MPE.VPAM: Příklady k 9. cvičení
Stacionární body, vyšetření extrémů.
1. Nalezněte stacionární body a rozhodněte, zda jsou globálním či lokálním extrémem
(a) y = 2x1+ x\
(b) y = 4x\ ~ xix2 + x\ — x\
(c) y = 3xj + 2x22 + 5
(d) y = 2x\ + 2ľ2 — 3x2 — 4x2 ~ xix2
(e) y = ex+y (x2 + y2)
2. Řešte problém firmy maximalizující zisk na dokonale konkurenčním trhu v případě, že znáte produkční funkci firmy danou jako y = K0'5L0'25, dále víte že firma čelí ceně 64 korun za jednotku výstupu (y), najímá jednotku pracovní síly (L) za 2 koruny a jednotku kapitálu (K) za 4 koruny. Kolik má firma poptávat vstupů, aby maximalizovala zisk?
Přímé omezení proměnných, omezení na množině.
1. Řešte následující optimalizační problém
(a) y = 3x5 — 5x3 podléhající omezení —a < x < a kde a = 00, a = |
(b) max y = ÍOxi — 5x2 podléhající omezení 0 < x\ < 20, 0 < X2 < 20
(c) max y = (x±X2)^ podléhající omezení 0 < x± < 10, 0 < X2 < 10
(d) max y = 3x2 + 2x\ + 5 podléhající omezení 0 < x^ < 10, 2 < x2 < 10
2. Předpokládejte monopol působící ve dvou různých ekonomikách (ve vlastní (1) a v sousední (2)). V obou ekonomikách čelí různým poptávkovým funkcím:
Pi = 100 - qi P2 = 80 - 2q2.
Dále víme, že funkce celkových nákladů monopolu je C = (q± + q^)2■
(a) Rozhodněte, jaké množství a za jaké ceny bude monopol v jednotlivých zemích prodávat, pokud maximalizuje zisk. Spočtěte celkový zisk monopolu.
(b) Předpokládejme, že sousední země obviní monopol z dumpingu a uvalí dovozní kvóty ve výši maximálně 4 kusů produktu monopolu. Diskutujte dopady uvalení této kvóty.
3. Nalezněte stacionární body a rozhodněte, zda jsou globálním či lokálním extrémem funkce f(x,y) = x2 + 2xy + 2y2 — 3x — 5y, která je omezena trojúhelníkovou množinou M s vrcholy [0, 2], [3, 0], [0,-1].
1