdě zjistí, že užití kamene
mudrců způsobuje impotenci.
1
Intratemporální optimalizace domácností
Toto cvičení vychází z modelu uvedeném ve Williamsonovi, kapitola 1.1 (statická
optimalizace). Uvažujeme speciální případ užitkové funkce reprezentativního
spotřebitele (domácnosti)
U = ln(c) + µ ln( ) (1)
kde c je spotřeba a je volný čas (leisure), µ je parametr (váha volného času v
užitkové funkci), µ > 0.
Produkční funkce reprezentativní firmy je
y = zkα
n1−α
(2)
kde α ∈ (0, 1) jsou konstatní parametry. Pro jednoduchost je počet spotřebitelů
a firem roven jedné.
(a) Nejprve se podíváme na chování spotřebitele. Rozpočtové omezení je
c = w(1 − ) + y0
kde, y0 = r¯k je důchod z počátečního vybavení kapitálem a 1 − = n je
nabídka práce.
Odvoďte podmínku prvního řádu pro maximalizaci užitku. Použijte ji k
zodpovězení otázky, jak je poměr mezi spotřebou a volným časem (c/ )
ovlivněn
(i) růstem mzdové sazby o 10 procent?
(ii) růstem původního kapitálového příjmu y0 o 10 procent?
Vypočítejte nabídku práce a poptávku po spotřebě jako funkce w a y0.
Spočítejte elasticitu nabídky práce. Jak závisí na y0?
(b) Napište podmínky maximalizace zisku pro chování firmy. Ukažte, že z nich
vyplývá, že podíl prácovního důchodu na výstupu (wn/y) je roven 1 − α.
(c) V rovnováze se musí mezní míra substituce mezi spotřebou a volným časem
rovnat mezní míře transformace.
(i) Ukažte, že tato podmínka je stejná jako
µc
= (1 − α)z
k
1 −
α
(3)
hint: k = ¯k a n = (1 − ) (mezní míra transformace je zde rovna meznímu
produktu práce).
(ii) V rovnováze musí také platit rovnice produkční funkce. Použijte tyto
dvě rovnice (2 a 3) společně s podmínku vyčištujících se trhů c = y k
vyřešení a c (jako funkce parametrů, případně kapitálu k).
(d) V předchozí otázce jsme zjistili, že rovnávážná hodnota je nezávislá na z
ani k. Vysvětlete a graficky ilustrujte reakci na růst produktivity (mzdy).
Hint: důchodový a substituční effekt.
2
(e)* Nyní zavedem do modelu vládní spotřebu g. Vládní spotřeba vstupuje
do užitkové funkce aditivně (U = u(c, ) + v(g)). Předpokládejte, že vláda
stanovuje výdaje g jako podíl γ z výstupu a financuje je paušálními daněmi
od spotřebitelů, tj. t = g = γy. To zároveň znamená, že y0 = r¯k − t.
Vysvětlete, proč je v rovnováze mezní míra substituce rovna mezní míře
transformace stejně jako v problému (c), akorát místo c = y nyní máme
c = (1−γ)y. Ukažte, že tato změna vede ke změně rovnvovážného množství
volného času na
=
µ(1 − γ)
(1 − α) + µ(1 − γ)
Povede nyní větší vládní sektor k zvýšení nebo ke snížení nabídky práce?
Proč?
Některá řešení intratemporální optimalizace domácností
(a)
µc
= w
Volný čas:
=
µ
1 + µ
1 +
y0
w
Spotřeba:
c =
1
1 + µ
(w + y0)
Nabídka práce:
1 − =
1
1 + µ
1 − µ
y0
w
(c) Volný čas:
=
µ
1 − α + µ
Spotřeba:
c = zkα 1 − α
1 − α + µ
1−α
3