MPE_VPAM: Příklady 2. cv. - Taylorův polynom
Teorie
Taylorův polynom se používá jako polynomická aproximace funkce. Uvažujme funkci / jedné proměnné x, která má derivace všech řádů. Potom podle Taylo-rovy věty můžeme tuto funkci rozvinout do Taylorova řádu v okolí bodu xq, tj. platí
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + (x - x0f + ■ ■ ■ = (x - x0)k.
k=0
Pokud je / dostatečně hladká, potom budou derivace vyšších řádů blízké nule (zanedbatelné), a proto
f(x) P3 f(x0) + f'(x0)(x - x0).
Matematické příklady
1. Napište Taylorův polynom stupně n pro následující funkce v bodě xq:
• f(x) = x2 + 1 pro xq = 1 a n = 3
• f (x) = arctg(x) pro xq = 1 a n = 2
• f (x) = xln(x) pro xq = 1 a n = 4
2. Log-linearizujte rovnici f(x) =       kolem bodu xq = x*, využijte při tom
9\x)
taylorův polynom prvního řádu.
Ekonomické aplikace
1. Log-linearizujte ekonomické rovnice okolo steady statových hodnot, víte-li že hodnoty steady státu značíme * tzn xq = x*:
• Produkční funkce: y = atll~ak"
• Účetní identita: y = c + i
• Eulerova rovnice: (       )   = f3(l + rt)
1