Kapitola 4
Maticový počet
Řešené příklady
1. Uzavřená ekonomika a IS–LM model1
Mějme uzavřenou ekonomiku, kterou lze popsat systémem rovnic popisujícím rovnováhu na trhu statků a trhu
peněz - IS a LM vztah. Trh statků (IS část modelu) je popsána rovnicemi:
C = 15 + 0, 8(Y − T),
T = −25 + 0, 25Y,
I = 65 − R,
G = 94,
kde C je spotřeba, T daňové příjmy, Y agregátní výstup, I investice, R úroková sazba a G vládní výdaje. Trh
peněz (LM část modelu) lze popsat pomocí rovnic
L = 5Y − 50R
M = 1500,
kde L je poptávka po penězích a M je fixní nabídka peněz. Nalezněte rovnovážnou úroveň Y a R. Vypočítejte
vládní deficit (nebo přebytek) a obchodní deficit (nebo přebytek) v rovnováze.
Zadaný systém rovnic lze převést do maticovému zápisu Ap = b, kde A je 2 × 2 matice koeficientů, p je 2 × 1
vektor zahrnující Y a R a p je 2 × 1 vektor konstant. V prvním kroku nalezneme rovnice rovnováhy na trhu
zboží a trhu peněz - nalezneme IS a LM křivky. IS křivku nalezneme jako součet Y = C + I + G:
Y = C + I + G,
Y = 15 + 0, 8(Y − (−25 + 0, 25Y)) + 65 − R + 94,
Y = 485 − 2, 5R.
Rovnováhu na trhu peněz lze popsat pomocí LM křivky a ta odpovídá situaci kdy L = M:
1500 = 5Y − 50R,
300 = Y − 10R.
1Příklad vychází z Hoy (2011).
1
IS a LM křivky nám nyní dávají soustavu rovnic o dvou neznámých
Y + 2, 5R = 485,
Y − 10R = 300,
které lze přepsat do tvaru
1 2, 5
1 −10
Y
R
=
485
300
.
Jednoduchými úpravami získáme R a Y
Y
R
=
1 2, 5
1 −10
−1
485
300
=
448
14, 8
.
Rovnovážná hodnota výstupu a úrokové sazby v naší ekonomice je [Y, R] = [448; 14, 8]. Odtud lze snadno
vypočítat daňový příjem T = 25 + 0, 25(448) = 87 a stanovit vládní deficit jako T − G = 87 − 94 = −7.
2. Mzdová mezera a mezinárodní obchod 2
Mzdová mezera mezi více vzdělanými a relativně méně vzdělanými pracovníky se v 80. letech v USA značně
zvětšila. Ve stejném období se obchod s rozvojovými zeměmi začal více podílet na amerických importech. Rádi
bychom zjistili, zda je větší mezinárodní konkurence možným zdrojem rostoucího mzdového nepoměru. Možnou
spojitost mezi těmito dvěma trendy ukazuje teorie mezinárodního obchodu jinak známá jako Stolper–
Samuelsonův efekt.
V našem příkladu budeme uvažovat jednoduchý model obchodu, kde existují pouze dva výrobní faktory, a to
vzdělaná (S) a nevzdělaná (U) pracovní síla. Tato země produkuje pouze dva statky, textil (T) a počítače (C).
Produkce je popsána tzv. technickými koeficienty aij, z nichž každý popisuje množství použitého vstupu i (S
nebo U) k výrobě produktu j (T nebo C). Tyto koeficienty jsou
aUT = UT
T , aST = ST
T , aUC = UC
C , aSC = SC
C ,
kde UC a SC jsou počty nevzdělaných a vzdělaných pracovníků v počítačovém průmyslu a UT, ST jsou počty
nevzdělaných a vzdělaných pracovníků v textilním průmyslu. Pro naši aplikaci předpokládáme, že tyto technické
koeficienty jsou konstantní.
Dále zavedeme předpoklad dokonale konkurenčního trhu, který implikuje nulový zisk. Také víme, že celkové
mzdy se musí rovnat celkovým tržbám. Označíme tedy mzdu pro nevzdělané pracovníky jako w a pro vzdělané
pracovníky jako s. Podmínky nulového zisku pak jsou:
UCw + SCs = pCC,
UTw + STs = pTT,
kde pC a pT značí příslušné ceny počítačů a textilu. Obě podmínky můžeme podělit celkovým výstupem v každém
odvětví, čímž dostaneme
UC
C
w +
SC
C
s = pC,
UT
T
w +
ST
T
s = pT.
2Příklad vychází z Klein (2002) str.109.
2
Všimněte si, že tyto rovnice odpovídají technickým koeficientům. Takový systém tedy může být vyjádřen jako
Aw = p, kde A je matice technických koeficientů, w je vektor mezd a p je vektor cen, tj.
aUT aST
aUC aSC
w
s
=
pT
pC
.
Nyní vypočítáme determinant matice A jako |A| = aUTaSC − aUCaST. Tento determinant bude kladný pokud
se v textilní výrobě využívá nevzdělaná pracovní síla relativně více než při výrobě počítačů (tedy aUT/aST >
aUC/aSC). Budeme předpokládat, že tomu tak je. Všimněte si, že pokud by relativní využití pracovní síly bylo
stejné, pak by byl determinant nulový. To by znamenalo, že tato dvě odvětví jsou v podstatě totožná. Změny
v ceně počítačů nebo textilu ovlivňují mzdy obou skupin pracovníků. Řešení tohoto systému rovnic, w = A−1 p,
to přímo ukazuje. S použitím předchozích výsledků k nalezení A−1 dostáváme
1
|A|
aSC −aST
−aUC aUT
pT
pC
=
w
s
.
V tomto modelu se efekt rostoucího obchodu s rozvojovými zeměmi projeví jako snížení relativní ceny textilu.
Pokud použijeme komparativní statiku a uvažujeme pokles v pT a neměnné pC, pak můžeme řešení přepsat ve
tvaru změn, čímž získáme
1
|A|
aSC −aST
−aUC aUT
∆pT
0
=
∆w
∆s
.
Výsledek ukazuje, že ∆w = aSC/|A|∆pT a ∆s = −aUC/|A|∆pT. Jelikož je ∆pT záporná, tento výsledek dokazuje,
že mzdy pro nevzdělané pracovníky se sníží a mzdy pro vzdělané pracovníky budou růst. Z toho vyplývá,
že spojitost mezi rostoucím obchodem s rozvojovými zeměmi a růstem mzdové mezery mezi vzdělanými a nevzdělanými
pracovníky v USA je možná.
3. Lineární regrese
Lineární regrese je další oblast, kde lze využít maticový počet. Jednoduchým příkladem lineární regrese je
yi = β0 + β1xi + i,
kde i = 1, ..., n, yi nazýváme vysvětlovanou proměnnou, člen β0 úrovňovou konstantou, β1 regresním koeficientem,
xi vysvětlujícími proměnnými a i rezidui. Systém můžeme rozepsat jako
y1 = β0 + β1x1 + 1,
y2 = β0 + β1x2 + 2,
. . .
yn = β0 + β1xn + n,
Tento systém však můžeme zapsat i maticově jako
Y = Xβ + .
V tomto případě jsou Y, β a vektory a X označuje tzv. matici plánu. Naše případová matice plánu (s jedinou
vysvětlující proměnnou) má rozměr n × k, kde k = 2 a nabývá následující podoby
X =







1 x1
1 x2
1 x3
...
...
1 xn







.
3
Rozměry vektoru Y jsou n × 1, pro vektor β jsou rozměry k × 1 (v modelu jsou pouze β0 a β1, tudíž k = 2),
rozměry vektoru reziduí jsou n × 1.
Nyní se podívejme na odvození vztahu pro odhad (estimátor) β metodou nejmenších čtverců. Náš odhad
chceme vytvořit tak, aby odpovídal co nejlépe datům, která máme k dispozici. Metoda nejmenších čtverců
je jedním ze způsobů, které lze využít. Metoda je založena na minimalizaci součtu čtverců reziduí, který je dán
výrazem
∑ 2
i = [ 1 2 ... n] ·





1
2
...
n





= T
.
Rezidua můžeme v maticovém zápisu vyjádřit jako = Y − Xβ, výraz, jehož minimum hledáme, můžeme tedy
zapsat jako (Y − Xβ)T(Y − Xβ), kde vrchní index T značí standardně transpozici. Tento výraz nyní zderivujeme
vzhledem k β. Derivování matic má podobná pravidla, jako derivování jednoduchých výrazů, tato pravidla zde
však nebudeme dopodrobna rozebírat. Derivací získáme
d
dβ
(Y − Xβ)T
(Y − Xβ) = −2XT
(Y − Xβ).
Položením tohoto výrazu rovno 0 (hledáme minimum součtu čtverců reziduí) a vydělením dvěma dostaneme
−XT
(Y − Xβ) = 0,
z čehož úpravou získáme tzv. normální rovnici, která je ve tvaru
XT
Y = (XT
X)β.
Z této rovnice již vektor regresních koeficientů získáme vynásobením inverzní maticí k matici (XT X), tj. maticí
(XT X)−1. Touto úpravou dojdeme k velmi známému vzorci
ˆβ = (XT
X)−1
XT
Y,
která nám říká, jak budou vypadat jednotlivé odhady prvků v matici β. V tomto jednoduchém příkladu tedy
prvku β0, který udává průsečík regresní přímky s osou y a β1, který určuje její sklon.
Nyní si s využitím výsledků uvedených výše vyzkoušíme provést jednoduchou lineární regresi. Máme matici,
ve které jsou v prvním sloupci hodnoty vysvětlované proměnné (Y) a ve druhém sloupci hodnoty vysvětlující
proměnné (X) 





0, 05 0, 12
0, 18 0, 22
0, 31 0, 35
0, 42 0, 38
0, 5 0, 49






.
Přepište tuto matici do maticově zadané lineární regrese a najděte odhad matice β pomocí vzorce uvedeného
výše.
Systém zapíšeme opět ve tvaru Y = Xβ + , v tomto případě získáváme






0, 05
0, 18
0, 31
0, 42
0, 5






=






1 0, 12
1 0, 22
1 0, 35
1 0, 38
1 0, 49






·
β0
β1
+






1
2
3
4
5






.
4
Odhad matice regresních koeficientů pak získáme vynásobením matice X s maticí XT, tím dostaneme matici
XT
X =
5 1, 56
1, 56 0, 5689
.
Následně provedeme inverzi této matice, čímž získáme
(XT
X)−1
=
1
det(XT X)
0, 5689 −1, 56
−1, 56 5
=
1, 38452 −3, 79654
−3, 79654 12, 1684
.
Nyní si vypočítáme součin XT Y, čímž dostaneme
XT
Y =
1, 46
0, 5587
.
Nyní již stačí vynásobit poslední dva výsledky mezi sebou, čímž získáme matici ˆβ, ve které jsou odhady parametrů
β0 a β1, tj. máme
ˆβ =
ˆβ0
ˆβ1
= (XT
X)−1
XT
Y =
1, 38452 −3, 79654
−3, 79654 12, 1684
1, 46
0, 5587
=
−0, 0997277
1, 25554
.
První parametr je náš odhad průsečíku přímky s osou y, druhý pak její sklon.
4. Definitnost matic a Choleského dekompozice
V této části si ukážeme, jak určit definitnost matice a vypočítat Choleského rozklad. Určeme nyní definitnost
matice
A =


2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1

 .
K tomu využijeme znaménka vedoucích hlavních minorů, tj. spočítáme menší determinanty (subdeterminanty)
zadané matice. První z nich je pouze determinant z prvku a11, tj.
|2| = 2 > 0,
druhý je determinant matice 2x2, a to
2 −1
−1 2
= 4 − 1 = 3 > 0.
Posledním determinantem, který musíme spočítat, je determinant matice A, který vypočteme Sarrusovým pravidlem,
čímž získáme
|A| =
2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1
= 4 − 2 − 1 = 1 > 0.
Z těchto výsledků tedy můžeme říct, že matice A je pozitivně definitní, neboť všechny její vedoucí hlavní minory
jsou kladné.
Nyní si na příkladu stejné matice A ukážeme i Choleského dekompozici. Hledáme matici T takovou, aby platilo
A = TTT. První diagonální prvek této matice (t11) získáme odmocněním prvku a11, v tomto případě tedy máme
t11 =
√
a11 =
√
2.
5
Prvek t21 získáme jako podíl
t21 =
a21
t11
=
−1
√
2
.
Prvek t31 pak dostaneme obdobně podílem
t31 =
a31
t11
=
0
√
2
= 0.
Zatím tedy máme první řádek matice T, která je dolní trojúhelníková, což znamená, že pod hlavní diagonálou
jsou nulové prvky. Prozatímní výsledek je tedy ve tvaru
T =


√
2 − 1√
2
0
0 ? ?
0 0 ?

 .
Prvek t22 vypočteme podle vzorce
t22 = a22 − t2
21 = 2 − −
1
√
2
2
= 2 −
1
2
=
3
2
.
Prvek t32 pak získáme následujícím způsobem:
t32 =
a32 − t31t21
t22
=
−1 − 0
3
2
= −
2
3
.
Nyní vypočteme poslední chybějící prvek, t33, a to jako
t33 = a33 − t2
31 − t2
32 = 1 − 0 − −
2
3
2
= 1 −
2
3
=
1
√
3
.
Hledaná matice T je tedy
T =




√
2 − 1√
2
0
0 3
2 − 2
3
0 0 1√
3



 .
Ověření výsledku ponecháme na čtenáři.
Poznámka: číslování jednotlivých prvků v matici je zde v souladu s číslováním využitým na přednášce. První
číslo v indexu tedy, poněkud netradičně, odpovídá číslu sloupce, druhé pak číslu řádku.
6
Neřešené příklady
Matematické příklady
1. Mějme zadané matice A, B a C
A =
7 −1
−2 15
B =
14 7
14 −12
C =
10 4 8 2
0 4 8 5
(a) Ukažte, že platí A + B=B + A.
(b) Jaká je hodnota A − B?
(c) Jaká je hodnota (−A + 2B)C? Jakého rozměru nabývá výsledná matice?
(d) Nalezněte transponované matice AT, BTa CT.
(e) Ukažte, že platí A(BC) = (AB)C.
(f) Ukažte, že platí (AC)T=CT AT.
(g) Platí CTC = CCT?
(h) Jaká je dimenze pro jednotkovou matici násobku CI? Jaká je dimenze pro jednotkovou matici násobku
IC? Najděte CI a IC.
2. Nalezněte matice X a Y (vlastní výpočty lze provést v softwaru)
(a)
1 2
−1 1
· X + 3
3 −1
2 3
Y =
1 2
−1 1
,
3 −1
2 3
· Y =
1 2
−1 1
(b)
1 2
−1 1
· X + 3
3 −1
2 3
Y =
4 1
1 3
, Y ·
−1 1
2 1
=
−1 2
2 −1
(c) X ·
2 1
0 3
+ Y ·
−1 2
1 4
=
0 3
2 1
, Y ·
2 1
3 2
=
1 1
1 2
(d)
2 1
0 3
· X +
−1 2
1 4
· Y =
0 3
2 1
,
2 1
3 2
· Y =
1 1
1 2
3. Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu rovnic a následně pomocí Frobeniovy věty zdůvodněte
existenci a počet řešení.
(a)
x + y + z = 0
y = 20
−1x + 2z = 10
(b)
x + 2y + 3z − 4u = 3
−2x + 3y + 4z + u = 3
3x − 1y − 2z + 2u = 8
5x + 3y + 3z + u = 22
(c)
2x + y + 3z = 6
3x − 2y + z = 2
x + 2y + 13z = 26
4x + 0y + 14z = 28
(d)
3x + 2y + z + u = 0
x + 4y − 2z + u = 0
3x + 7y + z + u = 0
6x + 4y + 2z + 2u = 0
7
4. Najděte vlastní čísla matice A a pro největší vlastní číslo určete vlastní vektor. Určete determinant a stopu
matice.
(a) A =
2 3
3 −6
(b) A =


4 2 0
2 1 0
4 6 3


(c) A =


2 −1 −1
0 −1 0
0 2 1


(d) A =


1 −1 0
0 1 −4
−1 0 4


5. Nalezněte determinant a inverzní matici matice A.
(a) A =
1 − β β
1 β
(b) A =
a − β b
c d − β
6. Určete definitnost následujících matic:
(a) A =


5 −6 −6
−1 4 2
3 −6 −4


(b) A =


1 1 1
1 3 3
1 3 5


(c) A =




4 2 2 0
2 2 4 1
2 4 10 3
0 1 3 6




(d) A =


1 1 0
1 2 −2
0 −2 6


(e) A =


2 1 0
1 −2 0
0 0 4


(f) A =


−4 1 1
1 −1 0
1 0 −6


(g) A =


−9 −3 1
−3 −1 0
1 0 3


(h) A =


2 0 −2
0 3 −6
−2 −6 4


(i) A =


−8 0 4
0 −2 2
4 2 −4


7. Proveďte Choleského dekompozici matice A. Vždy nejprve ověřte, zda se jedná o pozitivně–definitní
matici.
(a) A =
25 −50
−50 101
(b) A =
1 2
2 13
(c) A =


2 1 0
1 2 0
0 0 4


(d) A =


4 1 0
1 4 −1
0 −1 2


(e) A =


4 12 −16
12 37 −43
−16 −43 98


(f) A =




1 2 1 0
2 8 4 2
1 4 11 1
0 2 1 2




(g) A =




4 0 0 2
0 1 3 0
0 3 10 1
2 0 1 3




8
Ekonomické příklady
1. Předpokládejme dva trhy. Na prvním trhu se obchoduje s cukrem a na druhém trhu s kávou. Tyto dva
trhy jsou propojeny. Poptávku a nabídku na trhu s kávou lze zapsat pomocí rovnic
Dk = 100 − 5pk − pc, Sk = −20 + 2pk,
a poptávku a nabídku na trhu s cukrem pomocí rovnic
Dc = 80 − 4pc − 2k, Sc = −10 + pc,
kde pk je cena kávy a pc cena cukru.
(a) Zapište trh v rovnováze tak, aby odpovídal maticovému zápisu Ap = b, kde A je 2 × 2 matice
koeficientů, p je 2 × 1 vektor cen a p je 2 × 1 vektor konstant.
(b) Nalezněte rovnovážnou cenu kávy a cukru.
2. Rozšířený IS–LM model s čistými exporty je zapsán rovnicemi:
C = 15 + 0, 8(Y − T),
T = −25 + 0, 25Y,
I = 65 − R,
G = 94,
NX = 50 − 10 − 0, 1Y,
kde C je spotřeba, T daňové příjmy, Y agregátní výstup, I investice, R úroková sazba, G vládní výdaje
a NX jsou čisté exporty. Trh peněz (LM část) lze popsat pomocí rovnic
L = 5Y − 50R,
M = 1500.
Nalezněte rovnovážnou úroveň Y a R. Vypočítejte vládní deficit (nebo přebytek) a obchodní deficit (nebo
přebytek) v rovnováze.
3. Zjednodušený model národních příjmů lze zapsat jako:
Y = C + I + G,
C = a + bY,
kde národní příjem (Y) a spotřeba (C) jsou endogenní veličiny a investice (I) a vládní výdaje (G) jsou
exogenní veličiny. Parametry a a b ve spotřební funkci reprezentují autonomní spotřebu a mezní sklon ke
spotřebě.
(a) Zapiště model pomocí matice koeficientů o velikosti 2 × 2, vektoru endogenních proměnných o velikosti
2 × 1 a vektoru konstant o velikosti 2 × 1 (I + G považujte za jednu konstantu).
(b) Tento model může být také zapsán jako Ax = y, kde A je matice koeficientů, x je vektor endogenních
proměnných a y je vektor konstant. S pomocí známého faktu, že x = A−1y nalezněte řešení tohoto
systému rovnic.
4. Ziskové funkce dvou výrobců letadel, evropské firmy Airbus a americké firmy Boeing, lze vyjádřit jako:
A = −
1
2
B + F,
B = −
1
2
A + G,
kde A je zisk výrobce Airbusu, B je zisk výrobce Boeingu, F je evropská vládní dotace pro výrobce Airbusu
a G je americká vládní dotace pro výrobce Boeingu.
9
(a) Vyjádřete rovnice jako maticový systém, kde A a B jsou endogenní proměnné a F a G jsou exogenní
proměnné.
(b) Nalezněte řešení systému rovnic pokud víte, že obě vlády poskytnou dotaci 100 milionů dolarů.
(c) Určete, co se stane se zisky obou firem, pokud se evropská vládní dotace zvýší na 200 milionů dolarů,
zatímco americká vládní dotace zůstane 100 milionů dolarů.
5. Následující model determinuje exporty a importy v ekonomice jako:
X = 1000 − 20E + 0, 2YF,
M = 450 + 10E + 0, 15YD.
Exporty (X), importy (M) a reálný směnný kurz (E) jsou endogenní veličiny. Zahraniční (YF) a domácí
příjem (YD) jsou exogenní veličiny. Rádi bychom prozkoumali dlouhodobé vlastnosti reálného směnného
kurzu. Předpokládáme tedy, že v dlouhém období se exporty musí rovnat importům.
(a) Zapište model pomocí maticového systému.
(b) Pomocí opakované substituce vyřešte systém rovnic pro reálný směnný kurz a pro rovnovážné množství
exportů nebo importů, vyjádřené jako funkce zahraničního a domácího příjmu.
(c) Určete vztah mezi změnou reálného směnného kurzu E a změnou zahraničního příjmu YF. Dále
určete vztah mezi změnou reálného směnného kurzu E a změnou domácího příjmu YD.
(d) Předpokládejte, že během dlouhého období se YF zvýší o 100 a YD zvýší o 90. Určete, jak velká je
změna E.
6. Následující maticový systém, zapsaný kompaktně jako Wv = g, odpovídá Keynesiánskému makroekonomickému
modelu, kde AD je agregátní poptávka, C je spotřeba, I jsou investice, Y je národní příjem
a r je úroková sazba, 



1 −1 −1 0
0 1 0 −3
4
0 0 1 0
1 0 0 −1








AD
C
I
Y



 =




0
2000
500 − 1000r
0



 .
Použijte maticové násobení k získání rovnic, které popisují daný model.
7. Předpokládejme jednoduchý Keynesiánský makroekonomický model
C = 200 + 0, 8Y,
Y = C + I + G,
I = 1000 − 2000R,
kde C je spotřeba, Y agregátní výstup, I investice a navíc to jsou endogenní veličiny. Dále značíme R jako
úroková sazba a G jako vládní výdaje. R a G jsou exogenní veličiny.
(a) Sestavte matici 3 × 3 parametrů, vektor 3 × 1 endogenních proměnných a vektor 3 × 1 exogenních
proměnných.
(b) Najděte inverzní matici k matici parametrů.
(c) Uvažujte efekt snížení vládních výdajů G o 50 s dopadem na agregátní výstup Y.
(d) Uvažujme nyní, že je spotřeba závislá na úrokové sazbě C = 200 + 0, 8Y − 1000R. Diskutujte změny
ve výsledcích s předchozími body (a)-(c). Zamyslete se nad ekonomickou interpretací této změny.
10
Seznam použité literatury
[1] HOY, Michael. Mathematics for economics. 3rd ed. Cambridge, Mass.: MIT Press, c2011. ISBN 978-0-262-
01507-3.
[2] KLEIN, Michael W. Mathematical methods for economics. 2nd ed. Boston: Addison-Wesley, c2002. ISBN
0-201-72626-2
[3] Elektronické zdroje:
https://users.fit.cvut.cz/ stampfra/lectures/lin/lin-prednaska-17-handout.v1.pdf
https://kam.mff.cuni.cz/ sbirka/show_exercise.php?c=47e=218
https://homel.vsb.cz/ ber95/LAIT/Cviceni/lacv11.pdf
https://iuuk.mff.cuni.cz/ zuzka/2010/lin-12.pdf
11