BAYESIÁNSKÁ ANALÝZA - DOMÁCÍ SKUPINOVÝ ÚKOL Č. 1
Pro účely zpracování tohoto úkolu si vytvořte pracovní skupinu o velikosti max. 5 osob. Úkol zpracujte a odevzdejte do stanoveného termínu. Veškeré podklady (např. skripty Matlabu) a komentáre, odevzdávejte do příslušné odevzdávárny.
Termín odevzdání: 7. 10. 2019 (včetně) Zadání úkolu
1. Před fotbalovým zápasem FC Barcelona - Real Madrid bookmaker odhadne pravděpodobnosti na vítězství FC Barcelony v zápase na 0.4, na remízu 0.25 a na vítězství Reálu Madridu na 0.35. Dále je odhadnuta pravděpodobnost, že v utkání padne 0 až 2 góly na 0.5 a tedy pravděpodobnost, že padne v utkání 3 a více gólů je také 0.5. Určete pravděpodobnost, že v utkání vstřelí každé z mužstev alespoň jeden gól a jaký nejvyšší kurz na sázku v podobě vstřelení minimálně jednoho gólu každým z družstev by tedy měla sázková kancelář, pro kterou tento bookmaker pracuje, vypsat?
• Úkol nemá analytické řešení, nicméně, pokud se jej přece jen pokusíte řešit analyticky, uveďte, jakou informaci byste ještě dodatečně potřebovali získat.
• Sázkové kanceláře tento druh problémů řeší skutečně s využitím simulací, stanovte tedy danou pravděpodobnost na základě vlastní odpovídající simulace možných výsledků zápasu (a počtu vstřelených gólů).
• Svůj postup v rámci simulace náležitě vysvětlete a okomentujte.
• V rámci simulace budete potřebovat stanovit a priori pravděpodobnosti některých jevů. V komentáři k postupu řešení úkolu tedy zdůrazněte, kde a jak jste ke stanovení pravděpodobností tohoto typu přistoupili (doporučuji používat zejména rovnoměrné rozdělení a tedy funkci rand generátoru náhodných čísel v MATLABu), případně, jaké další parametry jste museli v rámci simulace nastavit.
• Otestujte a komentujte citlivost výsledků na stanovování potřebných specifikací parametrů a různých, vámi zvolených, pravděpodobnostních rozdělení ve své simulaci.
V rámci zpracování úkolů by se mohly hodit následující tipy:
• Před samotnou simulací doporučuji zvolit si proměnnou maximálního počtu gólů, které mohou v zápase padnout (a případně pak testovat citlivost výsledků na volbu této proměnné).
• Pro ukládání výsledků do vektorů či matic je vhodné si před samotným cyklem simulace tyto vektory definovat např. jako nulové vektory, tedy např. nulový vektor goals rozměru S x 1 definovaný jako goals = zeros (S, 1).
• Protože se bude pracovat s celými čísly (počty gólů), která budou vycházet z náhodně generovaných čísel neceločíselné povahy, mohou se hodit funkce pro zaokrouhlování, jako je fix (zaokrouhlí na nejbližší celé číslo směrem j nule) nebo ceil (zaokrouhlí na nejbližší celé číslo k plus nekonečnu), případně i v rámci ověřování korektnosti výsledku zápasu a náhodně vygenerovaného počtu vstřelených gólů se může hodit funkce rem vracející zbytek po dělení dvou čísel v argumentu funkce.
• V rámci algoritmu bude pravděpodobně vhodné začít náhodně vygenerovaným výsledkem zápasu (výhra jednoho z týmů nebo remíza kódované např. jako 1, 0 a —1) splňujících podmínku danou pravděpodobnostmi výsledků zápasu v úvodu zadání. Následně se může náhodně určit celkový počet vstřelených gólů z hlediska množin výsledků (0-2 nebo 3 a více), který bude respektovat zadání danou pravděpodobnost těchto výsledků. Po té je v rámci cyklu potřeba vygenerovat celkový počet gólů tak, aby byla splněna podmínka logické konzistence výsledku zápasu v případě remízy a počtu vstřelených gólů dělitelných dvěma beze zbytku a v případě neremízového zápasu pak musí být splněna podmínka nenulového počtu vstřelených gólů. Použije se tedy cyklus while, v rámci něhož se bude náhodně vygenerovaný celkový počet gólů měnit až do splnění podmínky logické konzistence. Následně již lze dle vygenerovaného výsledku zápasu a známého počtu vstřelených gólů náhodně stanovit počet vstřelených gólů každým z mužstev.
• Jako logické operátory lze použít && pro logický součin a 11 pro logický součet a ~= pro negaci rovnosti (nerovnost).
1