MPE.VPAM: Příklady k 6. cvičení
Matematické
1. Získejte parciální derivace funkce y = x\x2. Při výpočtu využijte definici parciální derivace.
2. Najděte a interpretujte parciální derivace produkční funkce y = ÍOx^x^
dy dx1
Graficky znázorněte sklon parciální derivace -J^- v bodech \x\, x2] = [25,4]
a [x1,x2] = [25,9].
3. Najděte a interpretujte mezní produkt Cobb-Douglasovy produkční funkce se dvěma vstupy:
y = f (K, L) = AKaL,P   A>0,0<a,P <í
kde A, a a j3 jsou parametry.
4. Najděte a interpretujte mezní produkt Cobb-Douglasovy produkční funkce se třemi vstupy:
y = Ax"x^xJ   A > 0,0 < a,/3,7 < 1 kde A, a, j3 a 7 jsou parametry.
5. Najděte mezní produkt CES produkční funkce. Jaká je hodnota elasticity substituce?
y = 12
0,42^ 2 +0,6x2
6. Ukažte, jak lze z CES produkční funkce y = 7 [aK p + (1 — a)L p] ~p získat:
• Leontiefovu produkční funkci
• Cobb-Douglasovu produkční funkci
7. Nalezněte gradient funkce f{x\, x2, x3)
8. Nalezněte gradient a Hessovu matici pro funkci f(x±,X2) = x\x2. Na tomto příkladu demonstrujte platnost Youngova teorému.
9. Najděte a interpretujte Hessovu matici Cobb-Douglasovy produkční funkce se dvěma vstupy:
y = Ax?x%   A > 0,0 < a, j3 < 1 kde A, a, P jsou parametry.
1
10. Rozhodněte o konvexnosti/konkávnosti následujících funkcí:
f{x\,x2) = x\ + x2 + x\x\ — 3xi — 8x2   x e R2
/(xi,x2) = (xi+x2)^   x e R++ f(x1,x2) = (x1)i(x2)i xeR++ f(x1,x2,x3)=x"+X2+xl   X G R++
11. Rozhodněte, zda mohou být následující funkce definované na R++ konvexní/konkávni či kvazikonvexní/kvazikonkávní.
1 1
(a) f(x1,x2) = x{x^
1 2
(b) f(x1,x2) = x{xl
(c) f(x1,x2) = x\x\
(d) f(x1,x2) = x\ + x\
(e) f(xllx2) = 3xj + hxl
(f) f(xi,x2) = 2xi + 3x2 - x\x\
12. Ukažte, že je produkční funkce y = f (K, L) =      LÍ   0 < a, j3 < 1 homogenní se stupněm homogenity |.
13. Ukažte, že je produkční funkce f(xi,x2,x3) I homogenní se stupněm homogenity a + /? + 7.
1
14. Určete stupeň homogenity CES produkční funkce y = 7 [aK~p + (1 — a)L~p] ~p . Ukažte že pro tuto funkci platí euleruv teorém f 1X1 + f2x2 = f(xi.x2).
2