Kapitola 8
Maximalizace s omezujícími
podmínkami
!!! TENTO TEXT NEPROŠEL FINÁLNÍ KOREKTUROU - MŮŽE OBSAHOVAT CHYBY !!!
Řešené příklady
Postačující podmínka pro maximum při jednom omezení: Uvažujme Lagrangeovu funkci skládající se
z funkce s n argumenty a jednoho omezení. Nechť má determinant ohraničené Hessovy matice Lagrangeovy
funkce vyhodnocený ve stacionárním bodě stejné znaménko jako (−1)n a poslední n − 1 vedoucí
hlavní minory mění znaménka, pak je kvadratická forma negativně–definitní na omezení a stacionární
bod je maximem funkce.
Postačující podmínka pro minimum při jednom omezení: Uvažujme Lagrangeovu funkci skládající se
z funkce s n argumenty a jednoho omezení. Nechť jsou všechny poslední n − 1 vedoucí hlavní minory,
ohraničené Hessovy matice vyhodnocené ve stacionárním bodě, záporné, spolu se samotným determinantem
ohraničené Hessovy matice, pak je kvadratická forma pozitivně–definitní na omezení a stacionární
bod je minimem funkce.
Pokud jsou tyto podmínky porušeny n − 1 nenulovými vedoucími hlavními minory, pak stacionární bod
není ani maximem ani minimem.
Mějme Lagrangeovu funkci L = f (x1, . . . , xn) − λ(g(x1, . . . , xn) − c). Ohraničená Hessova matice má
tvar:
BH =








0 g1 g2 . . . gn
g1 f11 − λg11 f12 − λg12 . . . f1n − λg1n
g2 f12 − λg12 f22 − λg22 . . . f2n − λg2n
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
gn f1n − λg1n f2n − λg2n . . . fnn − λgnn








,
kde gi je parciální derivace g(x1, . . . , xn) podle i-tého argumentu a gij je druhá parciální derivace podle
i-tého a j-tého argumentu.
1
1. Řešení vázaných extrémů skrz substituci - Problém spotřebitele1
Předpokládejme, že máme 6 eur na oběd a navštívíme slovenské bistro, které nabízí hlavní jídlo (H) a
přílohu (P) na váhu. Sto gramů hlavního jídla stojí 0,5 eur a sto gramů přílohy 0,25 eur. Naše užitková
funkce má tvar U(H, P) = ln H
4 + ln P
2 . Kolik gramů hlavního jídla a přílohy si můžeme zakoupit aby byl
náš užitek z oběda maximální?
Řešení:
V tomto problému máme za úkol maximalizovat funkci U za podmínky rozpočtového omezení 6 =
P
4 + H
2 . Problém budeme řešit substituční metodou. V následujícím kroku se budeme snažit převést problém
maximalizace užitku funkce více proměnných na problém maximalizace užitku jedné proměnné.
V prvním kroku si z rovnice podmínky rozpočtového omezení vyjádříme jednu z proměnných
6 =
P
4
+
H
2
⇒ H = 12 −
P
2
,
kterou následně dosadíme do naší užitkové funkce a získáme jednorozměrnou užitkovou funkci U(P)
U(P) =
ln (12 − P
2 )
4
+
ln P
2
.
Derivací funkce U(P) dle proměnné P a jejím položením rovno nule získáme množství přílohy, které
nám bude maximalizovat užitek
dU(P)
dP
=
−1
96 − 4P
+
1
2P
= 0 ⇒ P = 16.
Zpětným dosazením do rozpočtového omezení zjistíme, že hlavního jídla si pořídíme
H = 12 −
P
2
= 12 −
16
2
= 4.
Náš užitek bude tedy maximalizován při volbě 1600 gramů přílohy a 400 gramů hlavního jídla.
Nyní si ukážeme, jak ověřit maximum pomocí ohraničené Hessovy matice. Naše Lagrangeova funkce
má tvar:
L =
ln H
4
+
ln P
2
− λ(
P
4
+
H
2
− 6)
Vyjádříme si tedy postupně potřebné derivace a zapíšeme ohraničenou Hessovu matici
LHH = −
1
4H2
, LPP = −
1
2P2
, LHP = LPH = 0
gH =
1
2
, gP =
1
4
BH =



0 1
2
1
4
1
2 − 1
4H2 0
1
4 0 − 1
2P2


 .
Jelikož podmínka n − 1 posledních hlavních minorů je v našem případě rovna 2 − 1 = 1 stačí nám znaménko
determinantu celé ohraničené Hessovy matice. Spočítáme tedy tento determinant a dostáváme
|BH| = 1
64H2 + 1
8P2 . Dosadíme hodnoty našeho vypočítaného bodu a dostáváme |BH| > 0. Vidíme, že
podmínka (−1)2 = 1 je splněna a příslušná kvadratická forma je negativně–definitní. Stacionární bod je
tedy maximem zadané funkce.
1Příklad vychází z Klein (2014).
2
2. Omezení ve tvaru rovností - Intratemporální problém firmy maximalizující zisk2
Mějme produkční funkce firmy ve tvaru Q = 20u0,3v0,2w0,5, kde u, v a w jsou množství vstupů U, V a
W za rok, které firma využívá k produkci homogenního výstupu Q. Ceny za jednotky vstupů U, V a W
jsou postupně Pu = 1 000 Kč, Pv = 2 500 Kč, Pw = 4 000 Kč a roční rozpočet na produkci je 1 000 000 Kč.
Najděte optimální alokaci vstupů tak, aby firma maximalizovala svůj výstup.
Řešení:
Nyní máme za úkol maximalizovat funkci Q za podmínky 1000u + 2500v + 4000w = 1000000. Oproti
prvnímu případu (kde šlo snadno využít metodu substituce nyní využijeme obecnější Lagrangeův přístup
řešení vázaných extrémů. Příslušná Lagrangeova funkce má tvar
L(u, v, w, λ) = 20u0,3v0,2w0,5 − λ(1000u + 2500v + 4000w − 1000000).
K nalezení extrému funkce L(u, v, w, λ) je nutné v prvním kroku spočítat první parciální derivace a položit
je rovny nule, tj.
Lu = 6u−0,7
v0,2
w0,5
− 1000λ = 0,(8.1)
Lv = 4u0,3
v−0,8
w0,5
− 2500λ = 0,(8.2)
Lw = 10u0,3
v0,2
w−0,5
− 4000λ = 0.(8.3)
Z rovnic (8.1) a (8.3) následně vyjádříme λ a porovnáme, čímž dostaneme
6v0,2w0,5
1000u0,7 = 10u0,3v0,2
4000w0,5 ⇒ 24000w = 10000u ⇒ u = 2,4w.
Obdobně vyjádříme λ z (8.2) a (8.3) a opět porovnáme, tj.
4u0,3w0,5
2500v0,8 = 10u0,3v0,2
4000w0,5 ⇒ 16000w = 25000v ⇒ v = 0,64w.
V posledním kroku za u a v dosadíme do vazebné podmínky, z čehož získáme
1000 · 2,4w + 2500 · 0,64w + 4000w = 1000000 ⇒ w = 125.
Postupným dosazováním z výše uvedených rovnic získáme potenciální optimální alokaci vstupů maximalizujících
výstup jako w = 125, v = 80, u = 300. Abychom ověřili, zda se skutečně jedná o extrém,
vypočteme hodnoty druhých parciálních derivací v bodě (300, 80, 125), tedy
Luu = −4, 2u−1,7
v0,2
w0,5
; −0, 007, Lvv = −3, 2u0,3
v−1,8
w0,5
; −0, 074,
Lww = −5u0,3
v0,2
w−1,5
; −0, 048, Luv = 1, 2u−0,7
v−0,8
w0,5
; 0, 007,
Luw = 3u−0,7
v0,2
w−0,5
; 0, 012, Lvw = 2u0,3
v−0,8
w−0,5
; 0, 03
a následně dopočítáme vedoucí hlavní minory Hessovy matice, tj.
| −0, 007 |< 0,
−0, 007 0, 007
0, 007 −0, 074
> 0,
−0, 007 0, 007 0, 012
0, 007 −0, 074 0, 03
0, 012 0, 03 −0, 048
< 0.
Hessova matice je negativně definitní, Lagrangeova funkce je tedy ostře konkávní a proto se jedná o vázané
lokální maximum. Aby firma maximalizovala výstup, měla by k jeho produkci využít 300 jednotek
vstupu U, 80 jednotek vstupu V a 125 jednotek vstupu W.
2Příklad vychází z Vavrečková (2014).
3
3. Omezení ve tvaru nerovností3
Firma vyrábí dva typy produktů – typ A a typ B. Jestliže si účtuje cenu pA za jednotku produktu A a
cenu pb za jednotku produktu B, potom prodá qA jednotek produktu A a qB jednotek produktu B, kde
qA = 400 − 2pA + pB a qB = 200 + pA − pB. K výrobě jedné jednotky produktu A potřebuje firma 2
hodiny práce a 1 jednotku materiálu. Pro výrobu jedné jednotky produktu B potřebuje 3 hodiny práce a
2 jednotky materiálu. Firma má k dispozici maximálně 1 000 hodin práce a 200 jednotek materiálu. Maximalizujte
celkový příjem firmy, který je dán vztahem 400pA + 200pB − 2p2
A − p2
B + 2pA pB.
Řešení:
Ze zadání je zřejmé, že platí časové omezení 1000 ≥ 2qA + 3qB, což odpovídá celkové práci spotřebované
na oba produkty, a materiální omezení 200 ≥ qA + 2qB, což udává spotřebu celkového materiálu na oba
produkty. Do obou rovnic dosadíme za qA a qB konkrétní tvary individuálních poptávek po obou statcích
a tím získáme dvě omezení, která jsou ve tvaru −pA − pB ≤ −400 a −pB ≤ −600. Nyní je třeba ověřit
kvalifikační omezení. Vytvoříme Jakobiho matici a určíme její hodnost, tedy
Dg =
−1 −1
0 −1
.
Hodnost matice je 2, takže rovnost může nastat v případě obou omezení a my můžeme zapsat Lagrangeovu
funkci
L(pA, pB, µ1, µ2) = 400pA + 200pB − 2p2
A − p2
B + 2pA pB − µ1(−pA − pB + 400) − µ2(−pB + 600)
a z ní příslušné Kuhnovy–Tuckerovy podmínky
LpA
= 400 − 4pA + 2pB + µ1 = 0,(8.4)
LpB
= 200 − 2pB + 2pA + µ1 + µ2 = 0,(8.5)
µ1(−pA − pB + 400) = 0,(8.6)
µ2(−pB + 600) = 0,(8.7)
µ1, µ2 ≥ 0.(8.8)
Budeme uvažovat 4 následující případy:
1. Obě omezení jsou neaktivní, takže z podmínek komplementarity (8.6) a (8.7) plyne, že µ1 = µ2 = 0.
Potom z (8.4) a (8.5) získáme soustavu
400 − 4pA + 2pB = 0,
200 − 2pB + 2pA = 0,
jejímž řešením je pA = 300 a pB = 400. Toto řešení ovšem porušuje druhou vazebnou podmínku.
2. První omezení je aktivní a druhé neaktivní, takže µ2 = 0. Z prvního omezení si vyjádříme pA =
400 − pB. Dosazením do (8.4) a (8.5) získáme soustavu
400 − 4(400 − pB) + 2pB + µ1 = 0,
200 − 2pB + 2(400 − pB) + µ1 = 0,
ze které dostaneme řešení pB = 220, pA = 180 a µ1 = −120, což je ve sporu s (8.8).
3. První omezení je neaktivní a druhé je aktivní, tudíž µ1 = 0 a pB = 600. Dosazením do (8.4) získáme
pA = 400 a poté dopočítáme z (8.5), že µ2 = 200. Máme tedy jeden stacionární bod.
4. Obě omezení jsou aktivní, což nám dá pB = 600 a poté z prvního omezení obdržíme pA = −200,
což nemůže nastat, protože pA značí cenu výrobku.
Aby firma maximalizovala svůj příjem, měla by vyrábět qA = 400 − 2 · 400 + 600 = 200 jednotek produktu
A a qB = 200 + 400 − 600 = 0 jednotek produktu B, přičemž její celkový zisk bude 80 000 Kč.
3Příklad vychází z Vavrečková (2014).
4
4. Omezení ve tvaru nerovností s omezením na znaménko proměnných4
Spotřebitel má užitkovou funkci ve tvaru u(x, y, z) = xyz. Jeho rozpočtové omezení je dáno nerovnicí
p1x + p2y + p3z ≤ I, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, kde p1, p2, p3 jsou nenulové ceny statků, x, y, z představují
množství daných statků a I > 0 je rozpočet spotřebitele. Maximalizujte spotřebitelův užitek.
Řešení:
Vytvoříme Lagrangeovu funkci
L(x, y, z, µ) = xyz − µ(p1x + p2y + p3z − I)
a zapíšeme Kuhnovy–Tuckerovy podmínky, tj.
Lx = yz − µp1 ≤ 0 (= 0, pokud x > 0),(8.9)
Ly = xz − µp2 ≤ 0 (= 0, pokud y > 0),(8.10)
Lz = xy − µp3 ≤ 0 (= 0, pokud z > 0),(8.11)
µ(p1x + p2y + p3z − I) = 0,(8.12)
µ ≥ 0.(8.13)
Budeme řešit dva případy:
1. Omezení je neaktivní, a tedy µ = 0. Dosazením do (8.9), (8.10) a (8.11) získáme nerovnice yz ≤ 0,
xz ≤ 0 a xy ≤ 0. Protože jsou všechny proměnné nezáporné, může platit pouze yz = xz = xy = 0,
což nás přivádí k množině řešení, kdy dvě proměnné budou rovny nule a třetí proměnná bude v
intervalu [0, I/pi], pro i = 1, 2, 3. Všechny funkční hodnoty užitkové funkce v těchto bodech budou
rovny nule. Dle Weierstrassovy věty lze dojít k závěru, že se jedná o vázaná lokální minima.
2. Omezeni je aktivní, takže platí p1x + p2y + p3z = I a µ > 0. Protože I > 0, musí být aspoň jedna z
proměnných kladná. Uvažujme, že x > 0. Potom z (8.9) získáme yz = µp1 > 0, takže y, z musí být
kladná. Takže z (8.9), (8.10) a (8.11) obdržíme
yz
p1
=
xz
p2
=
xy
p3
= µ.
Z této rovnice vyjádříme xp1 = yp2 = zp3, dosadíme do omezení a získáme stacionární bod x∗ =
( I
3p1
, I
3p2
, I
3p3
) s µ = I2
9p1 p2 p3
.
Nakonec ověříme, zda se jedná o maximum. Druhé parciální derivace Lagrangeovy funkce jsou
Lxx = Lyy = Lzz = 0, Lxy = z, Lxz = y, Lyz = x.
Parciální derivace prvního řádu rozpočtového omezení jsou gx = p1, gy = p2 a gz = p3. Potřebujeme
spočítat poslední n − e = 3 − 1 = 2 vedoucí hlavní minory rozšířené Hessovy matice. Jelikož se jedná o
matici 4 × 4, použijeme pro výpočet Laplaceův rozvoj, tedy
0 p1 p2 p3
p1 0 z y
p2 z 0 x
p3 y x 0
= −p1 ·
p1 p2 p3
z 0 x
y x 0
+ p2 ·
p1 p2 p3
0 z y
y x 0
− p3 ·
p1 p2 p3
0 z y
z 0 x
=
= −p1(xzp3 + xyp2 − x2
p1) + p2(y2
p2 − yzp3 − xyp1) − p3(xzp1 + yzp2 − z2
p3)
4Příklad vychází z Vavrečková (2014).
5
Po dosazení stacionárního bodu získáme hodnotu determinantu − I2
3 < 0, což odpovídá znaménku
(−1)n = (−1)3. Nyní spočítáme determinant submatice 3 × 3, tj
0 p1 p2
p1 0 z
p2 z 0
=
2Ip1 p2
3p3
.
Determinant je kladný, neboť I, p1, p2, p3 > 0. Jedná se tedy o vázané lokální maximum a zároveň o
řešení dané úlohy, neboť funkční hodnota užitkové funkce v tomto bodě je f (x∗) = I3
27p1 p2 p3
> 0.
Neřešené příklady
Matematické příklady
1. Nalezněte vázané extrémy funkce f (x, y) = 4x + 12y + 1 při daném omezení g(x, y) = x2 + x −
y + 1
4 = 0. Určete platnost kvalifikačního omezení.
2. Nalezněte vázané extrémy funkce f (x, y) = 3xy při daném omezení g(x, y) = x2 + y2 − 8 = 0.
Určete platnost kvalifikačního omezení.
3. Nalezněte vázané extrémy funkce f (x, y) = 24x − x2 + 16y − 2y2 při daném omezení g(x, y) =
x2 + 2y2 − 44 = 0. Určete platnost kvalifikačního omezení.
4. Nalezněte vázané extrémy funkce f (x, y) = x + y při daném omezení g(x, y) = x2 + 3xy + 3y2 −
3 = 0. Určete platnost kvalifikačního omezení.
5. Nalezněte vázané extrémy funkce f (x, y) = 4x + 3y − 4 na kružnici zadané rovnicí (x − 1)2 + (y −
2)2 = 1.
6. Nalezněte vázané extrémy funkce f (x, y) = x2 + 2y2 při daném omezení g(x, y) = x2 − 2x + 4y +
2y2 = 0. Určete platnost kvalifikačního omezení.
7. Nalezněte vázané extrémy funkce f (x, y, z) = xy2z3 na (R+)3 při daném omezení g(x, y, z) =
x + 2y + 3z − 6 = 0. Určete platnost kvalifikačního omezení.
8. Nalezněte vázané extrémy funkce f (x, y, z) = x2 + y2 + 9z2 při daných omezeních g1(x, z) = x +
z − 1 = 0 a g2(x, y) = x2 + 2y2 − 1 = 0. Určete platnost kvalifikačního omezení.
9. Nalezněte vázané extrémy funkce f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 při daných omezeních g1(x, y) = x2 +
y2 − 4 = 0 a g2(x, z) = x + z = 0. Určete platnost kvalifikačního omezení.
10. Nalezněte maximum funkce f (x, y) = x2 + 3xy + y2 při daném omezení g(x, y) = x + y = 100.
Určete platnost kvalifikačního omezení.
11. Nalezněte minimum funkce f (x, y) = x2 + y2 při daném omezení g(x, y) = x + 2y = 4. Určete
platnost kvalifikačního omezení.
12. Nalezněte maximum funkce f (x, y) = (x + 2)(y + 1) při daném omezení g(x, y) = x + y = 21.
Určete platnost kvalifikačního omezení.
13. Nalezněte maximum funkce f (x, y) = x2 + y2 při daném omezení g(x, y) = (x2/25) + (y2/9) = 1.
Určete platnost kvalifikačního omezení.
14. Nalezněte řešení úlohy x2 + y2 → max za podmínek 2x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0.
15. Nalezněte řešení úlohy −x2 − y2 →max za podmínky x − 3y ≤ −10.
6
16. Nalezněte řešení úlohy x2 + y2 + y − 1 →max za podmínky x2 + y2 ≤ 1.
17. Nalezněte řešení úlohy x2 + 2y2 − x →max za podmínky x2 + y2 ≤ 1.
18. Nalezněte řešení úlohy x5 − y3 → max při omezení x ≤ 1 a x ≤ y.
19. Nalezněte řešení úlohy ln(x + 1) + ln(y + 1) → max za podmínek x + 2y ≤ 5
2 a x + y ≤ 2.
20. Nalezněte řešení úlohy xy → max za podmínek x + 2y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0.
21. Nalezněte řešení úlohy 2
3 x − 1
2 x2 + 1
12 y → max za daných podmínek x ≤ 5, −x + y ≤ 1, x ≥ 0,
y ≥ 0.
22. Pomocí Lagrangeovy funkce a Kuhnových–Tuckerových podmínek najděte maximum funkce
f (x, y, z) = x − y + 2z − 2x2
− 8y2
− z2
+ 2xz − 2yz + 1,
na množině
M = {[x, y, z] ∈ R3
| x + y + z = −1, x + y − z = −4}
23. Pomocí Lagrangeovy funkce a Kuhnových–Tuckerových podmínek najděte maximum funkce
U(x, y) = 8x + 8y − x2
− y2
− 32
na množině
M = {[x, y] ∈ R2
| x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.
Načrtněte množinu M a vrstevnice funkce U. S pomocí tohoto obrázku ověřte správnost nalezeného
řešení.
24. Pomocí Lagrangeovy funkce a Kuhnových–Tuckerových podmínek najděte minimum funkce
f (x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
na množině
M = {[x, y, z] ∈ R3
| x + y − 3z = −7, x − y + z = 3}
25. Určete všechny stacionární body funkce f (x, y) na množině M (tzn. vyšetřete i hranice množiny
M). Rozhodněte, zda jsou nalezené body také extrémy, a v případě kladné odpovědi určete typ
extrému. Vyčíslete funkční hodnoty zjištěných extrému.
(a) f (x, y) = y2 − 2y + e−x2
,
M = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2}
(b) f (x, y) = y2 + x2 − xy + x + y,
M = {(x, y) ∈ R2 : −3 ≤ y + x; 0 ≥ x; 0 ≥ y}
26. Řešte následující optimalizační problémy
(a) y = 3x5 − 5x3 podléhající omezení −a ≤ x ≤ a kde a = ∞, a = 5
4
(b) max y = 10x1 − 5x2 podléhající omezení 0 ≤ x1 ≤ 20, 0 ≤ x2 ≤ 20
(c) max y = (x1x2)
1
2 podléhající omezení 0 ≤ x1 ≤ 10, 0 ≤ x2 ≤ 10
(d) max y = 3x2
1 + 2x2
2 + 5 podléhající omezení 0 ≤ x1 ≤ 10, 2 ≤ x2 ≤ 10
27. Nalezněte stacionární body a rozhodněte, zda jsou globálním či lokálním extrémem funkce f (x, y) =
x2 +2xy +2y2 −3x −5y, která je omezena trojúhelníkovou množinou M s vrcholy [0, 2], [3, 0], [0, −1].
7
Ekonomické příklady
1. Uvažujme spotřebitele s Cobb–Douglasovou užitkovou funkcí tvaru U(x, y) = XcYd s parametry
c a d. Určete Marshallovy poptávky spotřebitele po statcích X a Y. Příklad řešte s využitím Lagrangeovy
funkce.
2. Spotřebitel Adam má užitkovou funkci U(xS, xC) = xSxC, kde S označuje sušenky a C čokoládu.
Cena jedné čokolády je 20 Kč a cena jedné sušenky je 5 Kč. Spotřebitel má kapesné 20 Kč na měsíc.
Kolik sušenek a čokolád Adam spotřebuje, pokud bude maximalizovat užitek?
3. Spotřebitelka Bětka má užitkovou funkci U(xM, xR) = xMxR, kde xM je počet tenisových míčků
a xR je počet raket. Cena míčku je 200 Kč a cena rakety je 400 Kč. Bětčin příjem činí 8 000 Kč. Cena
rakety se sníží na 200 Kč.
(a) Jak velká je její spotřeba míčků a raket před změnou?
(b) Jak velká je její spotřeba míčků a raket po změně?
4. Preference spotřebitele Cyrila jsou reprezentovány užitkovou funkcí U(x, y) = xy, kde x je statek 1
a y je statek 2. Ceny jsou (px, py)=(2,2) a příjem je 48. Náhle se ceny změní na (px, py)=(2,8). Určete
hodnoty původního a nového optimálního koše.
5. Spotřebitelka Dita hraje ráda ve volném čase golf a badminton. Její užitková funkce je U(g, b) = gb,
kde g je počet her golfu a b je počet her badmintonu za týden. Na tyto sporty má k dispozici částku
4 000 Kč. Jedna hra golfu i jeden zápas v badmintonu stojí 500 Kč. Dita je však kromě peněz limitována
také množstvím volného času. Oběma sportům může věnovat maximálně 12 hodin týdně.
Jedna hra golfu trvá 3 hodiny, jeden zápas badmintonu 2 hodiny.
(a) Určete kolik her golfu a badmintonu si Dita zahraje za týden?
(b) Jak by se počet her změnil, pokud by Dita měla neomezené množství času na sportovní akti-
vity?
6. Spotřebitelka Eliška má kapesné 1200 Kč na měsíc. Spotřebitelka B je spořivá a nakupuje pouze
čokoládu za 20 Kč za kus a zbytek peněz si odkládá jako úspory. Její užitková funkce je U(xC, xU) =
64xC − x2
C + xU, kde C značí čokoládu a U úspory. Kolik bude optimální ušetřená částka?
7. Spotřebitel Filip má následující užitkovou funkci: U(xH, xZ) = x2
H + 2xz, kde H označuje hamburgery
a Z zmrzlinu. Filip má kapesné 300 Kč za týden. Jeden hamburger ho stojí 50 Kč a jedna
zmrzlina 25 Kč.
(a) Určete jaká bude optimální spotřeba hamburgerů a zmrzliny.
(b) Kapesné Filipa se nečekaně sníží na polovinu, určete jak se změní jeho spotřeba hamburgerů
a zmrzliny.
8. Spotřebitel Gustav rád chodí do hospody. Má k dispozici 200 Kč na večer, které utrácí za pivo a
utopence. Ceny statků jsou PP = 20 Kč a PU = 25 Kč. Gustav má užitkovou funkci U(P, U) = −[(P −
6)2 + (U − 2)2], kde P je počet piv a U počet utopenců.
(a) Kolik piva a utopenců spotřebuje za večer?
(b) Jak se spotřeba změní, pokud se příjem zvýší na 250 Kč, a proč?
9. Student má k dispozici 60 hodin týdně na učení. Tento studijní čas chce vhodně alokovat mezi dva
povinné předměty tak, aby maximalizoval svůj průměrný počet bodů. Problém můžeme zapsat
jako max
g1(t1)+g2(t2)
2 při omezení 60 − t1 − t2 = 0, kde t1, t2 označuje časy věnované jednotlivým
předmětům a g1, g2 označuje očekávané počty bodů jako funkce času. Platí, že g1 = 20 + 20
√
t1 a
g2 = −80 + 3t2. Určete kolik času by měl student věnovat jednotlivým předmětům.
8
10. Firma má dva závody. První závod má nákladovou funkci c1(y1) = 4y1 + 10 a druhý závod má
nákladovou funkci c2(y2) = 5y2 + 20. Pokud chce tato firma vyrobit 36 jednotek produkce s minimálními
náklady, jak rozdělí produkci mezi jednotlivé závody?
11. Americká farmaceutická firma vynalezla nový lék proti malárii. Tento lék prodává do dvou afrických
zemí. Relativně bohatá země A má roční poptávku po léku proti malárii QA = 600 000 −
50 000 PA a relativně chudá země B má roční poptávku po tomto léku QB = 400 000 − 50 000 PB.
Roční podíl fixních nákladů je 1 000 000 dolarů. Náklady na výrobu a dopravu jednoho balení jsou
4 dolary.
Jaké budou ceny a množství léků pro zemi A a B za předpokladu, že firma je schopná cenové diskriminace?
Jak se odpověď změní, jestliže firma není schopná vyrobit více než 200 000 balení ročně?
Předpokládejte, že firma chce prodat všechno svoje zboží v těchto dvou zemích. Jaké budou ceny a
množství v situaci, kdy se díky novému leteckému spojení sníží náklady na výrobu a dopravu do
země B z hodnoty 4 na hodnotu 2? Předpokládejte, že produkce firmy je stále omezená na 200 000
kusů léku ročně.
12. Firma vyrábí právě jeden produkt. Ráda by vyprodukovala 30 jednotek tohoto produktu, a to s
co nejnižšími náklady. S využitím K jednotek kapitálu a L jednotek práce dokáže vyrobit
√
K + L
jednotek produktu. Cena kapitálu je 1 dolar, cena práce je 20 dolarů.
(a) Najděte optimální kombinaci kapitálu K a práce L.
(b) Vypočítejte jaký je náklad produkce dodatečné jednotky.
13. Copycentrum vyrábí kopie s denní produkční funkcí f (L, K) = 500
√
2LK, kde L je počet hodin
práce a K je počet hodin kopírek. Náklady na hodinu práce jsou 200 Kč a náklady na hodinu kopírky
jsou 100 Kč. Pokud chce firma minimalizovat náklady, kolik hodin kopírky bude připadat na
každou hodinu práce? Kolik hodin práce a kopírky bude potřeba na výrobu y kopií?
14. Roční produkční funkce firmy je ve tvaru F(K, L, P) = 20K
1
4 L
1
2 P
1
4 , kde K, L, P označují jednotky
vstupů jednotlivých výrobních faktorů. Ceny za jednotky vstupu jsou PK = 500, PL = 1000, PP =
300. Jakou kombinaci množství jednotlivých vstupů má firma zakoupit, jestliže maximalizuje produkci
a její rozpočet je 800 000?
15. Intertemporální (mezičasová) optimalizace domácností. Uvažujte domácnost, která žije dvě období
a její užitková funkce je
U(c1, c2) = ln(c1) + χ ln(c2)
Její důchod v těchto dvou obdobích je konstanta o velikostech y1 a y2, navíc v prvním období získá
dědictví b. Předpokládejme, že reálná úroková míra je dána exogenně a je konstantní o velikosti R.
(a) Zapište a zakreslete rozpočtové omezení.
(b) Určete (a do předchozího obrázku vyznačte) optimální spotřebu v obou obdobích v případě,
že domácnost nemá možnost půjčovat si ani spořit.
(c) Vyřešte optimalizační problém domácnosti, která maximalizuje užitek. Nalezněte optimální
kombinaci spotřeby v obou obdobích v případě, že domácnost má možnost půjčovat si či spo-
řit.
(d) Jaká by byla spotřeba maximalizující užitek v obou obdobích v případě, že y1 = 20, y2 = 30,
b = 30, R = 2 a χ = 2? Ověřte, že tato spotřeba splňuje rozpočtové omezení.
16. Intertemporální (mezičasová) optimalizace domácností. Uvažujte domácnost, která žije dvě období
a její užitková funkce je
(a)
U(c1, c2) =
(c1)
1 − γ
+ β
(c1)
1 − γ
9
(b)
U(c1, c2) = ψ +
1
α
e(−αc1)
+
β
α
e(−αc2)
.
Pro oba případy nalezněte Eulerovu rovnici.
17. Firma vyrábí a prodává dvě komodity. Za prodej x tun jedné komodity dostane firma cenu p =
96 − 4x. Za prodej y tun druhé komodity dostane firma cenu q = 84 − 2y. Funkce nákladů na
výrobu a prodej x tun první komodity a y tun druhé komodity je C(x, y) = 2x2 + 2xy + y2.
(a) Zapiště ziskovou funkci firmy.
(b) Vypočítejte optimální množství, které maximalizuje zisk firmy.
(c) Produkce firmy způsobuje znečištění, vláda proto vydá omezení pouze na 11 tun celkové produkce
komodit. Vypočítejte, jak se změní optimální množství firmy a jak se změní její zisk.
18. Intertemporální (mezičasová) optimalizace domácností. Uvažujte domácnost, která žije tři období
a její užitková funkce je
U(c1, c2, c3) = ln(c1) + χ ln(c2) + ξ ln(c3)
Její důchod v těchto třech obdobích je konstanta o velikostech y1, y2 a y3, navíc v prvním období
získá dědictví b. Předpokládejme, že reálná úroková míra je dána exogenně a je konstantní o velikosti
R.
(a) Zapište a zakreslete rozpočtové omezení.
(b) Určete optimální spotřebu v obou obdobích v případě, že domácnost nemá možnost půjčovat
si ani spořit.
(c) Vyřešte optimalizační problém domácnosti, která maximalizuje užitek. Nalezněte optimální
kombinaci spotřeby ve všech obdobích v případě, že domácnost má možnost půjčovat si či
spořit.
(d) Jaká by byla spotřeba maximalizující užitek v obou obdobích v případě, že y1 = 10, y2 = 20,
y3 = 40, b = 60, R = 1, χ = 2 a ξ = 3? Ověřte, že tato spotřeba splňuje rozpočtové omezení.
19. Firma má k dispozici L jednotek práce a produkuje dva výrobky, které prodává za pevné ceny a a b
za jednotku. K produkci x a y jednotek výrobku je potřeba αx2 a βy2 jednotek práce. Maximalizujte
výnos firmy, který je dán funkcí f (x, y) = ax + by za podmínky g(x, y) = αx2 + βy2 ≤ L, kde a, b, α
a β jsou kladné konstanty.
20. Předpokládejme, že spotřebitel kupuje statky A a B, jejichž množství označme x a y. Jeho užitková
funkce je dána ve tvaru u(x, y) = ln x + ln y. Ceny statků A a B jsou 10 Kč a 5 Kč. Spotřebitel může
za tyto statky utratit maximálně 350 Kč. Dále předpokládejme, že spotřeba jedné jednotky statku
A trvá 0,1 hodin a spotřeba jedné jednotky statku B zabere 0,2 hodin. Spotřebitel má maximálně 8
hodin na spotřebu veškerého množství obou statků. Jaké množství statku A a B by měl spotřebitel
kupovat, aby maximalizoval svůj užitek?
21. Firma vyrábí dva typy produktů – typ A a typ B. Jestliže si účtuje cenu pA za jednotku produktu A
a cenu pb za jednotku produktu B, potom prodá qA jednotek produktu A a qB jednotek produktu
B, kde qA = 400 − 2pA + pB a qB = 200 + pA − pB. K výrobě jedné jednotky produktu A potřebuje
firma 2 hodiny práce a 1 jednotku materiálu. Pro výrobu jedné jednotky produktu B potřebuje 3
hodiny práce a 2 jednotky materiálu. Firma má k dispozici maximálně 1 000 hodin práce a 200
jednotek materiálu. Maximalizujte celkový příjem firmy, který je dán vztahem 400pA + 200pB −
2p2
A − p2
B + 2pA pB.
22. Spotřebitel má užitkovou funkci ve tvaru u(x, y, z) = xyz. Jeho rozpočtové omezení je dáno nerovnicí
p1x + p2y + p3z ≤ I, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, kde p1, p2, p3 jsou nenulové ceny statků, x, y, z
představují množství daných statků a I > 0 je rozpočet spotřebitele. Maximalizujte spotřebitelův
užitek.
10
23. Spotřebitel se rozhoduje o maximalizaci užitku ze spotřeby ve dvou po sobě jdoucích obdobích.
Jeho užitková funkce nabývá tvaru u(c1, c2) = −[(c1 − 4)2 + (c2 − 4)2]. Přičemž víme, že je výše
spotřeby v obou obdobích nezáporná. Spotřebu v obou obdobích nakupuje za jeden milión korun
za jednotku spotřeby. Navíc o tomto spotřebiteli víme, že v prvním období není příjemcem žádného
důchodu a ve druhém období ví, že obdrží pouze dědictví ve výši 4 milionů. Spotřebitel má přístup
na úvěrový trh (banky si neúčtují žádný úrok) a smí si peníze v prvním období (maximálně do výše
jeho dědictví) vypůjčit, nicméně výše úvěru je omezena nezáporným úvěrovým omezením ve výši
b ≥ 0. Nalezněte optimální spotřebu v případě, že (i) úvěrové omezení není svazující (ii) úvěrové
omezení je svazující.
24. Uvažujte model mezičasové volby. Nyní předpokládejme, že není jedna úroková míra r, ale spotřebitel
může spořit za úrokovou míru rs a půjčovat si za úrokovou míru rb, přičemž platí rb > rs.
(a) Napište spotřebitelovo rozpočtové omezení pro případ, že i) spotřebovává v prvním období
méně než jeho důchod ii) spotřebovává v prvním období více než jeho důchod
(b) Nakreslete obě rozpočtová omezení a ukažte oblast, která je spotřebitelovi dostupná.
(c) Přidejte do grafu indiferenční křivky. Ukažte tři možné situace: spotřebitel spoří, spotřebitel
si půjčuje a spotřebitel ani nespoří ani si nepůjčuje.
(d) Co určuje spotřebu v prvním období pro tři výše uvedené případy?
25. Intertemporální (mezičasová) optimalizace domácností. Uvažujte kouzelnickou domácnost Nicolase
Flamela, která žije dvě období a její užitková funkce je
ln(c1) + ln(c2)
Její důchod v těchto dvou obdobích je y1 = 10 a y2 = 30. Předpokládejme, že úroková míra je dána
exogenně a je konstatní a rovna 0.
(a) Napište mezičasové rozpočtové omezení
(b) Vypočítejte optimální spotřebu (c1, c2)
(c) Předpokládejte, že domácnost si nemůže půjčovat a ani nemůže spořit. Jaká bude optimální
spotřeba nyní?
(d) Uvažujme, že mají Flamelovi děti, které začnou spotřebovávat až po smrti rodičů. Každý žije
dvě období. Děti mají užitkovou funkci
ln(c3) + ln(c4)
a rodiče mají užitkovou funkci
ln(c1) + ln(c2) + v(b)
kde b je děditctví (bequest) zanechané dětem a v(b) je maximální užitek dětí, které mohou
získat při daném dědictví b. Důchod rodičů je (y1, y2) = (10; 40) a důchod dětí je (y3, y4) =
(20; 10)
Vyřeště maximalizační problém dětí, abyste získaly v(b), tj vyřešte
v(b) = max {ln(c3) + ln(c4)}
vzhledem k
c3 + c4 = y3 + y4 + b.
(e) Použijte svou odpověď z předchozí otázky k vyřešení maximalizačního problému rodičů. (Dědictví
může být i záporné).
11
(f) Nyní uvažujte, že vláda vybere daně v období 2 ve výši 30 a rozdělí je paušálně v období 3.
Jaká je optimální výše dědictví a výše spotřeby nyní?
(g) Opět předpokládáme možnost půjčování. Nyní předpokládejme, že Nicolas vymyslí lektvar
dlouhověkosti, což jeho domácnosti umožní žít o dvě období déle (děti neuvažujeme). Důchod
v těchto dvou obdobích je y1 = 10, y2 = 40, y3 = 20 a y4 = 10. Jak budou nyní vypadat
odpovědi na (a)-(c).
(h) Jak by se změnilo rozhodování Nicolasovy domácnosti, pokud by vynalezl kámen mudrců.
Uvažujte, že Nikolas až pozdě zjistí, že užití kamene mudrců způsobuje impotenci.
26. Optimální alokace spotřebních výdajů. Nalezněte rozhodování reprezentativní domácnosti o tom,
jak optimálně alokovat své spotřební výdaje mezi jednotlivé statky Ct(i), kde i = 1, . . . , n. Výstupem
této optimalizace bude množina poptávkových rovnic pro jednotlivé statky Ct(i).
Konkrétně tedy budeme zkoumat problém, kdy reprezentativní domácnost maximalizuje spotřebu
Ct ≡
1
0 Ct(i)1− 1
di
−1
pro jakoukoliv úroveň výdajů Xt ≡
1
0 Pt(i)Ct(i)di. Lagrangián pro tuto
optimalizaci má podobu
L =
1
0
Ct(i)1− 1
di
−1
− λt
1
0
Pt(i)Ct(i)di − Xt
Odvoďte poptávku domácnosti po jednotlivých spotřebních statcích.
12