BAYESIÁNSKÁ ANALÝZA - DOMÁCÍ SKUPINOVÝ ÚKOL Č. 2
Pro účely zpracování tohoto úkolu si vytvořte pracovní skupinu o velikosti max. 5 osob. Úkol zpracujte a odevzdejte do stanoveného termínu. Veškeré podklady (např. skripty Matlabu) a komentáre, odevzdávejte do příslušné odevzdávárny.
Termín odevzdání: 11. 11. 2019 (včetně) Zadání úkolu
Odhad hysterezní Phillipsovy křivky
Jednoduchý model Phillipsovy křivky je možno nalézt v článku Roberta Gordona z roku 1989. V tomto modelu je jednoduchá verze hypotézy přirozené míry nezaměstnanosti, která propojuje inflaci irt a míru nezaměstnanosti Ut, zapsána následovně:
írt = aírt_i+/3(C/t-C/t*). (1)
Parametr a vyjadřuje setrvačnost v očekávání inflačního vývoje a jedná se tak o jistý druh adaptivních očekávání. Umožníme-li existenci jevu hystereze, můžeme definovat pravidlo, podle kterého se vyvíjí rovnovážná míra nezaměstnanosti U* (reprezentována úrovní NAIRU):
U* = vUt-i + Zt (2)
Hystereze tedy nastává v případě, kdy Č7t* závisí na zpožděné hodnotě míry nezaměstnanosti Ut-i a na mikroekonomických determinantech reprezentovanými proměnnou Zt. Tyto mikroekonomické determinanty můžeme ztotožnit s těmi, které uvádí Friedman v rámci své hypotézy o přirozené míře nezaměstnanosti. Spojením obou vztahů získáme:
vrt = mrt.! + f3(Ut - VUt-i - Zt). (3)
Následná transformace vede k rovnici:
vrt = avrt.i + 13(1 - T])Ut + f3v(Ut - Ut-!) - f3Zt. (4)
Tuto rovnici využijte k empirickému testování hypotézy hystereze. Všimněte si teoretických aspektů a implikací, které nám předpoklad hysterezního charakteru nezaměstnanosti přináší. Je zřejmé, že pro r/ = 1 nastává případ "plné hystereze". V tomto případě již nebude existovat jedinečné Č7t* a rovnovážná úroveň nezaměstnanosti bude zcela variabilní veličinou nemající svou ustálenou (steady-state) hodnotu.
„Plná hystereze" má zásadní dopad na vztah inflace a nezaměstnanosti. Inflace v tomto případě nebude záviset na aktuální úrovni nezaměstnanosti, ale jen na změně v nezaměstnanosti. To je samozřejmě v protikladu s hypotézou o přirozené míře nezaměstnanosti, které by odpovídal případ r/ = 0. Rovnovážná úroveň nezaměstnanosti by v tomto případě plně reflektovala mikroekonomické determinanty reprezentované proměnnou Zt. Jakýmsi kompromisem pak jsou hodnoty r/ € (0; 1), které připouštějí existenci inflačních tlaků jak ze strany aktuální úrovně nezaměstnanosti, tak i ze strany změn v míře nezaměstnanosti. Tento případ umožňuje existenci ustálené úrovně nezaměstnanosti, tedy úrovně, která nebude akcelerovat míru inflace a bude dlouhodobě udržitelná. Aktuální rovnovážná úroveň nezaměstnanosti bude mít tendenci k této ustálené úrovni konvergovat. Čím více se bude hodnota parametru r/ blížit jedné, tím pomalejší bude přizpůsobování NAIRU svému ustálenému stavu a tím menší budou "inflační náklady"(v důsledku ak-celeračních tlaků na růst cenové hladiny) expanzivní, poptávkově orientované hospodářské politiky cílené na snížení míry nezaměstnanosti.
1. Data: Najděte si čtvrtletní data o nezaměstnanosti (pokud možno sezónně očištěné) a meziroční inflaci pro svou oblíbenou ekonomiku (pro získání dat můžete využít např. databázi OECD, kdy pro plnohodnotný přístup je potřeba jít přes proxy-server naší knihovny, či databázi Eurostatu) a zpracujte si je pro použití v Matlabu (ideálně do podoby datového souboru . mat, který si pak ve vlasntích skriptech můžete načíst.
2. Odhadovaný ekonometrický model má v souladu s rovnicí (4) následující podobu (model je chápán jako normální lineární regresní model s nezávislou normální-gama apriorní hustotou):
7Tt = Ai + A2vrt_i + A3č7t + A4(č7t - Ut-i) + et. (5)
1
3. Předpokládáme, že strukturální charakteristiky jsou v čase neměnné a náhodná složka splňuje obvyklé požadavky. Odhadněte parametry tohoto modelu (využijte Gibbsův vzorkovač) a na jejich základě pak zpětně získejte původní strukturální parametry. Apriorní hustotu obohaťte o informaci, týkající se přípustných hodnota parametrů rj, tedy o informaci, že r/ € (0,1). Nezapomeňte ověřit konvergenci.
(a) Využijte výsledky ze čtvrté kapitoly pro vytvoření Gibbsova vzorkovače (resp. využijte skripty z odpovídajících cvičení). Pracujeme totiž stále s lineárním regresním modelem s nezávislou normální-gama apriorní hustotou.
(b) Zakomponování apriorního omezení na parametr rj je velmi snadné. V rámci generování vzorků redukované formy modelu si přepočítáme původní strukturální parametry a vzorky v daném kroku replikací generujeme tak dlouho, dokud nebude splněna podmínka, že rj je v intervalu nula až jedna. Dobré je rovněž uchovat si informaci o tom, kolik vzorků se vygenerovalo celkem, protože tím získáme důležitou hodnotu pro výpočet odpovídající integrační konstanty pro omezené vícerozměrné normální rozdělení (využitelné to je v rámci konstrukce Savage-Dickeyho poměru hustot, protože v něm potřebujeme znát plné hustoty a nikoliv jen jejich jádra).
4. Vypočítejte jednotlivé pravděpodobnosti modelů, které odpovídají platnosti hypotézy o přirozené míře nezaměstnanosti, hypotézy hystereze a teorii NAIRU. Model odpovídající teorii NAIRU tak bude neomezený model, zbylé dva modely budou odpovídat vnořeným modelům rj = 0 resp rj = 1. Vypočítejte tedy příslušné Bayesovy faktory (na základě Savage-Dickey poměru hustot).
5. Díky znalosti „law of motion" pro vývoj NAIRU nasimulujte trajektorii NAIRU zkoumané ekonomiky a sestrojte i příslušné 95% intervaly spolehlivosti.
(a) NAIRU v kontextu oné rovnice není nic jiného než funkce pozorovaných (minulých) hodnot nezaměstnanosti a parametrů rj a Zt (chápané jako část úrovňové konstanty).
(b) Střední hodnotu a rozptyl jakékoliv funkce parametrů jsme pomocí Monte Carlo integrace schopni velmi snadno spočítat. V tomto případě máme totiž vygenerované platné výběry z posteriorní hustoty a tudíž jsme schopni snadno generovat i rozdělení NAIRU.
(c) Vcelku efektivní může být zachování vygenerovaných vzorků navzorkovaných parametrů pomocí Matla-bovské funkce save (uložení do . mat souboru). Příslušný datový soubor si pak můžeme načíst v rámci nového skriptu věnovanému simulaci NAIRU, který tyto vzorky bude využívat (nebo lze vše udělat v jednom skriptu).
6. Pokud máte delší časovou řadu, pokuste se o odhady na různých časových obdobích a prozkoumejte na tomto základě stabilitu parametrů v čase (a tedy i platnost jednotlivých teorií vztažených k přirozené míře nezaměstnanosti).
Dosažené výsledky kriticky zhodnoťte a to v rámci krátké zprávy s vhodnými komentovanými výstupy modelů (inspiraci můžete nalézt v „ukázkovém projektu" Němec (2008) Bayesovský odhad hysterezníPhillipsovy křivky, kdy je pro naše účely dostačující část 6).
2